2017年北京市丰台区高考数学一模试卷(理科)

1、2017 年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科） 一、选择题共一、选择题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1如果集合 A=xZ|2x1，B=1，0，1，那么 AB=（） A2，1，0，1 B1，0，1C0，1D1，0 2已知 a，bR，则“b0”是“复数a+bi 是纯虚数”的（） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3定积分=（） D ，如果（m，n 为实数） ， A10ln3B8ln3C 4设 E，F 分别是正方

2、形 ABCD 的边 AB，BC 上的点，且 那么 m+n 的值为（） AB0CD1 5 执行如图所示的程序框图， 若输出的 S 的值为 64， 则判断框内可填入的条件是 （） Ak3？Bk3？Ck4？Dk4？ 6 某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为 （） ABCD 7小明跟父母、爷爷奶奶一同参加中国诗词大会的现场 录制，5 人坐成一排若小明的父母至少有一人与他相邻， 则不同坐法的总数为（） A60B72C84D96 8一次猜奖游戏中，1，2，3，4 四扇门里摆放了 a，b，c，d 四件奖品（每扇门里仅放一件） 甲同学说：1 号门 里是 b，3 号门里是 c；乙同学说：2 号门里是

3、b，3 号门里是 d；丙同学说： 4 号门里是 b，2 号门里是 c；丁同学说： 4 号门里是 a，3 号门里是 c如果他们每人都猜对了一半，那么4 号门里是（） AaBbCcDd 二、填空题共二、填空题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分 9抛物线 y2=2x 的准线方程是 10已知a n为等差数列，Sn 为其前 n 项和若 a 2=2，S9=9，则 a8= 1 11在ABC 中，若 b2=ac，则A= 12若 x，y 满足，则的取值范围是 13在平面直角坐标系xOy 中，曲线 C 1：x+y=4，曲线 C 1，C2 于 A，B 两点，则的最大值为 （

4、为参数） ，过原点 O 的直线 l 分别交 14已知函数 f（x）=exex，下列命题正确的有 （写出所有正确命题的编号） f（x）是奇函数； f（x）在 R 上是单调递增函数； 方程 f（x）=x2+2x 有且仅有 1 个实数根； 如果对任意 x（0，+） ，都有 f（x）kx，那么 k 的最大值为 2 三、解答题共三、解答题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15已知函数 f（x）=Asin（ x） （ 0）的图象如图所示 （）求 f（x）的解析式； （）若，求 g（x）在上的单调递减区间 2 16如图

5、1，平面五边形ABCDE 中，ABCD，BAD=90，AB=2，CD=1，ADE 是边长为 2 的正三角形现将ADE 沿 AD 折起，得到四棱锥 EABCD（如图 2） ，且 DEAB （）求证：平面 ADE平面 ABCD； （）求平面 BCE 和平面 ADE 所成锐二面角的大小； （）在棱 AE 上是否存在点 F，使得 DF平面 BCE？若存在，求 17某公司购买了A，B，C 三种不同品牌的电动智能送风口罩为了解三种品牌口罩的电池性能，现采用分层抽样 的方法，从三种品牌的口罩中抽出25 台，测试它们一次完全充电后的连续待机时长， 统计结果如下（单位：小时） ： A B C 4 4.5 5 4

6、 5 5 4.5 6 5.5 5 6.5 6 5.5 6.5 6 6 7 7 6 7 7 7.5 7.588 的值；若不存在，请说明理由 （）已知该公司购买的C 品牌电动智能送风口罩比B 品牌多 200 台，求该公司购买的B 品牌电动智能送风口罩的 数量； 3 （）从 A 品牌和 B 品牌抽出的电动智能送风口罩中，各随机选取一台，求A 品牌待机时长高于 B 品牌的概率； （）再从A，B，C 三种不同品牌的电动智能送风口罩中各随机抽取一台，它们的待机时长分别是a，b，c（单位： 小时） 这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 1，表格中数据的平均数记为0若 01， 写出 a+b+

