2017西城区高三(上)期末数学(理科)

1、20172017 西城区高三（上）期末数学（理科）西城区高三（上）期末数学（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项要求的一项 1 （5 分）已知集合 A=x|0x2，B=x|x210，那么 AB=（） Ax|0x1Bx|1x2Cx|1x0Dx|1x2 2 （5 分）下列函数中，定义域为 R 的奇函数是（） Ay=x2+1By=tanxCy=2x Dy=x+sinx 3 （5 分）已知双曲线 x2 Axy=0B =1（b0）的一

2、个焦点是（2，0） ，则其渐近线的方程为（） xy=0Cx3y=0 D3xy=0 ） ，则过点 P 且平行于极轴的直线的方程是（）4 （5 分）在极坐标系中，已知点 P（2， Asin=1 Bsin=Ccos=1 Dcos= 5 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（） A3BC6D 6 （5 分）设 ， 是非零向量，且 则“| |=| |”是“（ A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 ）（）”的（） 7 （5 分）实数 x，y 满足 是（） A1，0 若 z=ax+y 的最大值为 3a+9，最小值为 3a3，则 a 的取值范

3、围 B0，1 C1，1D （，11，+） 8 （5 分）在空间直角坐标系Oxyz 中正四面体PABC 的顶点 A，B 分别在 x 轴，y 轴上移动若 该正四面体的棱长是 2，则|OP|的取值范围是（） A1，+1B1，3 C1，2D1， 第1页 共 12 页 +1 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分 9 （5 分）复数等于 10 （5 分）设等比数列an的各项均为正数，其前 Sn项和为 a1=1，a3=4，则 an=；S6= 11 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 12 （5 分）在ABC 中，角A

4、，B，C 的对边分别为 a，b，c若c=3，C= 13 （5 分）设函数 f（x）= 若 a=3，则 ff（9）=； 若函数 y=f（x）2 有两个零点，则 a 的取值范围是 ，其中 a0 ，sinB=2sinA，则a= 14 （5 分）10 名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场） 规定两人对局胜者得2 分，平局 各得 1 分，负者得 0 分，并按总得分由高到低进行排序比赛结束后，10 名选手的得分各不相同， 且第二名的得分是最后五名选手得分之和的 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出必

5、要的文字说明、证明过程或演算步骤 15 （13 分）已知函数 f（x）=sin（2x （）求 的值； （）求 f（x）在区间0，上的最大值和最小值 ）+2cos2x1（0）的最小正周期为 则第二名选手的得分是 16 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，ADBC，BAD=90，PA=PD，ABPA，AD=2，AB=BC=1 （）求证：平面 PAD平面 ABCD （）若 E 为 PD 的中点，求证：CE平面 PAB （）若 DC 与平面 PAB所成的角为 30，求四棱锥 PABCD 的体积 第2页 共 12 页 17 （13 分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到

6、出现低电量警告之 间所能维持的时间称为手机的待机时间为了解 A，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库 存手机中随机抽取 A，B 两个型号的手机各 7 台，在相同条件下进行测试，统计结果如下： 手机编号12 125 123 3 122 127 4 124 120 5 124 124 6 123 a 7 123 b A 型待机时间（h）120 B 型待机时间（h）118 其中，a，b 是正整数，且 ab （）该卖场有 56 台 A 型手机，试估计其中待机时间不少于 123 小时的台数； （）从 A 型号被测试的 7 台手机中随机抽取 4 台，记待机时间大于 123 小时的台数为 X，求 X

7、 的 分布列； （）设 A，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当 B 型号被测试手机待机时间的方差最 小时，写出 a，b 的值（结论不要求证明） 18 （13 分）已知函数 f（x）=lnxasin（x1） ，其中 aR （）如果曲线 y=f（x）在 x=1 处的切线的斜率是1，求 a 的值； （）如果 f（x）在区间（0，1）上为增函数，求 a 的取值范围 19 （14 分）已知直线 l：x=t 与椭圆 C： （）当 t=1 时，求MAB 面积的最大值； （）设直线 MA 和 MB 与 x 轴分别相交于点 E，F，O 为原点证明：|OE|OF|为定值 20 （13 分）数字 1，2

