2025-2026学年高二下学期数学期末模拟试卷卷(3)(含解析)(范围：人教A版选择性必修1-3)

（范围：人教A版选择性必修1-3（解析附后答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回8540分.在每小题给出的四个选项中，只有一项一质点As(单位：米)t(单位：秒)之间的关系为𝑠(𝑡)=1𝑡2+ln𝑡，At=1秒时的瞬时速度为（A．1米/ B．2米/ C．4米/ D．5米/2．如图，函数𝑦=𝑓(𝑥)P处的切线是𝑙，则𝑓(−2)+𝑓′(−2)=（ 𝑦𝑖=28，则𝑎

(𝑎>0,𝑏>．设双曲线𝐶:2−2= 的离心率为5，实轴长为2，则双曲线C上任意一 C的两条渐近线的距离的乘积为（ 为（） 次取出的球颜色相同”，B表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则𝑃𝐵|𝐴=（ 下列说法正确的是（XY的成对样本数据，计算得到𝜒2=4.712，根据小概率值𝛼=3.841ξ，η满足𝜂=3𝜉−2，则𝐷(𝜂)=“A，B互斥”是“A，B对立”X

(𝑋=1)==9，则 已知函数𝑓(𝑥)的定义域为𝑅，对任意𝑥𝑅，有𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)0，则“𝑥2”是“e𝑥𝑓(𝑥1)e4𝑓(2𝑥−3)”的（）充分不必要条 B．必要不充分条C．既不充分又不必要条 3618分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.在𝑥+

的展开式中，下列说法正确的是（常数项为1120 B．第4项二项式系数最大 10．已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥，则下列说法正确的有（ 2的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝑃是侧面𝐴𝐷𝐷1𝐴1内的一点，𝐸𝐶𝐶1上的一点，则下列说法正确的是 过𝐴1𝐶当𝐸为棱𝐶𝐶的中点时，过点 1的平面截该正方体所得的截面的面积为点𝐸到直线𝐵𝐷1当𝐸为棱𝐶𝐶的中点且𝑃𝐸=22时，则点𝑃的轨迹长度为 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．方程|𝑥2−5|=𝑎有四个可以排列成等差数列的实根，则𝑎的值 数为Y，则𝑃(𝑌=3)= 14．若函数𝑓(𝑥)=

+4𝑎𝑥与𝑔(𝑥)=

ln𝑥−e5𝑏，𝑎>0方程相同，则𝑏的最小值 15（13分）已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥2+𝑏𝑥1在𝑥=2处取得极值求实数𝑎、𝑏16（15分）𝐸:𝑦2=4𝑥𝐹𝐹𝑥𝐸𝑃.以𝐹|𝑃𝐹|为半径作圆𝐹.设直线𝑙:𝑦=𝑘(𝑥−1)(𝑘>0)与圆𝐹交于𝐸交于𝐶,𝐷两点，其中𝐴,𝐶在第一象限求圆𝐹𝑘使|𝐴𝐶|=|𝐵𝐷|？若存在，求出𝑘；若不存在，说明理由17（15分）如图，在三棱台𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，平面𝐴𝐴1𝐶1𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐴1=𝐴1𝐶1=𝐶=2，𝐴𝐶=4，𝐵𝐴=证明：𝐴1𝐵⊥求直线𝐵𝐵1与平面𝐵𝐴1𝐶118（173件，记其中甲生产线生产的件数为𝑋，以频率估计概率，求𝑋的≥件发生的概率为𝑝𝑛，求𝑝𝑛取得最大值时𝑛19（17若𝑓(𝑥)≥0，求𝑎已知数列

