2025-2026学年高二下学期数学期末模拟试卷卷(2)(含解析)(范围：人教A版选择性必修1-3)

PAGE10NUMPAGES18（范围：人教A版选择性必修1-3（解析附后答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回8540分.在每小题给出的四个选项中，只有一项1．复数𝑧(1i)=1−i，则|𝑧|=（ 2．直线𝑙1，𝑙21，2，𝑙1，𝑙2夹角为𝜃，则sin2𝜃=（ 𝑥−2,𝑥<3．已知𝑓(𝑥)=A．−

cosπ𝑥,𝑥≥0，则𝑓𝑓(−2)=（

D．4．在等差数列{𝑎𝑛}中，前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑆25=5(𝑎2+𝑎6+𝑎10+𝑎14+𝑎𝑘)，则𝑘=（ 共有（）A．12种 B．18种 C．24种 D．36种，C点A到点C绕圆锥顶侧面一周安装灯带，若灯带的最短长度为213米，则圆锥的SO的体积为（） B．162π立方 C．162π立方 D．123π立方

．已知双曲线𝐶：169=1的左，右焦点分别为1，2，过2的直线与双曲线𝐶于𝐴，𝐵两点，且|𝐴𝐵|=6，则△𝐹1𝐴𝐵的周长为（ 如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有𝑎𝑏个小球，第二层有(𝑎+1)(𝑏1)个小球，第三层有(𝑎+2)(𝑏+2)个小球……依此类推，最底层有𝑐𝑑个小球，共有层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为(2𝑏+𝑑)𝑎+(2𝑑+𝑏)𝑐+(𝑐−𝑎)𝑛.若由小球堆成的8240，则该垛积的第一层的小球个数为（） 3618分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设函数𝑓(𝑥)=sin𝑥⋅cos𝑥，则（ B．𝑓(𝑥)的图象有对称轴𝑥=C．𝑓(𝑥)在区间 上单调递 D．𝑓(𝑥)的图象关于点,0中心对10F为抛物线𝐶:𝑦2=4𝑥的焦点，Cl，直线𝑥−𝑦−1=0CA，B（A在第一象限内lD，则（A．|𝐴𝐵|=B．|𝐵𝐷|=CAFyD．lE，使得△𝐴𝐸𝐹11．已知向量𝑎 3,1，𝑏=(cos𝛼,sin𝛼)，已知𝛼∈ ，则下列结论正确的有（ B．若𝑎//𝑏，则𝛼=C．𝑎⋅𝑏的最大值为 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．已知2≤𝑥≤2，求函数𝑦=

+2的值域 13若函数𝑓(𝑥)=(𝑥2+𝑎𝑥)e𝑎𝑥+1的图象在点(0,1)处的切线与直线𝑥+2𝑦+4=0互相垂直，则𝑎= =.游戏规则如下：从第每一个关卡𝐺𝑘(𝑘=1,2,⋯,𝑚)失败的概率为𝑎𝑘，其中𝑎𝑘∈=.游戏规则如下：从第挑战失败或全部通过时游戏结束，各关卡间的挑战互相独立：若𝑚=2，设龙年在闯关结束时进行到了第𝑋关，𝑋的数学期望𝐸(𝑋)= 戏结束时他闯到第𝑘+1关的概率总等于闯到第𝑘关(𝑘=1,2,⋯,𝑚−1)的概率的一半，则数列{𝑎𝑛}的通项公式𝑎𝑛= ,𝑛=15（13分）记数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，已知𝑎1(1)求{𝑎𝑛}(2)设𝑏𝑛=𝑛𝑎𝑛，求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和

