数学物理方程第三版(谷超豪)答案

1、数学物理方程答案数学物理方程第二版数学物理方程第二版答案第一章。第一章。波动方程波动方程1方程的推导。定解条件方程的推导。1.由于一些外部原因，细棒(或弹簧)纵向振动。u(x，t)表示静止时x点上的点与其在时间t的原始位置的偏差。假设振动过程中的张力遵循胡克定律，并证明(txu满足方程x u e XT u x t，其中是杆的密度，e是杨氏模量。证书：在杆上取一个部分，在这里，静止的两端的坐标分别是x和xx。现在计算这个棒在时间t的相对伸长。在时间t，棒两端的坐标是：()；(t xxuxxtxux，其相对伸长等于)，()，()，(txxux x xtxxxxx x make 0x，取极限得到x点

2、的相对伸长为xu)，(tx。根据胡克定律，张力，(txT等于)，()，(txuxtxtx其中)(xE是点X处的杨氏模量.假设杆的横截面积为，(xS作用在杆的截面上)，并且(xxx)两端的力为x x uxs xe()(x uxsx xetx)()()；().(txx然后得到运动方程ttuxsx) () (x esutx)，(xxxxxesuxx |) (|)(利用微分中值定理，消去x，然后让0x得到ttuxsx)(x esu()如果)(xs常数，则得到22) (t u x=) 2。当杆纵向振动时，假设(1)端点是固定的，(2)端点是自由的，(3)端点固定在弹性支承上，并分别推导出这三种情况下的相

3、应边界条件。数学物理方程的解：(1)杆的两端固定在lxx处，相应的边界条件为0，(，0)，0 (tlutu (2)如果LX是自由端，杆在LX处的张力为0，因此相应的边界条件为x u | LX=0。如果0x是自由端，则相应的边界条件是x u 00x (3 ),如果LX端固定在弹性支座上，并且弹性支座固定在某一点上，并且该点与其原始位置的偏差由函数决定(由tv给出，LX端支座的伸长为)(,(tvtlu.根据胡克定律，有x u e )，(TV tluk LX，其中k是支撑的刚度系数。得到的边界条件(u x u ) (tflx，其中e k是特别的，如果支撑固定在某一点，那么0)(TV的边界条件)(u

4、x u 0 LX。同样，如果0x端固定在弹性支承上，则得到边界条件x u e )。0(0 vtuk x)(u x u ).(0tf x 3。测试：圆锥枢轴的纵向振动方程为2222)1()1(t u h x u h x e，其中h是圆锥的高度(如图1所示)。测试：如图1所示，让我们假设枢轴底面的半径是1，那么x点的横截面半径l是h x l1，所以横截面积是2 )1 ()(h x xs.用第一个问题得到)1()1()(2 2 2 2 x u h x e XT u h x x if EXe )(是常数，然后22 22)1()1(t u h x u h x e数学和物理方程答案4。绝对柔软而均匀的弦一

5、端固定，在自身重力的作用下，这条线处于垂直平衡位置，所以试着推导这条线的微横向振动方程。解决方案：如图2所示，如果线的长度为l，线的线密度为0，则x点的张力(xT)为(xlgxT和)(xT)总是沿着线在x点的切线方向。(txu表示弦上的每个点在垂直于x轴的方向上在时间t的位移，并取弦截面)，(XXX，那么弦截面两端在u轴方向上的张力投影是)(sin)()；(sin) (xxxxlgxlg其中)(x代表)(xT方向和x轴之间的角度也是。sin x u TG，然后运动方程x u xxl t u x)(2 2x u xlgxxgx使用微分中值定理，消除x，然后让0x得到)(2 2 x u XL x

6、g t u 5。验证222 1)，(yxtyxu满足波动方程2 2 2 2 2 2 2 2 y u x u t u:函数222 1)，(yxtyxu对变量tyx，有二阶连续偏导数，在圆锥222 yxt0.和tyxt t u 2 3 222)(2 2 5 222 2 3 222 2)(3)(tyxtyxt t u)2()(222 2 3 222 yxtyXT x u 2 3 222)(数学物理方程答案2 2 5 222 2 2 3 222 2 3 xyxtyXT x u 222 2 5 222 2 2 yxtyU与222 2 2 5 222 2 2 yxt相同，所以， 2 2 2 222 2 2

7、 2 5 222 2 2 26.如果在单性杆的纵向振动过程中考虑了摩擦的影响，并且假设摩擦密度函数(即每单位质量的摩擦)与杆在该点的速度成比例(比例系数设置为B)，但是方向相反，则尝试推导此时位移函数所满足的微分方程。解决方案：使用了第一个问题的推导，这意味着必须以这种方式考虑杆段XXX上的摩擦力。通过这个问题，每单位质量的摩擦阻力是t u b，所以XXX，摩擦阻力是t u xxsxb，运动方程是：t u xxs xbx u es t u es t u xxsxxx 2 2利用微分中值定理，消去x，然后让0x得到. 22 t u xsxb x u es XT u xsx if) (xs常数，然

8、后我们得到t u XB x u e XT u x 2。如果我们得到方程，它也是常数。2 e a exex.2 2 2 2 2 x u a t u b t u 2达朗贝尔公式，达朗贝尔公式，波的传播1。证明了方程解常数01112222h t U h x ax U h x x x的通解可以写成xhatxgatxf U，其中f和g是任意一元可微函数，从而解决了它的初值问题：0x t uxut解决方案：让uxh为x v uxh x u xh x u xh x v u x u xh，)()()()()(2 222 x v uxh x u xh x u xh x v u xh x v u xh x和2 2

9、22 t v t u xh代入原方程，得到2 222 21 t v xhax v xh，即2 222 21t v ax v ax v Get atxgatxft XV从波动方程的通解表达式，得到1 (1xgxf xh x xagxaf xh x/1数学和物理方程的答案)2 (10cdh axgxf x x by) 2()，1(这两个方程求解为22 12 1 CDH a xxxxfx XO 22 12 1 CDH a xxxxxgx XO so)()(21)，(atxatxhatxatxh xhtx atx h xha()()(21)。)d是初值问题的分解。2.问初始条件(x)和(x)满足什么条

10、件，齐次波动方程的初值问题的解只由右手广播波组成？波动方程的通解是u=F(x-at) G(x at)，其中f和g由初始条件(x和)(x)决定。初值问题的解仅由右传播组成，并且对于任何tx，即对于任何x，g (x) c0和g(x)=x a c d a x 02)(2 1)(2 1 so)()(xx应该满足)(x x x CD a 0 1) (1(常数)或利用传播波方法，解决波动方程的特征问题(也称古尔沙问题)。()(0 022 22 2 Xu a T u atx atx)0()0(数学物理方程的答案：u(x，T)=F(x-at)G(x-at)使x-at=0) (x=f (0) g (2x)使x at=0) (x=f (2x) g (0)，所以F(x)=2(x-G(0)4。对于非齐次波动方程的初值问题() ()，(，0)，0()，(22222xx t u xut xttxf x u a t u，证明了：(1)如果初始条件在X轴的区间x1，x 2内变化，那么相应的解不会出现在区间1 x，2 x的影响区域之外(2)在X轴的区间2，1 xx内给出的初始条件唯一地确定了区间21，xx的决策区域内解的值证据：(1)非齐次方程初值问题的解是u (x，t)=atxatx a atxatx 2 1)(21d)(