}满足

=2

𝑛=

(𝑛≥

−1为等比数列，并求

}设{𝑎𝑛}的前𝑛项积为𝑇𝑛，𝑚为整数，若对任意的正整数𝑛都有𝑇𝑛<𝑚，求𝑚的最小值参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈2025-2026学年高二下学期人教A版数学期末模拟试卷(3)（解析版8540分.在每小题给出的四个选项中，只有一项一质点As(单位：米)t(单位：秒)之间的关系为𝑠(𝑡)=1𝑡2+ln𝑡，At=1秒时的瞬时速度为（米/ B．2米/ C．4米/ D．5米/【答案】【答案】【分析】根据导数的定义计算【详解】由题意得𝑠′(𝑡)=𝑡+1，则𝑠′(1)=所以质点𝐴在𝑡=1秒的瞬时速度为2米/秒2．如图，函数𝑦=𝑓(𝑥)P处的切线是𝑙，则𝑓(−2)+𝑓′(−2)=（ 【答案】【答案】【详解】由题可得函数𝑦𝑓(𝑥)的图象在点𝑃处的切线与𝑥轴交于点(−4,0)，则切线𝑙:𝑥−𝑦4=所以𝑓(−2)=2，𝑓′(−2)=1，所以𝑓(−2)+𝑓′(−2)=3. 𝑦𝑖=28，则𝑎 【答案】【答案】【分析】根据线性回归直线经过样本中心点(𝑥,𝑦)，求𝑎的值【详解】由题意：【详解】由题意：𝑥=1𝑖=4，𝑦=1𝑦=×28=因为一元线性回归直线𝑦=0.5𝑥+𝑎经过点可得：4=0.5×4+𝑎⇒𝑎=

(𝑎>0,𝑏>．设双曲线𝐶:2−2= 的离心率为5，实轴长为2，则双曲线C上任意一 C的两条渐近线的距离的乘积为（ 【答案】【答案】【详解】由已知，2𝑎=2，𝑎=5，所以𝑎=1，𝑐=5，则𝑏=设𝑀(𝑚,𝑛)C上任意一点，则𝑚2−𝑛=1，即4𝑚2−𝑛2=C的渐近线为2𝑥𝑦=M =|4𝑚−𝑛| 为（） 【答案】【答案】【分析】求出每种情况的数量，再利用分类加法计数原理相加即可则不同演出顺序有C1⋅C2⋅A3=120 第二类为：𝐴,𝐵同时选中，则不同演出顺序有C1⋅A2=10故不同演出顺序的种数为12010=次取出的球颜色相同”，B表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则𝑃𝐵|𝐴=（ 故𝑃𝑃(𝐴𝐵) C从而𝑃(𝐴)【答案】【详解】由于我们不考虑两次取球的顺序，故可以视为从该箱子中一次性随机取出两个球下列说法正确的是（XY的成对样本数据，计算得到𝜒2=4.712，根据小概率值𝛼=3.841ξ，η满足𝜂=3𝜉−2，则𝐷(𝜂)=“A，B互斥”是“A，B对立”X

(𝑋=1)==9，则 【答案】【答案】C；设𝑃(𝑋=1)=𝑝，可昨𝑝(1−𝑝)=9【详解】A选项，𝜒2=4.712>3.841=𝑥0.05XY有关联，0.05A正确．Bξ，η满足𝜂=3𝜉−2，则𝐷(𝜂)=9𝐷(𝜉)BCA，BA，BA，B故“A，B互斥”是“A，B对立”CDX服从两点分布，设𝑃(𝑋=1)=𝑝，由𝐷(𝑋)=得：𝑝(1−𝑝)=9，显然𝑝=3D已知函数𝑓(𝑥)的定义域为𝑅，对任意𝑥𝑅，有𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)0，则“𝑥2”是“e𝑥𝑓(𝑥1)e4𝑓(2𝑥−3)”的（充分不必要条 B．必要不充分条C．既不充分又不必要条 ⇔𝑥⇔𝑥+1>2𝑥−3⇔𝑥<所以“𝑥<2”是“e𝑥𝑓(𝑥+1)>e𝑥𝑓(2𝑥−3)”的充分不必要条件，⇔𝑔(𝑥+1)>𝑓(𝑥+e𝑥𝑓(𝑥+1)>令𝑔(𝑥) ，则𝑔′(𝑥)>0，所以𝑔(𝑥)在𝑅上单调递增 >【详解】因为𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥)>0【分析】根据题意，构造函数𝑔(𝑥)=e𝑥，可得函数𝑔(𝑥)在𝑅性解得𝑥>4，由充分性必要性的定义，即可得到结果【答案】3618分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.在𝑥+