+ +16（15(直线𝑥=22的距离之比为2，记𝑀的轨迹为曲线𝐸.(1)求曲线𝐸(2)过点𝑃(1,0)作两条互相垂直的直线𝑙1,𝑙2，其中𝑙1与曲线𝐸A、B两点，𝑙2与曲线𝐸C、D两点，求𝑃𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃𝐷的最大值17（15分）12的菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐴𝐷60°，将𝐵𝐶𝐷沿对角线𝐵𝐷折起到△𝐵𝐶′𝐷的位置，使平面𝐵𝐶′𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐷，EBD的中点，𝐹𝐴⊥ABD，且𝐹𝐴=23(2)ADM，使得𝐶′𝑀⊥平面𝐹𝐵𝐶′，若存在，求𝐴𝑀的值；若不存在，18（17(1)若𝑓(𝑥)在(0上单调递增，求实数𝑚𝑛+(2)设𝑛∈𝑁∗𝑛+

>++⋯ 19（17分）已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，𝑆𝑛=𝑛2，数列{𝑏𝑛}满足 =𝑏⋅𝑏𝑛+2，𝑎2+1，𝑎4+1分别为数列{𝑏𝑛}第二项和第三项(1)求数列{𝑎𝑛}与数列{𝑏𝑛}(2)若数列𝑐𝑛=

⋅(𝑏

−1)，求数列{𝑐𝑛}的前2𝑛项和 (3)当𝑛≥1时，设集合𝑀𝑛=𝑏𝑖+𝑏𝑗|3⋅2𝑛<𝑏𝑖+𝑏𝑗<3⋅2𝑛+1,1≤𝑖<𝑗,𝑖,𝑗∈N∗，集合𝑀𝑛2025-2026学年高二下学期人教A版数学期末模拟试卷(2)（解析版8540分.在每小题给出的四个选项中，只有一项1．复数𝑧(1i)=1−i，则|𝑧|=（ 【答案】【答案】【详解】由已知可得𝑧1−i(1−i)(1−i)1−2i+i 所以𝑧=所以|𝑧|1，2．直线𝑙1，𝑙21，2，𝑙1，𝑙2夹角为𝜃，则sin2𝜃=（ = 【答案】【详解】设直线𝑙1，𝑙2的倾斜角分别为𝛼,𝛽，则tan𝛼=1,tan𝛽=2,𝜃=所以sin2𝜃=2sin𝜃cos𝜃= 因此tan𝜃=tan(𝛽−𝛼)=tan𝛽−tan𝛼3．已知𝑓(𝑥)=A．−

𝑥−2,𝑥<cosπ𝑥,𝑥≥0，则𝑓𝑓(−2)=（

D．【答案】【答案】【分析】根据函数的定义域代入解析式求解即可【详解】根据题意𝑓𝑓(−2)=𝑓4，𝑓4=cos4=2 4．在等差数列{𝑎𝑛}中，前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑆25=5(𝑎2+𝑎6+𝑎10+𝑎14+𝑎𝑘)，则𝑘=（ 【答案】【答案】【分析】设等差数列{𝑎𝑛}的首项为𝑎1，公差为𝑑，由𝑆25=5(𝑎2+𝑎6+𝑎10+𝑎14+𝑎𝑘)，列【详解】设等差数列{【详解】设等差数列{𝑎𝑛}的首项为𝑎1，公差为因为𝑆25=5(𝑎2+𝑎6+𝑎10+𝑎14+𝑎𝑘)，可得25𝑎1+300𝑑=25𝑎1+(135+5𝑘)𝑑，所以5𝑘=165，解得𝑘=33.共有（）A．12 B．18 C．24 D．36则所求的分配方法共有则所求的分配方法共有36−6−6=24种甲分到两个子任务（即包含𝐴编号子任务，此时共有A3=6甲分到一个子任务（即只有𝐴编号子任务，此时共有C2A2=6若甲分到𝐴【详解】不考虑限制条件则共有C2A3=36可求解【分析】可以考虑用间接法先不考虑限制求出共有C2A3=36【答案】，CAC绕圆锥顶侧面一周安装灯带，若灯带的最短长度为213SO的体积为（） B．162π立方 C．162π立方 D．123π立方 【答案】【答案】r，如图，根据余弦定理得到∠𝐴𝑆𝐶=3𝑟=2，𝑆𝑂=22，再计算体积得到答案【详解】设圆锥底面半径为𝐴′𝑆𝐶中，𝐴′𝑆6，𝑆𝐶2，𝐴′𝐶213，所以cos∠𝐴′𝑆𝐶=所以∠𝐴𝑆𝐶=336=2π𝑟，𝑟=𝑆𝑂 𝑆𝐴2−𝑂𝐴2 62−22=4π2242162π（立方米