7、c 的最小值（结论不要求证明） 18已知函数 （）求 f（x）的单调区间； （）对任意 4 ，都有 xln（kx）kx+1mx，求 m 的取值范围 19已知椭圆 C： （）求椭圆 C 的方程； （）过点 定值 的离心率为，右焦点为 F，点 B（0，1）在椭圆 C 上 的直线交椭圆 C 于 M，N 两点，交直线 x=2 于点 P，设，求证： + 为 20对于nN*，若数列x n满足 xn+1xn1，则称这个数列为“K数列” （）已知数列：1，m+1，m 是“K 数列”，求实数 m 的取值范围； （）是否存在首项为1 的等差数列a n为“K 数列”，且其前 n 项和 Sn 满足 求出a n的通项公

8、式；若不存在，请说明理由； （）已知各项均为正整数的等比数列a n是“K 数列”，数列 列b n是否为“K 数列”，并说明理由 不是“K 数列”，若，试判断数 ？若存在， 2 5 数学试题答案 一、一、 1 【考点】交集及其运算 【分析】先分别求出集合A 和 B，由此利用交集定义能求出AB 【解答】解：集合 A=xZ|2x1=2，1，0， B=1，0，1， AB=1，0 故选：D 2 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】a，bR，复数 a+bi 是纯虚数 【解答】解：a，bR，复数 a+bi 是纯虚数 ，即可判断出结论 ， “b0”是“复数 a+bii 是纯虚数”的必要不充分条

9、件 故选：B 3 【考点】定积分 【分析】求出原函数，即可求出定积分 【解答】解： 故选 B 4 【考点】平面向量的基本定理及其意义 【分析】如图所示， n 即可 【解答】解：如图所示， = m=，n=， 故选：C 5 【考点】程序框图 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S 的值，当 k=4 时，退出循环，输出 S 的值为 64，故判 断框图可填入的条件是 k3 【解答】解：模拟执行程序框图，可得： 6 =8ln3， =即可求得 m， = ， S=1，k=0 满足条件，S=1，k=1， 满足条件，S=2，k=2， 满足条件，S=8，k=3， 满足条件，S=64，k=4， 由题

10、意，此时应不满足条件，退出循环，输出S 的值为 64 结合选项可得判断框内填入的条件可以是：k3 故选：A 6 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥得到的组合体，可得 答案 【解答】解：根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥得到的组合体， 其底面面积 S=11=， 柱体的高为：2，锥体的高为 1， 故组合体的体积 V=21= 故选：A 7 【考点】排列、组合的实际应用 【分析】根据题意，分3 种情况讨论：、小明的父母的只有1 人与小明相邻且父母不相邻，、小明的父母的只 有 1 人与

11、小明相邻且父母相邻，、小明的父母都与小明相邻，分别求出每一种情况下的排法数目，由分类计数原 理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 3 种情况讨论： 、若小明的父母的只有1 人与小明相邻且父母不相邻时， 先在其父母中选一人与小明相邻，有C 2 =2 种情况， 将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有A 2 =2 种情况， 当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有A 2 A 3 =12 种安排方法， 此时有 2212=48 种不同坐法； 、若小明的父母的只有1 人与小明相邻且父母相邻时， 将父母及小明看成一个整体， 小明在一端，有 2 种情况，考虑父母之

12、间的顺序，有2 种情况，则这个整体内部有22=4 种情况， 将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A 3 3=6 种情况， 此时有 226=24 种不同坐法； 7 22 2 1 ， 、小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边， 将 3 人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A 2 =2 种情况， 将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A 3 3=6 种情况， 此时，共有 26=12 种不同坐法； 则一共有 48+24+12=84 种不同坐法； 故选：C 8 【考点】进行简单的合情推理 【分析】根据题意，条件“四人都只说对了一半”，若甲同学猜对了 1b，依次判断 3d，2c，4a，再假设 若甲同学猜

13、对了 3c 得出矛盾 【解答】解：根据题意：若甲同学猜对了 1b，则乙同学猜对了，3d，丙同学猜对了，2c，丁同学猜对了，4 a， 根据题意：若甲同学猜对了3c，则丁同学猜对了，4a，丙同学猜对了，2c，这与 3c 相矛盾， 综上所述号门里是 a， 故选：A 二、二、 9 【考点】抛物线的简单性质 【分析】先根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线的性质，求得答案 【解答】解：抛物线 y2=2x，p=1， 准线方程是 x= 故答案为： 10 【考点】等差数列的前 n 项和 【分析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a 8 【解答】解：a n为等差数列，Sn