的展开式中，下列说法正确的是（【答案】 A，(+𝑥)展开式的常数项为C4【答案】 A，(+𝑥)展开式的常数项为C48𝑥)·𝑥=1120，AB95项的二项式系数最大，BC，所有项的二项式系数和为28，CD，取𝑥=1，得所有项的系数和为38，D正确10．已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥，则下列说法正确的有（【答案】 【答案】义判断C；求出函数的零点判断D.【详解】函数𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥R，求导得𝑓′(𝑥)=3𝑥2−3=3(𝑥+A，由𝑓′(𝑥)>0，得𝑥<−1或𝑥>1，函数𝑓(𝑥)在(−∞,−1),(1,+∞)上单调递增，A正B，由𝑓′(𝑥)<0，得−1<𝑥<1，函数𝑓(𝑥)在(−1,1)A得函数𝑓(𝑥)在𝑥=1取得极小值𝑓(1)=−2，BC，𝑓(−𝑥)(−𝑥)3−3(−𝑥)−𝑥3+3𝑥−𝑓(𝑥)，函数𝑓(𝑥)是奇函数，其图象关于原点对称，C正确；D，由𝑓(𝑥)=0，解得𝑥=0,𝑥=±3，函数𝑓(𝑥)3个零点，D错误2的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝑃是侧面𝐴𝐷𝐷1𝐴1内的一点，𝐸𝐶𝐶1上的一点，则下列说法正确的是 过𝐴1𝐶当𝐸为棱𝐶𝐶的中点时，过点 1的平面截该正方体所得的截面的面积为点𝐸到直线𝐵𝐷1当𝐸为棱𝐶𝐶的中点且𝑃𝐸=22时，则点𝑃的轨迹长度为 【答案】【答案】A1所示，连接𝐴1𝐶，在𝐵𝐵1上任取一点𝐹，连接过𝐴1在侧面𝐴𝐷𝐷1𝐴1作𝐴1𝑀∥𝐶𝐹，𝐴1𝑀与𝐷𝐷1的交点为𝑀，连接𝐶𝑀，得𝐴1,𝐹,𝐶,𝑀所以过𝐴1𝐶A正确；B2所示，取𝐵𝐶中点𝑁，根据𝑁,𝐸分别为𝐵𝐶,𝐶𝐶1中点，易得𝐸𝑁∥𝐴𝐷1𝐴,𝑁,𝐶,𝐷1又𝐸𝑁=2,𝐴𝐷1=22,𝐴𝑁=𝐸𝐷1=所以等腰梯形的高ℎ 5