．已知双曲线𝐶：169=1的左，右焦点分别为1，2，过2的直线与双曲线𝐶于𝐴，𝐵两点，且|𝐴𝐵|=6，则△𝐹1𝐴𝐵的周长为（ 【答案】【答案】【分析】先根据双曲线定义列出|𝐴𝐹1|−|𝐴𝐹2|=2𝑎=8，|𝐵𝐹1|−|𝐵𝐹2|=2𝑎=8|𝐴𝐵|=6求出△𝐹1𝐴𝐵的周长【详解】由题意知|𝐴𝐹1|−|𝐴𝐹2|=2𝑎=8，|𝐵𝐹1|−|𝐵𝐹2|=2𝑎=8，所以|𝐴𝐹1|+|𝐵𝐹1|−|𝐴𝐹2|−|𝐵𝐹2|=|𝐴𝐹1|+|𝐵𝐹1|−|𝐴𝐵|=16，又|𝐴𝐵|=所以|𝐴𝐹1|+|𝐵𝐹1|=所以△𝐹1𝐴𝐵的周长为|𝐴𝐹1|+|𝐵𝐹1|+|𝐴𝐵|=28．如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有𝑎𝑏个小球，第二层有(𝑎(𝑏1)个小球，第三层有(𝑎2)(𝑏2)个小球……𝑐𝑑个小球，共有𝑛层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为(2𝑏+𝑑)𝑎+(2𝑑+𝑏)𝑐+(𝑐−𝑎)𝑛.若由小球堆成的8240，则该垛积的第一层的小球个数为（）【答案】【分析】转化题给条件为2𝑎𝑏7𝑎7𝑏=25，再由𝑎,𝑏皆为正整数分类讨论即可求解【详解】由题意知，𝑛【答案】【分析】转化题给条件为2𝑎𝑏7𝑎7𝑏=25，再由𝑎,𝑏皆为正整数分类讨论即可求解【详解】由题意知，𝑛=8，于是得最底层小球的数量为𝑐𝑑=(𝑎+7)(𝑏+7)，即𝑐=𝑎+𝑑=𝑏+=整理得(2𝑏𝑏7)𝑎(2𝑏14𝑏)(𝑎7)7=(3𝑏+7)𝑎+(3𝑏+14)(𝑎+7)=173，3𝑎𝑏+7𝑎+3𝑎𝑏+14𝑎+21𝑏+98=173，6𝑎𝑏21𝑎21𝑏=75，2𝑎𝑏7𝑎7𝑏=25，（i）当𝑎=1,𝑏=1时，2⋅11+7⋅17⋅1=16<当𝑎=1,𝑏=2时，2⋅1⋅27⋅1+7⋅2=（iii）当𝑎=1,𝑏=3时，2⋅13+7⋅17⋅3=34>（iv）当𝑎=2,𝑏=2时，2⋅2⋅2+72+7⋅2=36>只有𝑎=1,𝑏=2符合题意，即𝑎𝑏3618分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设函数𝑓(𝑥)=sin𝑥⋅cos𝑥，则（ B．