福建省厦泉五校2025-2026学年高一数学下学期期中联考试题【含答案】

福建厦泉五校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题一、单选题1．的虚部为（

）A． B．0 C．1 D．62．中，角所对的边分别为，若，则（

）A． B． C． D．或3．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（）A．B．C．四边形的面积为D．四边形的周长为4．如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（

）

A． B．C． D．5．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．6．已知直三棱柱A． B． C． D．7．如图，已知正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（

）

A． B． C． D．8．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，则AC＝（

）A．8 B．7 C．6 D．5二、多选题9．已知都是复数，下列选项中正确的是（

）A．若，则或 B．若，则C．若，则是实数 D．若，则10．的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（

）A．若，则B．若，则是等腰三角形C．若，则是锐角三角形D．若，则是等腰直角三角形11．下列说法正确的是（

）A．已知向量，，且，则B．向量，，则“的夹角为锐角”是“”的充要条件C．若，、分别表示、的面积，则D．在中，向量与满足，且，则为等边三角形三、填空题12．已知向量的夹角为，，，则________．13．在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的顶点是圆柱的下底面中心，这个几何体的表面积为____________.14．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心，已知，则当角C取到最大值时△ABC的面积为___________.四、解答题15．知复数，复数在复平面内对应的点为(1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值：(2)若复数满足，求复数的共轭复数.16．已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中.(1)若，且，求；(2)若，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值.17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.问题：的内角，，的对边分别为，，.已知______.(1)求；(2)若为的中点，，，求的面积.18．如图是在沿海海面上相距海里的两个哨所，位于的正南方向.哨所在凌晨1点发现其南偏东方向处有一艘走私船，同时，哨所也发现走私船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于点南偏西的点，且与相距海里，试求：

(1)刚发现走私船时，走私船与哨所的距离；(2)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？(3)若缉私艇得知走私船以海里/时的速度从向北偏东方向逃窜，立即以30海里/时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？19．现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.(1)若，，求该几何体的体积.(2)若正四棱锥的侧棱长为，，（i）求正四棱锥的侧面积.（ii）若，分别是线段，上的动点，求的最小值.题号12345678910答案CADDDCCBACDAD题号11答案ACD1．C根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.【详解】因为，所以其虚部为1，故选：C.2．A由正弦定理可得，再由边角关系确定角的大小即可.【详解】由题意，在中，则，所以，因为，所以或，又，所以．故选：A3．D根据斜二测画法，画出原图，结合长度、面积、周长等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A、B，由题设易得，原平面图如下，，，故A、B错误；对于C，四边形的面积为：，即C错误．对于D，在原图形中，过作交于点，则，由勾股定理得，故四边形的周长为：，即D正确；4．D根据平面向量的线性运算求解即可.【详解】由题意，.故选：D5．D根据题意求得，根据向量的坐标运算结合投影向量的定义分析求解.【详解】由题意可得：，则，所以向量在向量方向上的投影向量为.故选：D.6．C【详解】因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝7．C解法一

连接，，设，根据向量的线性运算用，表示出，然后结合三角函数的性质即可求得结果．解法二

以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，根据数量积的坐标表示得到，再结合三角函数的性质即可求得结果．解法三

借助向量投影的知识将转化，找到取得最值时点的位置，即可求得结果．【详解】解法一：如图所示：

连接，设，连接，依题意得，，，，则，．因为，所以，（三角函数的有界性）所以．故选：C．解法二

如图，

以为坐标原点，以直线为轴，过且和垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，则依题意可得，，，因为圆的半径为1，所以可设，所以，，所以，又，（三角函数的有界性）所以．故选：C．解法三如图所示：