22−3

3=所以截面的面积为2 2+22×2=2，所以B错误=设点𝐸(0,2,𝑚)(0≤𝑚≤2)，所以𝐵𝐸=

2(𝑚−1)2+则点𝐸到直线

1的距离𝑑 𝐵𝐸

所以𝑚=1时，距离最小，最小为2C【答案】【答案】D4所示，取𝐷𝐷1的中点𝐺，连接𝐸𝐺,𝐺𝑃,𝑃𝐸，易得𝐸𝐺平面𝐴𝐷𝐷1𝐴1且𝐸𝐺=又𝐺𝑃⊂平面𝐴𝐷𝐷1𝐴1，所以𝐸𝐺⊥所以𝐺𝑃 𝑃𝐸2−𝐸𝐺222−22=则点𝑃在侧面𝐴𝐷𝐷1𝐴1内的运动轨迹为以点𝐺2为半径的劣弧，其圆心角为所以点𝑃的轨迹长度为32=3D正确12．方程|𝑥2−5|=𝑎有四个可以排列成等差数列的实根，则𝑎的值 【答案】【答案】解得这四个解分别是：5−𝑎，5+𝑎，−5−𝑎，−5由等差关系，可知：5+𝑎=35−𝑎，解得𝑎=可知，这四个解分别是：𝑏，3𝑏，−𝑏，−3𝑏，计算可得5−𝑏2=(3𝑏)2−5，解得𝑏=即：𝑎=数为Y，则𝑃(𝑌=3)= 用超几何分布的概率公式计算【详解】根据超几何分布的概率公式𝑃(𝑌=𝑘)=𝑀𝑁−𝑀，本题中𝑁=8,𝑘=3,𝑀=5,𝑛=C𝑘3𝑃(𝑌=3)C5 = 14．若函数𝑓(𝑥)=