𝑓(𝑥)的图象有对称轴𝑥=C．𝑓(𝑥)在区间 上单调递 D．𝑓(𝑥)的图象关于点,0中心对【答案】【分析】A选项，𝑓(𝑥+2π)=𝑓(𝑥)A正确；B选项，𝑓(6π−𝑥)=【答案】【分析】A选项，𝑓(𝑥+2π)=𝑓(𝑥)A正确；B选项，𝑓(6π−𝑥)=𝑓(𝑥)BC选项，先求出𝑓(𝑥)=sin2𝑥，计算出𝑓6>𝑓4C错误；D选项，𝑓(π−𝑥)=0，D正确【详解】由题意得sin𝑥≠0,cos𝑥≠0，故𝑥≠2,𝑛∈,𝑛𝑍A∵𝑓(𝑥+2π) =∴𝑇=2π是函数𝑓(𝑥)AB∵𝑓(6π−𝑥) =∴𝑓(𝑥)关于𝑥=3πB C选项，𝑓(𝑥) ，∵ 2sin sin =sin显然𝑓π>𝑓π，故𝑓(𝑥)0πCD选项，𝑓(π−𝑥)+𝑓(𝑥) =∴𝑓(𝑥)的图象关于点2,0中心对称，D（A在第一象限内lD，则（A．|𝐴𝐵|=B．|𝐵𝐷|=CAFyD．lE，使得△𝐴𝐸𝐹【答案】【答案】【分析】由题意可得直线𝑥−𝑦−1=0经过抛物线焦点𝐹，设𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)，联立直线与𝑥1+𝑥2𝐴,𝐵作𝐴𝐴′⊥𝐵′⊥𝑙，垂足为𝐴′,𝐵′，从而可得|𝐵𝐷|,|𝐵𝐹|B所以𝐴𝐹为直径的圆与𝑦C当𝐴𝐸𝐹为等边三角形时，|𝐴𝐹|=由抛物线的定义可知𝐴𝐸所以𝐴𝐹为直径的圆与𝑦C当𝐴𝐸𝐹为等边三角形时，|𝐴𝐹|=由抛物线的定义可知𝐴𝐸𝑙，所以∠𝐸𝐴𝐹=45∘，这与𝐴𝐸𝐹为等边三角形矛盾，所以𝑙上不存在点𝐸，使得△𝐴𝐸𝐹D错误.=2|𝐴𝐴易知四边形𝐴𝐹𝑂𝐴以𝐴𝐹为直径的圆的半径为𝑟=2则|𝐾𝐹|=2，又∠𝐾𝐹𝐷=所以|𝐵𝐹|=|𝐵𝐵′|，所以|𝐵𝐷|=2|𝐵𝐵′|=2|𝐵𝐹|B𝑦2=𝑥−𝑦−1=0,整理得𝑥−6𝑥+1=0，则𝑥1+𝑥2=根据抛物线的定义可知，|𝐴𝐵|=|𝐴𝐹||𝐵𝐹|=𝑥1𝑥2+2=8A错误；如图，过𝐴,𝐵作𝐴𝐴′⊥𝑙,𝐵𝐵′⊥𝑙，垂足为𝐴′,𝐵′，C【详解】易知𝐹(1,0)，准线𝑙的方程为𝑥=−1，则直线𝑥−𝑦−1=0经过焦点设