设，则．可看成是在上的投影，当点与重合时最小，最小值为，当点与重合时最大，最大值为0，故．故选：C．8．B在中，设，根据题意利用正弦定理可得，然后利用余弦定理即可求解.【详解】在中，，设，则，由正弦定理可知，，即，则，在中，，，又，则，故，故选：B.9．ACD根据复数的相关定义，以及复数的运算公式，即可求解.【详解】若，则或，故A正确；若，，满足，但，故B错误；若，则是实数，故C正确；若，则，得或，所以，故D正确.故选：ACD.10．AD【详解】对于A，因为在中，由正弦定理可得等价于，又因三角形中大边对大角，故等价于，选项A正确；对于B，因为，所以或，即或，是等腰三角形或直角三角形，选项B错误；对于C，由可以确定是锐角，但不能确定和的大小，所以不能判断是锐角三角形，选项C错误；对于D，由正弦定理，结合条件，得，，，，，，又，，所以，，所以是等腰直角三角形，选项D正确.11．ACD由平面向量垂直的坐标表示，即可判断A，由向量的坐标运算即可判断B，由向量的线性运算结合三角形重心的性质即可判断CD.【详解】对于A，由，故，故，故A正确；对于B，由的夹角为锐角，得，且不共线，则，解得且，所以“，的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件，故B错误；对于C，如图设，，由得，取的中点，连接，则有，所以，即，则点为的重心，设，，的面积分别为，则，，的面积分别为，由重心的性质可知，所以，则，故C正确；对于D，如图，作的内角平分线与相交于点，因为为的单位方向向量，为的单位方向向量，所以，所以，所以.即，所以为等腰三角形，又因为，且，所以，即为等边三角形，故D正确.故选：ACD.12．根据题意可得，根据模长的平方关系结合数量积运算律求解即可.【详解】因为向量的夹角为，，，则，可得，所以.故答案为：.13．先求得挖去的圆锥的母线长，从而得到圆锥的侧面积，再求圆柱的侧面积和一个底面积，即可求解几何体的表面积.【详解】解：挖去圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面积为，故几何体的表面积为.故答案为：.14．取AC的中点D，得到OD⊥AC，利用向量的数量积求解得到，用余弦定理和基本不等式得到的最小值，从而得到角C取到最大值时，再使用三角形面积公式进行求解出结果.【详解】设AC的中点为D，因为点O为其外接圆的圆心，所以OA=OB=OC，连接OD，由三线合一得：OD⊥AC，则即，所以，由知，角C为锐角，故，因为，所以由基本不等式得：，当且仅当，即时等号成立，此时角C取到最大值，，，△ABC的面积为.故答案为：15．(1)20(2)（1）将代入一元二次方程即可得到方程组，解出即可；（2）根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案.【详解】（1）由题意得，因为复数是关于的方程的一个根，所以，，，解得，所以.（2），.16．(1)或(2)，此时（1）先设,根据坐标求模公式，即可求解.(2)根据题意，条件可化简为，再根据基本不等式，即可求解.【详解】（1）因为，且，所以设，所以，解得，所以或.（2）由，得，所以，因为，，可得，因为，所以，当且仅当，时取等号.所以.设与夹角为，则此时.17．(1)(2)（1）根据所选条件，利用正弦定理将边化角，再利用和（差）角公式及同角三角函数的基本关系计算可得；（2）依题意可得，将两边平方根据数量积的运算律求出，再利用面积公式计算可得；【详解】（1）解：若选①，由正弦定理可得，因为，所以，即，因为，所以，所以，则.若选②，则，由正弦定理可得，又，所以，即，因为，所以.若选③，则，由正弦定理可得，即，所以，所以，又，所以，因为，所以.（2）解：因为为的中点，所以，因为，所以，即，解得或（舍去），所以.18．(1)(2)走私船距缉私艇30海里，在缉私艇的北偏东方向上(3)小时（1）在中根据正弦定理可得结果；（2）在中根据余弦定理可得结果；（3）在中由余弦定理可得结果.【详解】（1）由在的南偏东，在的东北偏方向，在中，，由正弦定理得，，代入上式得：海里．答：走私船与观测点的距离为海里；（2）在中，海里，海里，，．，，解得海里，又，且，所以，故刚发现走私船时，走私船距缉私艇30海里，在缉私艇的北偏东方向上．（