高等数学教材(较完整)

1、内容一、功能和限制21、集合2的概念2.常量和变量32.功能33.功能4的简单性4.反函数45.复合函数56.初等函数57.双曲函数和反双曲函数68、级数的极限89.函数9的极限10.功能限制10的操作规则一、功能和限制1.集合的概念一般来说，我们把研究对象称为元素，而整体是由一些元素组成的集合。集合是确定性的(给定集合中的元素必须是确定性的)和异构的(给定集合中的元素彼此不同)。例如，“高个子”不能形成一个集合，因为它的元素是不确定的。我们通常用大的拉丁字母A、B、C 来表示集合，用小的拉丁字母A、B、C来表示集合中的元素。如果A是集合A中的一个元素，则称A属于A，表示为：AA；否则，就说A

2、不属于A，A表示为：aA。(1)所有非负整数的集合称为非负整数集(或自然数集)。把它写成n由所有正整数组成的集合称为一组正整数。把它写成n或n。(3)由所有整数组成的集合称为整数集合。把它写成Z.(4)由所有有理数组成的集合称为有理数集合。把它写成q。由所有实数组成的集合称为实数集。把它写成r。集合的表示形式(1)枚举法：逐个枚举集合的元素，并用“”括起来表示集合描述方法：用集合中所有元素的共同特征来表示集合。集合之间的基本关系(1)子集：一般来说，对于集合A和集合B，如果集合A中的任何一个元素是集合B中的一个元素，我们将说集合A和集合B有包含关系，并把集合A称为集合B的子集，并把它记录为集合

3、A(或集合B)。等式：如何将a设为集合B的子集，将B设为集合a的子集，此时集合a中的元素与集合B中的元素完全相同，因此集合a等于集合B，表示为a=B.适当子集：集合A是集合B的子集，但是有一个元素属于集合B但不属于集合A。我们称集合A为集合B的适当子集(4)空集：我们称没有任何元素的集合为空集。请注意，并规定空集合是任何集合的子集。5.根据上述集合之间的基本关系，可以得出以下结论：(1)任何集合都是自身的子集。也就是说，美国对于集合a、b和c，如果a是b的子集，b是c的子集，那么a是c的子集。(3)我们可以称等集为“等集”，因此子集包括“适当子集”和“等集”。集合的基本运算(1)并：通常，由属

4、于集合a或集合B的所有元素组成的集合称为a和B的并.当寻求联合时，它们的公共元素在联合中只能出现一次。)也就是说，a b=x | x a，或x b。交集：一般来说，由集合A和集合B的所有元素组成的集合称为A和B的交集，记为a/b也就是说，ab= x | xa，x b。(3)、补充设置：完备集：一般来说，如果一个集合包含了我们研究的问题所涉及的所有元素，那么它就叫做完备集。通常写成u。互补集：对于集合a，由不属于集合a的完备集合u中的所有元素组成的集合称为集合a相对于完备集合u的互补集.集合A的补集简称为CUA。也就是说，cua=x | x u和x A。集合中元素的数量(1)有限集合：我们称具有

5、有限元素的集合为有限集合，而具有无限元素的集合为无限集合。用卡片表示有限集合中的元素个数。例如，a=a，b，c，则卡片(A)=3。(3)一般来说，对于任何两组A和B，有卡(甲)卡(乙)=卡(甲乙)卡(甲乙)我的问题是：1.学校将举行运动会，其中A=x | x是跑100米的学生，B=x | x是跑200米的学生，C=x | x是跑400米的学生。根据学校规定，每个参加上述比赛的学生最多只能参加两个项目。请用set操作解释本规则，并解释以下set操作的含义。、甲乙；、甲乙.2.在平面直角坐标系中，集合C=(x，y) | y=x代表直线y=x。从这个角度来看，集合D=(x，y) |方程：2x-y=1

6、，x 4y=5代表什么？集合c和d之间是什么关系？请分别用集合语言和几何语言解释这种关系。3.已知集A=x|1x3，b=x | (x-1) (x-a)=0。试着判断b是否是a的子集？有一个实数a使a=b有效吗？4.对于有限集合A，B和C，你能找出这三个集合中的元素数与交和并中的元素数之间的关系吗？5.无限集合A=1，2，3，4，n，B=2，4，6，8，2n，。你能设计一种方法来比较这两组元素的数量吗？2.常量和变量(1)变量的定义：当我们观察某一现象的过程时，我们经常会遇到各种各样的量，其中一些量在过程中不变，我们称之为常数；有些量在过程中会变化，也就是说，它们可以取不同的值，所以我们称之为变

7、量。注意：在这个过程中还有另一个量。尽管它在变化，但它的变化相对于被研究的对象来说是非常小的，所以我们把它看作一个常数。变量的表示：如果变量的变化是连续的，变化的范围通常用区间来表示。在数轴上，间隔是指线段上两点之间的整个点。间隔的名称区间满足不等式间隔标记数轴上的区间表示闭区间axba，b开区间axb(a，b)半开放区间A x axb或axb x b(a，b)或a，b我们上面提到的都是有限区间，此外，还有无限区间：ax ；):表示不小于a的整数，也可以写成：ax ；(-，b):表示小于b的整数，也可以写成：-x b；(-，):表示所有实数，也可以写成：- x 0。满足不等式X-的所有实数X称