，则下列结论正确的有（ B．若𝑎//𝑏，则𝛼=C．𝑎⋅𝑏的最大值为 【答案】【答案】B，5−4sin𝛼∵𝛼∈，∴𝛼+ππ3当𝛼=，|𝑎−𝑏|1，D 𝑎−𝑏2 𝑎2−2𝑎⋅𝑏+D，|𝑎|2，|𝑏|3 π 𝛼+∈ ，所以当𝛼=时𝑎𝑏2，CC，𝑎𝑏=3cos𝛼sin𝛼=2sin𝛼3∴tan𝛼=3，𝛼∈02，所以𝛼=6；B【详解】对于A，|𝑏|= cos2𝛼+sin2𝛼=1，A正确；对于B，若𝑎//𝑏，则3sin𝛼−cos𝛼=0，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．已知2≤𝑥≤2，求函数𝑦=

+2的值域 由𝑡 4，则 =41− +1=又当𝑡=时，𝑦=4𝑡2−4𝑡+2=4 −4×+2= 当𝑡=2时，𝑦=4𝑡2−4𝑡+2=4×1−4×2+2=4−2有4−4−22=22−48128−>11【分析】借助换元法可得𝑦=4𝑡2−4𝑡+2，再结合𝑥的范围运用二次函数性质计算即可得【详解】令𝑡 ，由2≤𝑥≤2，则𝑡11∈4,2则𝑦11 +211= 11+2=4𝑡−4𝑡+2=4故故4>4−22，故函数𝑦1−4 +214115【答案】【详解】由题意得：𝑓′(𝑥)=(𝑎𝑥2+𝑎2𝑥+2𝑥+𝑎)e𝑎𝑥，则在点(0,1)【答案】【详解】由题意得：𝑓′(𝑥)=(𝑎𝑥2+𝑎2𝑥+2𝑥+𝑎)e𝑎𝑥，则在点(0,1)处的切线斜率𝑘==又因为在点(0,1)处的切线与直线𝑥2𝑦4=0互相垂直，且直线的斜率为所以𝑎−=−1，解得：𝑎==.游戏规则如下：从第每一个关卡𝐺𝑘(𝑘=1,2,⋯,𝑚)失败的概率为𝑎𝑘，其中𝑎𝑘∈=.游戏规则如下：从第挑战失败或全部通过时游戏结束，各关卡间的挑战互相独立：若𝑚=2，设龙年在闯关结束时进行到了第𝑋关，𝑋的数学期望𝐸(𝑋)= 戏结束时他闯到第𝑘+1关的概率总等于闯到第𝑘关(𝑘=1,2,⋯,𝑚−1)的概率的一半，则数列{𝑎𝑛}的通项公式𝑎𝑛= ,𝑛=即 𝑎， −2=−2=题意求解游戏结束时进行到第𝑘关的概率为𝑃𝑘，由2𝑃𝑘=𝑃𝑘+1可得2𝑎𝑘=(1−𝑎𝑘)𝑎𝑘+1根据递推关系式可得数列{𝑎𝑛}的通项公式【详解】若𝑚=2，则𝑋得可能取值为又𝑃(𝑋=1)=1,𝑃(𝑋=2)=1−1=2，所以𝐸(𝑋)=1×1+2×2= 设未能通关的前提下，游戏结束时进行到第𝑘关的概率为那么有𝑃𝑘=1−(1−𝑎)(1−𝑎)⋯(1−𝑎 由2𝑃𝑘=𝑃𝑘+1可得2𝑎𝑘= ,𝑛=从而−2=2𝑛−1,𝑎𝑛𝑎−212−2=3−2=15（13分）记数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，已知𝑎1(1)求{𝑎𝑛}1,𝑛=【答案】(1)𝑎𝑛=3𝑛−2,𝑛≥21,𝑛=【答案】(1)𝑎𝑛=3𝑛−2,𝑛≥2 ×3𝑛−1+（1）利用𝑎𝑛,𝑆𝑛的关系求{𝑎𝑛}（2）由题设写出{𝑏𝑛}n项和公式求（1）当𝑛=1时，𝑎=1𝑎+1，得𝑎=2当𝑛≥2时，𝑆=2+ 2 =𝑎+，得𝑎= 𝑎，整理得 2=3𝑎所以{𝑎𝑛}从𝑎2=13的等比数列，则𝑎𝑛=3𝑛−2(𝑛≥1,𝑛=综上，𝑎𝑛3𝑛−2,𝑛≥21,𝑛=（2）由（1）得𝑏𝑛=𝑛𝑎𝑛=𝑛⋅3𝑛−2,𝑛≥2当𝑛=1时，𝑇1=𝑏1=当𝑛≥2时，𝑇𝑛=1+2×1+3×3+4×32+⋯+(𝑛−1)×3𝑛−3+𝑛×3𝑛−2，则3𝑇𝑛=3+2×3+3×32+4×33+⋯+(𝑛−1)×3𝑛−2+𝑛×3 两式相减，得−2𝑇=3323𝑛−2−𝑛3𝑛−1=−1)−𝑛×3𝑛−1=1−2𝑛×所以𝑇𝑛=2𝑛−13𝑛−1=1故𝑇𝑛=2𝑛−13𝑛−1