14、 为其前 n 项和 a 2=2，S9=9， 2 ， 解得 a 8=a1+7d=16 故答案为：16 8 11 【考点】余弦定理 【分析】根据余弦定理求解出 a，c 的关系，即可判断角 A 的大小 【解答】解：由 b2=ac， 根据余弦定理 cosB= ， ， 可得 a2+c2=2ac，即（ac）2=0， a=c， 由 b =ac，可得 a=b=c ABC 是等边三角形 A= 2 故答案为： 12 【考点】简单线性规划 【分析】先画出约束条件的可行域，然后分析的几何意义，结合图象，用数形结合的思想，即可求解 【解答】解：满足约束条件 如下图所示： 的可行域， 又表示的是可行域内一点与原点连线的斜

15、率 当 x=，y=时，有最小值； 当 x=1，y=6 时，有最大值 6 故答案为：，6 13 【考点】参数方程化成普通方程 9 【分析】求出曲线 求出的最大值 （ 为参数）的普通方程，设直线方程为 kxy=0，求出|OA|，|OB|，即可 【解答】解：曲线（ 为参数） ，普通方程为（x1）2+y2=1 设直线方程为 kxy=0，圆心到直线的距离 d=，|OB|=2=， kxy=0 与 x+y=4 联立，可得 A（，） ，|OA|=， =， 设 k+1=t（t0） ，则= 的最大值为 故答案为 14 【考点】函数恒成立问题；命题的真假判断与应用 【分析】根据题意，依次分析4 个命题，对于、由奇函

16、数的定义分析可得正确；对于、对函数f（x）=exe x求导，分析可得f（x）0，分析可得正确；对于、g（x）=e e x 2x，分析可得g（0）=0，即方程 22 xx2 f（x）=x +2x 有一根 x=0，进而利用二分法分析可得g（x）有一根在（3，4）之间，即方程f（x）=x +2x 至少有 2 跟，故错误，对于、由函数的恒成立问题的分析方法，分析可得正确，综合可得答案 【解答】解：根据题意，依次分析4 个命题： 对于、f（x）=exex，定义域是 R，且 f（x）=exex=f（x） ，f（x）是奇函数；故正确； 对于、若 f（x）=e e ，则 f（x）=e +e 0，故 f（x）在

17、 R 递增；故正确； 对于、f（x）=x +2x，令 g（x）=e e x 2x， 令 x=0 可得，g（0）=0，即方程 f（x）=x2+2x 有一根 x=0， g（3）=e3130，g（4）=e4 2 2xx2 xxxx 200， 则方程 f（x）=x +2x 有一根在（3，4）之间， 故错误； 对于、如果对任意 x（0，+） ，都有 f（x）kx，即 exexkx0 恒成立， 令 h（x）=exexkx，且 h（0）=0， 若 h（x）0 恒成立，则必有 h（x）=ex+exk0 恒成立， 若 ex+exk0，即 kex+ex=ex+恒成立， 10 而 ex+2，若有 k2， 故正确；

18、综合可得：正确； 故答案为： 三、三、 15 【考点】由 y=Asin（ x+ ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象 【分析】 （）由图象求得 A 及周期，再由周期公式求得 ，则 f（x）的解析式可求； （）把f（x）代入 减区间 【解答】解： （）由图象可知 A=2， 设函数 f（x）的周期为 T，则 求得 T= ，从而 =2， f（x）=2sin2x； （） = 即 令 k=0，得 g（x）在 16 【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 【分析】 （）推导出 ABAD，ABDE，从而 AB平面 ADE，由此能平面 ADE平面 ABCD （）设 AD 的中点为 O，连接 E

19、O，推导出 EOAD，从而 EO平面 ABCD以 O 为原点，OA 所在的直线为 x 轴，在 平面 ABCD 内过 O 垂直于 AD 的直线为 y 轴，OE 所在的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，利用向量法能求 出平面 BCE 和平面 ADE 所成的锐二面角大小 （）设 BE 的中点为 G，连接 CG，FG，推导出四边形 CDFG 是平行四边形，从而 DFCG由此能求出在棱 AE 上存 在点 F，使得 DF平面 BCE，此时 【解答】 （本小题共 14 分） 11 ，整理后由复合函数的单调性求得g（x）在上的单调递 ， = ， ，kZ ， 上的单调递减区间为 =， 证明： （）由