+4𝑎𝑥与𝑔(𝑥)=

ln𝑥−e5𝑏，𝑎>0 令函数ℎ(𝑡 令函数ℎ(𝑡)=5𝑡ln𝑡−9𝑡，则ℎ′(𝑡)= 959=5𝑎ln𝑥−e𝑏，即𝑏=5𝑎ln𝑎−𝑎=𝑎ln𝑎−𝑎令ℎ′(𝑡0，解得0𝑡e5，令ℎ′(𝑡0，解得𝑡所以ℎ(𝑡)在0,e5上单调递减，在e5,+∞则ℎ(𝑥)≥ℎe5=−e5，即e5𝑏≥−e5，解得𝑏≥−55 则𝑏的最小值为−9因此𝑥+4𝑎 ，即𝑥+4𝑎𝑥−5𝑎=0，解 =𝑎或设曲线𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=𝑔(𝑥)(𝑥>0)的公共点为(𝑥0,𝑦0)【详解】𝑓′(𝑥=𝑥4𝑎，𝑔′(𝑥)=5𝑎 =𝑡ln𝑡−𝑡求其最小值即可 𝑎ln𝑎−𝑎，令函数5【分析】根据两函数在公共点处的切线方程相同得𝑥0=𝑎及e5𝑏【答案】因为𝑎>0，𝑥0>0，所以舍去𝑥0=115（13分）已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥2+𝑏𝑥1在𝑥=2处取得极值求实数𝑎、𝑏令𝑓′(𝑥)=0令𝑓′(𝑥)=0，得𝑥1=−1，𝑥2=2，令𝑓′(𝑥)<0得−1<𝑥<令𝑓′(𝑥)>0得−3<𝑥<−1或2<𝑥<𝑓′(𝑥)、𝑓(𝑥)的值随𝑥3𝑥2−6𝑥+1，𝑓′(𝑥)=3(𝑥+（2）由（1）知𝑓(𝑥)=所以当𝑥=2时，𝑓(𝑥)有极小值−9，所以𝑎=−2，𝑏=−所以𝑓′(𝑥)=3𝑥2−3𝑥−6=3(𝑥+当𝑥∈(−1,2)时，𝑓′(𝑥)<0，𝑓(𝑥)在(−1,2)上单调递减；当𝑥(2)时，𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)在(2)上单调递增.2𝑎=−𝑓′(2)=（1）𝑓(2=−9，解出𝑎、𝑏（1）由𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1，得𝑓′(𝑥)=3𝑥2+2𝑎𝑥+𝑓′(2)=12+4𝑎+𝑏=又当𝑥=2时，𝑓(𝑥)有极值−9𝑓(2=84𝑎+2𝑏+1=−9，解得𝑏=(2)最大值2，最小值−【答案】(1)𝑎=−2，𝑏=−极大值−由表可知由表可知𝑓(𝑥)在[−4,4]上的最大值为𝑓(−1)=2，最小值为𝑓(−3)=−216（15分）𝐸:𝑦2=4𝑥𝐹𝐹𝑥𝐸𝑃.以𝐹|𝑃𝐹|为半径作圆𝐹.设直线𝑙:𝑦=𝑘(𝑥−1)(𝑘>0)与圆𝐹交于𝐸交于𝐶,𝐷两点，其中𝐴,𝐶在第一象限求圆𝐹所以=0，无解，故不存在这样的𝑘，使得|𝐴𝐶|所以=0，无解，故不存在这样的𝑘，使得|𝐴𝐶|==2，即2+4=+2，所以𝑥1+𝑥+2=4，即𝑥1++ 又|𝐶𝐷|= 若|𝐴𝐶|=|𝐵𝐷|，则|𝐴𝐵|=|𝐴𝐷|+|𝐵𝐷|=|𝐴𝐷||𝐴𝐶|=|𝐶𝐷|，即得|𝐶𝐷|=故Δ=16𝑘2+16>0，𝑥+𝑥=2 ，消去𝑦整理得𝑘𝑥−(2𝑘+4)𝑥+𝑘=𝑦=𝑦2=【答案】(1)(𝑥−1)2+𝑦2=(2)（2）设𝐶(𝑥1,𝑦1)，𝐷(𝑥2,𝑦2)，联立直线与抛物线方程，由条件结合抛物线定义可得𝑥1+=2，代入韦达定理得解（1）抛物线𝑦2=4𝑥的焦点𝐹(1,0)，令𝑥=1，得𝑦=±2，所以|𝑃𝐹|=2，所以圆𝐹的方程为(𝑥−1)2+𝑦2=4.（2）不存在这样的𝑘设17（15分）如图，在三棱台𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，平面𝐴𝐴1𝐶1𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐴1=𝐴1𝐶1=𝐶=2，𝐴𝐶=4，𝐵𝐴=证明：𝐴1𝐵⊥求直线𝐵𝐵1与平面𝐵𝐴1𝐶1【答案】(1)（1）根据面面垂直的性质定理推出线面垂直，进一步得到𝐴𝐶1𝐵𝑂，作出辅助线易得𝐴𝐶1⊥𝐴1𝑂，可证明𝐴𝐶1⊥平面