+ +16（15(直线𝑥=22的距离之比为2，记𝑀的轨迹为曲线𝐸.求曲线𝐸过点𝑃(1,0)作两条互相垂直的直线𝑙1,𝑙2，其中𝑙1与曲线𝐸A、B两点，𝑙2与曲线𝐸C、D两点，求𝑃𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃𝐷的最大值【答案】(1)𝑥+𝑦= 𝑀（2）设直线𝑙1的方程为𝑚𝑦=𝑥−1，与动点𝑀𝑃𝐴 𝑃𝐴 𝑃𝐶 9(𝑚𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，分别求 ，从而可 ⋅𝑃𝐵+𝑃𝐶⋅𝑃𝐷= ，𝑚2+2+2𝑚2+1=3，结合基本不等式可求得𝑃𝐴⋅𝑃𝐵+𝑃𝐶⋅𝑃𝐷 （1）动点𝑀(𝑥,𝑦)到定点(2,0)的距离为𝑥−

+动点𝑀(𝑥,𝑦)到定直线𝑥=22的距离为|𝑥−2𝑥−

2

|𝑥−2

=2，平方后得2𝑥−

𝑦2=|𝑥−22|

+𝑦=故曲线𝐸的方程为𝑥+𝑦= 则𝐴1,

,𝐵1,−

=−−3=−所以𝑃𝐴⋅𝑃𝐵+𝑃𝐶⋅𝑃𝐷=0,6⋅0,−6+(−3,0=−−3=− ②设直线𝑙1的方程为𝑚𝑦=𝑥−1，设

𝑥=𝑚𝑦+𝑥2+𝑦2=1，消去𝑥可得：(2+𝑚2)𝑦2+2𝑚𝑦−3= 所以𝑦1+𝑦2=−𝑚2+2，𝑦1𝑦2=−则𝑃𝐴⋅𝑃𝐵=(𝑥−1)(𝑥−1)+𝑦

=(𝑚𝑦)(𝑚𝑦)+𝑦

=(𝑚2+1)𝑦

= 1

1

1 3(𝑚3(𝑚= 当且仅当𝑚2+2=𝑚2+1，即𝑚=±1所以当𝑚=±1时，𝑃𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃𝐷的最大值为−4．综上，𝑃𝐴⋅𝑃𝐵+𝑃𝐶⋅𝑃𝐷的最大值为−4．𝑚2+1≤−=𝑚2+2×= 9(𝑚所以𝑃𝐴⋅𝑃𝐵+𝑃𝐶⋅𝑃𝐷=−3(𝑚+1)−3(𝑚+1)同理，用−代换𝑚，可 ⋅𝑃𝐷=(𝑥−1)(𝑥−1)+𝑦𝑦=(1+1)𝑦3则𝑃𝐶⋅𝑃𝐶=(𝑥−1)(𝑥−1)+𝑦3(𝑚= 3317（15分）12的菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐴𝐷60°，将𝐵𝐶𝐷沿对角线𝐵𝐷折起到△𝐵𝐶′𝐷的位置，使平面𝐵𝐶′𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐷，EBD的中点，𝐹𝐴⊥ABD，且𝐹𝐴=23【答案】(1)(2)（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到𝐹𝐴//𝐶′𝐸（2）【答案】(1)(2)（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到𝐹𝐴//𝐶′𝐸（2）M，使得𝐶′𝑀⊥平面𝐹𝐵𝐶′，设𝐴𝑀＝𝜆𝐴𝐷𝐹𝐵𝐶′的法向量𝑚 