8、，3，n（n2）的任意一个排列记作（a1，a2，an） ，设 Sn为所有这样 的排列构成的集合集合 An=（a1，a2，an）Sn|任意整数 i，j，1ijn，都有 ai+iajj； 集合 Bn=（a1，a2，anSn|任意整数 i，j，1in，都有 ai+iaj+j （）用列举法表示集合 A3，B3 （）求集合 AnBn的元素个数； （）记集合 Bn的元素个数为 bn证明：数列bn是等比数列 =1 相交于 A，B 两点，M 是椭圆 C 上一点 第3页 共 12 页 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共

9、分，共 4040 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项要求的一项 1 【解答】集合 A=x|0x2， B=x|x210=x|1x1， AB=1x2 故选：B 2 【解答】Ay=x2+1 是偶函数，不满足条件 By=tanx 是奇函数，但函数的定义域不是 R，不满足条件 Cy=2x为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件 Dy=x+sinx 是奇函数，满足条件 故选：D 3 【解答】由题意可得 c=2，即 1+b2=4， 解得 b=， x可得渐近线方程为 y= 故选 B 4 【解答】点 P（2，）的直角坐标为（，1） ，此点到 x 轴的距离为

10、1， 故经过此点到 x 轴的距离为 1 的直线的方程是 y=1， 故过点 P 且平行于极轴的直线的方程是 sin=1， 故选 A 5 【解答】由三视图得几何体是四棱锥 PABCD，如图所示： 且 PE平面 ABCD，底面 ABCD 是矩形，AB=4、AD=2， 面 PDC 是等腰三角形，PD=PC=3， 则PDC 的高为=， =2， 第4页 共 12 页 所以PDC 的面积为：4 因为 PE平面 ABCD，所以 PEBC， 又 CBCD，PECD=E，所以 BC面 PDC， 即 BCPC，同理可证 ADPD， 则两个侧面PAD、PBC 的面积都为：23=3， 侧面PAB的面积为：4=6， 所以

11、四棱锥 PABCD 的四个侧面中面积最大是：6， 故选 C 6 【解答】若“（）（）”，则“（）（）=0，即“| |2=| |2”，即 反之当| |=| |，则（）（）=| |2| |2=0，即（）（） ， 故“| |=| |”是“（）（）”的充要条件， 故选：C 7 【解答】作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=ax+y 得 y=ax+z， z=ax+y 的最大值为 3a+9，最小值为 3a3， 当直线 y=ax+z 经过点 B（3，9）时直线截距最大， 当经过点 A（3，3）时，直线截距最小 则直线 y=ax+z 的斜率a 满足， 1a1， 即1a1， 故选：C 第5页 共 12 页

12、| |=| |， 8 【解答】 如图所示，若固定正四面体 PABC 的位置，则原点 O 在以 AB 为直径的球面上运动， 设 AB 的中点为 M，则 PM=； 所以原点 O 到点 P 的最近距离等于 PM 减去球 M 的半径， 最大距离是 PM 加上球 M 的半径； 所以1|OP|+1， 1，+1即|OP|的取值范围是 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分 9 【解答】复数 故答案为：i 10 【解答】设正数等比数列an的公比为 q0，a1=1，a3=4，q2=4，q0，解得 q=2 则 an=2n 1 =i

13、 S6=63 故答案为：2n1；63 第6页 共 12 页 11 【解答】模拟程序的运行，可得 k=1，S=1 满足条件 k3，执行循环体，S=1，k=2 满足条件 k3，执行循环体，S=0，k=3 满足条件 k3，执行循环体，S=3，k=4 不满足条件 k3，退出循环，输出 S 的值为3 故答案为：3 12 【解答】ABC 中，c=3，C=，sinB=2sinA，由正弦定理可得 b=2a ，再由余弦定理可得 c2=a2+b22abcosC，即 9=a2+4a22a2acos 求得 a=， 故答案为： 13 【解答】当 a=3 时，f（9）=log39=2， f（2）= ff（9）= ， ，

14、分别画出 y=f（x）与 y=2 的图象，如图所示， 函数 y=f（x）2 有两个零点，结合图象可得 4a9， 故 a 的取值范围是4，9） 故答案为：，4，9） 14 【解答】每个队需要进行 9 场比赛，则全胜的队得：92=18（分） ， 而最后五队之间赛 10 场，至少共得：102=20（分） ， 第7页 共 12 页 所以第二名的队得分至少为 20=16（分） 故答案是：16 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15 【解答】 （）因为 f（x）=sin