𝐴1𝑂𝐵，再根据线面垂直的定义即可证得𝐴1𝐵⊥𝐴𝐶1；（2）取𝐴1𝐶1中点𝑀，易知直线𝑂𝐵,𝑂𝐶,𝑂𝑀两两垂直，建立空间直角坐标系，设𝑂𝐵=(𝑎0)，再分别求出直线𝐵𝐵1的方向向量与平面𝐵𝐴1𝐶1法向量，由线面角的夹角公式结合基（1）在三棱台𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1ACOBO，𝐴1𝑂，𝐶1𝑂，由𝐵𝐴=𝐵𝐶，得𝐵𝑂⊥𝐴𝐶，由平面𝐴𝐴1𝐶1𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐶，平面𝐴𝐴1𝐶1𝐶∩平面𝐴𝐵𝐶=𝐵𝑂⊂平面𝐴𝐵𝐶，得𝐵𝑂⊥平面𝐴𝐴1𝐶1𝐶，而𝐴𝐶1⊂平面𝐴𝐴1𝐶1𝐶，则𝐴𝐶1⊥𝐵𝑂，又𝐴1𝐶1∥𝐴𝑂，𝐴1𝐶1=𝐴𝑂=𝐴𝐴1，则四边形𝐴1𝐴𝑂𝐶1是菱形，故𝐴𝐶1⊥而𝐴1𝑂∩𝐵𝑂=𝑂，𝐴1𝑂，𝐵𝑂⊂平面𝐴1𝑂𝐵，因此𝐴𝐶1⊥平面𝐴1𝑂𝐵，又𝐴1𝐵⊂平面𝐴1𝑂𝐵，所以𝐴1𝐵⊥𝐴𝐶1．（2）取𝐴1𝐶1中点𝑀，则𝑂𝑀⊥由平面𝐴𝐴1𝐶1𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐶，平面𝐴𝐴1𝐶1𝐶∩平面𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐶，𝑂𝑀⊂平面𝐴𝐴1𝐶1𝐶，则𝑂𝑀⊥平面𝐴𝐵𝐶，直线𝑂𝐵,𝑂𝐶,𝑂𝑀两两垂直，OOB，OC，OMx，y，z设𝑂𝐵=𝑎(𝑎>则𝐵(𝑎,0,0)，𝐴(0,−2,0)，𝐴10,−1,3，𝐶10,1,3𝐴1𝐵=𝑎,1,−3，𝐴1𝐶1=(0,2,0)，𝐴𝐵= 𝐵𝐵1=𝐵𝐴1+𝐴1𝐵1=𝐵𝐴1+2𝐴𝐵=−𝑎,−1,3+2(𝑎,2,0)=−2,0,3++3⋅𝑎2+= = = 𝑎2+15+3 =15+2当且仅当𝑎=6故直线𝐵𝐵1与平面𝐵𝐴𝐶1所成角的正弦值的最大值为 = |𝐵𝐵|3|𝐵𝐵⋅sin𝜃=|cos⟨𝐵𝐵,𝑛⟩|令𝑥=3，得𝑛 3,0,𝑎设直线𝐵𝐵1与平面𝐵𝐴1𝐶1所成的角为𝐴1𝐶1⋅𝑛=2𝑦=设平面𝐴1𝐵𝐶1的法向量𝑛=(𝑥,𝑦,𝑧)𝐴1𝐵⋅𝑛=𝑎𝑥+𝑦−3𝑧=018（173件，记其中甲生产线生产的件数为𝑋，以频率估计概率，求𝑋的≥件发生的概率为𝑝𝑛，求𝑝𝑛取得最大值时𝑛【答案】【答案】(2)(3)𝑛=99【分析】(1)(2)由（1）可知，甲生产线产品占总量的5，可得𝑋∼𝐵35(3)由题可得𝑝=𝐶⋅(0.02)⋅𝑝≥ 𝑝𝑛≥，解不等式即可求解事件𝐴“混合在一起的电子产品来自甲生产线”，事件𝐵“混合在一起的电子产品来自乙生产线”，事件𝐶=“混合在一起的某一零件是合格品”，24143 ，𝑃(𝑋=3)= 𝑝𝑝𝑛≥𝑝𝑛≥𝑝𝑛−1，解得99≤𝑛≤所以当𝑛=99100时，𝑝𝑛则𝑝𝑛=𝐶2⋅(0.02)2⋅（3）1件是甲生产线生产的不合格品的概率为50.1=𝐸(𝑋)=3×5=19（17若𝑓(𝑥)≥0，求𝑎已知数列

}满足

=2

𝑛=

(𝑛≥

−1为等比数列，并求

}则𝑃(𝐴)=𝑎+𝑏，𝑃(𝐵)=由𝑃(𝐶)=𝑃(则𝑃(𝐴)=𝑎+𝑏，𝑃(𝐵)=由𝑃(𝐶)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐶|𝐴)+𝑃(𝐵)𝑃(𝐶|𝐵) ×0.9 ×0.95= 得𝑏=所以甲、乙两条生产线的产量之比为 （2）由（1）可知，甲生产线产品占总量的5，所以𝑋∼𝐵35𝑃(𝑋=0)=𝐶0 3 ，𝑃(𝑋=1)=3 𝑃(𝑋=2)=所以𝑋【答案】(1)𝑎=(2)（i）证明见解析，𝑎𝑛=3【答案】(1)𝑎=(2)（i）证明见解析，𝑎𝑛=3𝑛−1（ii）2（1）依题意可得𝑓(0)=0，当𝑎≤0时可知𝑓(𝑥)单调递增，不符合题意，当𝑎>0（2（i

=3𝑎𝑛−1(𝑛≥

−1

两