8、为点的邻域，点称为该邻域的中心，称为该邻域的半径。2.功能。函数的定义：如果一个变量X在其变化范围内任意取一个数值，根据一定的规则F，这个量Y总是有一个相应的数值，那么Y就是X的一个函数。变量X的范围称为函数的定义域。x通常称为自变量，y称为函数值(或因变量)，变量y的取值范围称为该函数的取值范围。注意：为了证明Y是X的函数，我们使用符号y=f(x)，y=F(x)等等。字母“f”和“f”在这里代表y和x之间的对应规则，即函数关系，可以用不同的字母随意表示。如果自变量取定义域中的任何一个值，函数只有一个与之对应的定义值。这个函数称为单值函数，否则称为多值函数。这里我们只讨论单值函数。函数相等根据

9、函数的定义，函数的元素有：定义域、对应域和值域。因为值的范围是由定义域和对应关系决定的，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就说这两个函数是相等的。(3)域函数的表示分析方法：用数学公式表达自变量和因变量之间对应关系的方法是分析法。示例：在直角坐标系中，半径为r且圆心在原点的圆的方程为：x2 y2=r2b):列表法：将一系列独立变量值和相应的函数值列表以表示函数关系的方法是列表法。例：在实际应用中，我们经常使用的方格表和三角函数表都是用表格法表示的函数。图解法：用坐标平面上的曲线表示函数的方法是图解法。通常，横坐标代表自变量，纵坐标代表因变量。示例：在直角坐标系中，半径为r且圆心在原点

10、的圆用图形表示为：3.函数的简单行为(1)函数的有界性：如果对于属于某个区间I的所有x值，f(x)M总是成立的，其中M是与x无关的常数，那么我们说f(x)在区间I是有界的，否则它是无界的。注意：如果一个函数在它的整个域中是有界的，它就被称为有界函数示例：函数cosx以(-，)为界。函数的单调性：如果函数在区间(a，b)中随着X的增加而增加，即对于区间(a，b)中的任意两点x1和x2，如果X1 X2存在，则称函数在区间(a，b)中单调增加。如果函数在区间(a，b)中随着x的增加而减小，即，如果区间(a，b)中的任意两点x1和x2存在x1 1时，间隔(0，1)中的值为负；间隔(-，)中的值为正；它

11、在定义的范围内单调增加。幂函数a是任何实数这里只画了函数图的一部分。设a=m/nA):当m是偶数，n是奇数时，y是偶数函数；当M和N都是奇数时，Y是奇数函数；C):当m为奇数n为偶数时，y在(-，0)中无意义。三角函数(正弦函数)这里只写正弦函数A): sB):正弦函数是奇数函数三角函数的逆(反正弦函数)这里只写反正弦函数A):由于这个函数是一个多值函数，我们将这个函数值限制为-/2，/2，并将其称为反正弦函数的主值。初等函数：由基本初等函数和常数通过有限有理运算和有限函数组合生成的函数，可以用解析公式表示，称为初等函数。这是一个初等函数。7.双曲函数和反双曲函数(1)双曲函数：我们在应用中经

12、常遇到的双曲函数是：(用表格描述)函数的名称函数的表达式函数图形函数的性质双曲正弦其结构域为：(-, )；奇函数；在定义的范围内单调增加双曲余弦其结构域为：(-, )；是一个偶数函数；它的图像穿过点(0，1)；双曲正切其结构域为：(-, )；奇函数；c):它的图形夹在y=1和y=-1的水平线之间；在域中单调增加；让我们来看看双曲函数和三角函数的区别：双曲函数的性质三角函数的性质Shx和thx是奇数函数，chx是偶数函数Sinx和tanx是奇数函数，cosx是偶数函数它们不是周期函数它们都是周期函数双曲函数也有求和和差分公式：反双曲函数：双曲函数的反函数称为反双曲函数。反双曲正弦函数的定义域是(

13、-，)；反双曲余弦函数的定义域是1，)；反双曲正切函数的定义域是：(-1，1)；8.系列的极限让我们回忆一下初等数学中学习顺序的概念。(1)顺序：如果第一个数字a1，第二个数字a2，按照一定的规则依次排列，因此任何正整数n对应于一定的数an，那么我们称这个数列为a1，a2，一个，作为一个序列。序列中的每个数字被称为序列中的一个项目。第n项称为序列的一般项或一般项。注意：我们也可以把序列看作一个函数，它的自变量是一个正整数，也就是说，它的定义域都是正整数极限：极限的概念是通过寻找实际问题的精确解而产生的。我们可以通过制作一个内接的正多边形来近似圆的面积。有一个圆圈。首先，该圆被正六边形内接，并且其面积被表示为A1。然后制作圆的内接正十二边形，其面积记为A2；然后画一个圆，内接一个规则的二十个四边形，其面积表示为a3；一系列内接正多边形的面积：A1，A2，A3，安，可以通过依次跟随它们来获得(通常，内接规则的62n-1多边形的面积表示为An)，并且它们形成一系列有序序列。我们可以发现，当内接正多边形的边