20、已知得 ABAD，ABDE 因为 ADDE=D，所以 AB平面 ADE 又 AB 平面 ABCD，所以平面 ADE平面 ABCD. 解： （）设 AD 的中点为 O，连接 EO 因为ADE 是正三角形，所以 EA=ED，所以 EOAD 因为 平面 ADE平面 ABCD， 平面 ADE平面 ABCD=AD，EO 平面 ADE， 所以 EO平面 ABCD 以 O 为原点，OA 所在的直线为 x 轴，在平面 ABCD 内过 O 垂直于 AD 的直线为 y 轴，OE 所在的直线为 z 轴， 建立空间直角坐标系 Oxyz，如图所示 由已知，得 E（0，0， 所以=（1，1， ） ，B（1，2，0） ，C

21、（1，1，0） ） ，=（2，1，0） 设平面 BCE 的法向量 =（x，y，z） 则， ） 令 x=1，则 =（1，2， 又平面 ADE 的一个法向量 =（0，1，0） ， 所以 cos= 所以平面 BCE 和平面 ADE 所成的锐二面角大小为 （）在棱 AE 上存在点 F，使得 DF平面 BCE，此时 理由如下： 设 BE 的中点为 G，连接 CG，FG， 则 FGAB，FG= 因为 ABCD，且 ，所以 FGCD，且 FG=CD， 所以四边形 CDFG 是平行四边形，所以DFCG 因为 CG 平面 BCE，且 DF 平面 BCE， 所以 DF平面 BCE. 12 17 【考点】函数模型的

22、选择与应用 【分析】 （I）利用该公司购买的C 品牌电动智能送风口罩比B 品牌多 200 台，建立方程，即可求该公司购买的B 品 牌电动智能送风口罩的数量； （）根据古典概型概率计算公式，可求出A 品牌待机时长高于 B 品牌的概率； （）根据平均数的定义，写出a+b+c 的最小值 【解答】解： （）设该公司购买的B 品牌电动智能送风口罩的数量为x 台， 则购买的 C 品牌电动智能送风口罩为 由题意得，所以 x=800 台， 答：该公司购买的 B 品牌电动智能送风口罩的数量为800 台. （）设 A 品牌待机时长高于 B 品牌的概率为 P， 则 答：在 A 品牌和 B 品牌抽出的电动智能送风口罩

23、中各任取一台，A 品牌待机时长高于 B 品牌的概率为. （）18 18 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间； （）问题转化为 mf（x） max，通过讨论 k 的范围，求出 f（x）的最大值，从而求出m 的范围即可 【解答】解：由已知得，f（x）的定义域为（0，+） （）， 令 f（x）0，得 x1，令 f（x）0，得 0x1 所以函数 f（x）的单调减区间是（0，1） ，单调增区间是（1，+） ， （）由 xln（kx）kx+1mx， 得 由（）知， 13 ，即 mf（x） max （1）当

24、k2 时，f（x）在 （2）当 0k1 时，f（x）在 所以； 上单调递减，所以 上单调递增，所以 ，所以 m0； ， （3）当 1k2 时，f（x）在 所以 又 若 所以 若 ，即 ， ，即 ， 上单调递减，在 上单调递增， ，所以 1k2ln2，此时， ，所以 2ln2k2，此时 f（x） max=0，所以 m0 综上所述，当 k2ln2 时，m0； 当 0k2ln2 时， 19 【考点】直线与椭圆的位置关系 【分析】 （）由题意 b=1，利用椭圆的离心率即可求得a 的值，求得椭圆方程； （）设直线 MN 的方程为 y=k（x1） ，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可证明 +

25、 =0 为定 值 【解答】解： （）由点 B（0，1）在椭圆 C：上，则，即 b=1 又椭圆 C 的离心率为 由 a2=b2+c2，得 椭圆 C 的方程为 ，则 ， （）证明：由已知得 F（1，0） ，直线 MN 的斜率存在 设直线 MN 的方程为 y=k（x1） ，M（x 1，y1） ，N（x2，y2） ，则 P（2，k） 由，得， ， 14 联立得（1+2k ）x 4k x+2k 2=0 2222 ， +=0 为定值 20 【考点】数列的应用 =0， 【分析】 （）由题意得（m+1）11，m2（m+1）1，联立解出即可得出 （） 假设存在等差数列a n符合要求， 设公差为 d， 则 d1， 由题意， 得 化为（n1）dn对 n 分类讨论解出即可得出 （）设数列a n的公