15、（2x =sin2xcoscos2xsin+cos2x= ， ）+2cos2x1 sin2x+cos2x=sin（2x+） ， 所以 f（x）的最小正周期 T= 解得 =1 （）由（）得 f（x）=sin（2x+ 因为 0x 所以，当 2x+ 当 2x+= ，所以 = 2x+ ） ， ， ，即 x=时，f（x）取得最大值为 1； ，即 x=时，f（x）取得最小值为 16 【解答】证明： （）因为BAD=90，所以 ABAD， （1 分） 又因为 ABPA， 所以 AB平面 PAD （3 分） 所以平面 PAD平面 ABCD （4 分） 解： （）取 PA的中点 F，连接 BF，EF （5 分）

16、 因为 E 为 PD 的中点，所以 EFAD， 又因为 BCAD， 所以 BCEF，BC=EF 所以四边形 BCEG 是平行四边形，ECBF （7 分） 又 BF平面 PAB，CE 平面 PAB， 所以 CE平面 PAB （8 分） （）过 P 作 POAD 于 O，连接 OC 因为 PA=PD，所以 O 为 AD 中点，又因为平面 PAD平面 ABCD， 所以 PO平面 ABCD 如图建立空间直角坐标系 Oxyz （9 分） 第8页 共 12 页 ， ， 设 PO=a由题意得，A（0，1，0） ，B（1，1，0） ，C（1，0，0） ，D（0，1，0） ，P（0，0，a） 所以=（1，0，0

17、） ，=（0，1，a） ，=（1，1，0） 设平面 PCD 的法向量为 =（x，y，z） ， 则， 令 z=1，则 y=a所以 =（0，a，1） （11 分） 因为 DC 与平面 PAB所成角为 30， 所以|cos|=sin30=， 解得 a=1 （13 分） 所以四棱锥 PABCD 的体积 （14 分） 17 【解答】 （）被检测的 7 台手机中有 5 台的待机时间不少于 123 小时，因此，估计 56 台 A 型手 机中有台手机的待机时间不少于 123 小时 （）X 可能的取值为 0，1，2，3， ； 所以，X 的分布列为： X P 0 ； 123 （）若 A，B 两个型号被测试手机的待

18、机时间的平均值相等，当 B 型号被测试手机的待机时间的方 差最小时，a=124，b=125 18 【解答】 （）函数 f（x）的定义域是（0，+） ，（1 分） 第9页 共 12 页 导函数为（2 分） 因为曲线 y=f（x）在 x=1 处的切线的斜率是1， 所以 f（1）=1，即 1a=1，（3 分） 所以 a=2（4 分） （）因为 f（x）在区间（0，1）上为增函数， 所以对任意 x（0，1） ，都有 因为 x（0，1）时，cos（x1）0， 所以（8 分） （6 分） 令 g（x）=xcos（x1） ，所以 g（x）=cos（x1）xsin（x1） （10 分） 因为 x（0，1）时，

19、sin（x1）0， 所以 x（0，1）时，g（x）0，g（x）在区间（0，1）上单调递增， 所以 g（x）g（1）=1（12 分） 所以 a1 即 a 的取值范围是（，1（13 分） 19 【解答】 （）当 t=1 时，将 x=1 代入 解得： ， （2 分） ， 当 M 为椭圆 C 的顶点（2，0）时，M 到直线 x=1 的距离取得最大值 3，（4 分） MAB 面积的最大值是（5 分） （）设 A，B 两点坐标分别为 A（t，n） ，B（t，n） ，从而 t2+2n2=4（6 分） 设 M（x0，y0） ，则有 直线 MA 的方程为 ，x0t，y0n（7 分） ，（8 分） 令 y=0，得

20、，从而（9 分） 直线 MB 的方程为，（10 分） 第10页 共 12 页 令 y=0，得，从而（11 分） 所以=， =，（13 分） =4 |OE|OF|为定值（14 分） 20 【解答】 （）A3=（1，2，3），B3=（1，2，3） ， （1，3，2） ， （2，1，3） ， （3，2，1） （）考虑集合 An中的元素（a1，a2，a3，an） 由已知，对任意整数 i，j，1ijn，都有 aiiajj， 所以（aii）+i（ajj）+j， 所以 aiaj 由 i，j 的任意性可知， （a1，a2，a3，an）是 1，2，3，n 的单调递增排列， 所以 An=（1，2，3，n） 又因为当 ak=k（kN*，1kn）时，对任意整数 i，j，1ijn， 都有 ai+iaj+j 所以（1，2，3，n）B