3,1,1，得到方程组，方程组无解，假设不成立，不存在点（1）∵𝐵𝐶=𝐶𝐷，EBD又平面𝐵𝐶′𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐷，且平面𝐵𝐶′𝐷∩平面𝐴𝐵𝐷=𝐵𝐷，𝐶′𝐸⊂平面∴𝐶′𝐸⊥平面∵𝐹𝐴平面∴𝐹𝐴//而𝐶′𝐸⊂平面𝐵𝐶∴𝐹𝐴//而𝐶′𝐸⊂平面𝐵𝐶′𝐷，𝐹𝐴⊄平面（2）由（1）知，𝐶′𝐸⊥平面𝐴𝐵𝐷，𝐴𝐸,𝐵𝐸平面𝐴𝐵𝐷，故以𝐵𝐷,𝐴𝐸,𝐸𝐶′所在直线分别为𝑥,𝑦,𝑧则𝐵(1,0,0),𝐴0,−3,0,𝐷(−1,0,0),𝐹0,−3,23,𝐶′0,0,3设平面𝐹𝐵𝐶′的法向量为𝑚=𝑚⋅𝐹𝐵=(𝑥,𝑦,𝑧)⋅1,3,−23=𝑥+3𝑦−23𝑧=𝑚⋅𝐵𝐶′=(𝑥,𝑦,𝑧)⋅−1,0,3=−𝑥+3𝑧=令𝑧=1，则𝑥=3,𝑦=1，故𝑚 3,1,1AD上存在𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)，使得𝐶′𝑀⊥平面𝐹𝐵𝐶′，设𝐴𝑀＝𝜆𝐴𝐷，则(𝑥,𝑦3,𝑧)=𝜆−1,3,0=−𝜆,3𝜆,0，∴𝑥=−𝜆,𝑦=3𝜆−3,𝑧=0．则𝐶′𝑀=(−𝜆,3𝜆−3,−平面𝐹𝐵𝐶′的法向量𝑚 3,1,13=由𝑚//𝐶′𝑀，即𝑚=𝑡𝐶′𝑀，即1=𝑡(3𝜆−3)，无解，𝜆1=−∴ADM，使得𝐶′𝑀⊥平面(1)若𝑓(𝑥)在(0上单调递增，求实数𝑚𝑛+(2)设𝑛∈𝑁∗𝑛+

>++⋯ 【答案】【答案】(2)（1）𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递增等价于𝑓′(𝑥)≥0在(0,+∞)上恒成立，再分离参数， ）令𝑥=1+𝑘，利用小问（1）可得到 𝑘>2𝑘+1，再根据此式放缩，累加即得案

1=因为𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递增，所以𝑓′(𝑥)≥0在(0,+∞)所以2𝑚≤

恒成立，令𝑔(𝑥)=

(𝑥+1)2(𝑥>0)，只需2𝑚≤

𝑔(𝑥)=

=𝑥+

+2≥

𝑥⋅

+2=当且仅当𝑥=𝑥，即𝑥=1时等号成立，所以𝑔(𝑥)min=由2𝑚≤4，得𝑚≤2，即𝑚的取值范围是（2）由（1）知，当𝑚=2时，𝑓(𝑥)在(0,+∞)所以当𝑥>1时，𝑓(𝑥)>𝑓(1)=0，即ln𝑥>2(𝑥−1)(𝑥>令𝑥=1+𝑘，𝑘

，所以

1+1

21+1+即ln𝑘+1

，所以ln𝑘1−ln𝑘

，𝑘∈

当𝑘

…，ln𝑛+1−ln𝑛 1时，ln2−ln1