高等数学经典方法与典型例题归纳

1、2014年山东省普通高等教育专业升本考试2014年山东专升本夏期讲习会的核心讲座高职高专类高等数学经典方法和典型例题的总结-经营系专业：会计学、工商管理、国际经济和贸易、电子商务理工科专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学和技术、土木工程2013年5月17日星期五曲天导写一、求极限的各种方法1 .去约零因子求极限例1 :求极限【说明】表明无限接近，但这个零因子可以约定。【解】=42 .分割分子分母和极限例2 :求极限【说明】模型中分子分母用多项式给出的极限，可以通过除以分子分母来求出。【解】【注】(1)一般的分子分母和除法的最高次方(2)3 .分子

2、(母亲)在理化上要求极限例3 :求极限【说明】分子和分母在理化上有限度的是，去理化上不行的式子。【解】例4 :求极限【解】【注】本问题除了使用分子的理化方法外，及时分离极限式的非零因子是解决问题的关键4 .应用两个重要的界限求界限两个重要界限是和，第一个重要界限太简单，等价无限小就能实现。 主要考第二个重要界限。/求极限【说明】第二个重要的界限，主要是收集“1”，其次是收集“1”，最后是收集“指数”的部分。【解】例6:(1) (2)已知、要求。5 .用等效无限少量置换求极限【说明】(1)一般等价无限小：当时灬(2)等价无限少量置换，只能置换极限公式中的因子(3)该方法应该在各种求极限的方法中优

3、先。例7 :求极限【解】。例8 :求极限【解】6 .用罗必达定律求极限/求极限。【说明】或型的极限可以用洛必塔定律求出。【解】【注】很多变动显着的积分表示的界限，用罗必达法则求出。例10 :设函数f(x )连续，且求极限【解】所以=7 .用对数常数式求极限例11 :极限【解】=【注】类型未定式的界限也可以使用公式=因为。例12 :求极限【解1】原式【解2】原式用Taylor公式求极限例13求极限【解】，灬.例14求极限【解】.9 .把数列的极限变成函数的极限来解例15 :极限【说明】这是形式上的数列的界限，数列的界限不能使用罗必达的法则，所以很难直接求出，但到了函数的界限，就可以和罗必达的法则

4、一起求出。【解】考虑辅助极限所以10.n项和数列的极限问题n项和数列极限问题的极限问题有两种处理方法(1)定积分的定义中，把界限变成定积分来计算(2)利用两侧的剪辑法则求极限例16 :极限【说明】定积分的定义中把界限变成定积分计算，可以看作 0，1 定积分。【解】公式=例17 :极限(1)这个问题虽然类似，但是形式不统一，所以用两侧的三明治法则来解决。(2)两侧三明治法则需要扩大不等式，用最大或最小替换是一般的方法。【解】因为。又来了所以=111 .单调有界数列的极限问题假设满足数列(I )证明存在，并求出其界限(ii )计算一般来说，利用单调增加有上界，或单调减少有下界数列所需要的极限的规范

5、来证明数列的极限的存在.【详细解】(I )因为可以推测，数列有边界于是，因为知道某数列单调减少，所以需要从单调减少知道下限数列是有限的命令两边，了解，了解，即(ii )因为从(I )中知道该极限是型的(使用了罗比达定律)所以二、常见不定积分求方法的探讨0 .引言不定积分是高等数学的重要内容之一，它是定积分、广义积分、窄积分、重积分、曲线积分及各种积分的函数基础，解决上述问题必须解决不定积分问题，而不定积分的基础是常见的不定积分解法。 不定积分的解法与微分运算的情况不同，必须根据问题型的特征采用不同的解法。 积分运算不仅比微分运算技巧性强，而且初等函数“不能积累”证明这些函数的原函数不能用初等函

6、数来表示。等一等。这方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分自身的发展。 同时，同样的问题也有可能有多个解法、多个结果，所以掌握不定积分的解法很难，以下通过对不定积分的各种解法进行分类汇总，能够更好地把握、运用。1 .不定积分的概念定义：某区间I上的函数，如果存在原函数，则称为积函数，将该原函数整体，这被称为区间I内的函数的不定积分，在此为积分符号，被称为积分函数。的原始函数：=C(C是积分常数)。这里应该特别注意的是，不定积分是某个函数的原始函数，不是单一函数，而是其几何意义是一系列的平行曲线() 和不相等。 前者的结果是一个函数，后者是无限数量的函数，所以写计算结果时一定不能忘记积

7、分常数。性质：1 .微分运算和积分运算相反。注：积分和微分组合运算时：完全抵消。抵消后的差常数。2 .两函数代数和的不定积分等于各积分的代数和，即=。3 .求不定积分时，非零数可以提到积分符号之外=(0 )。下面是两个重要的定理(1)导数为0的函数是常数函数。(2)如果两个函数的导数在哪里都相等，则两个函数的常数不同。为了更好地解决简单的不定积分问题。以上简要介绍了不定积分的概念和性质，以下开始讨论不定积分的各种求解方法。2 .直接积分法(式法)在解决问题上，利用不定积分的定义计算不定积分非常不方便，利用不定积分的运算性质和基本积分式直接求不定积分的方法就是直接积分法(也称为式法)。首先，给出

8、了基本的推导公式(1) (2)。(3) (4)。(5) (6)。(7) (8)。(九)十(十一)。根据以上基本的导出式，我们可以简单地导出以下基本积分表(1) (2)。(3) (4)。(5) (6)。(7) (8)。(九)十(十一)。我举以下例子来说明例2.1 :求出解原式=注意：这里三个积分常数都是任意的，所以可以写积分常数。 所以关于不定积分，只要在最后得到的公式中写下积分常数就可以了，但是之后遇到这种情况的话就不说明了。例2.2 :求出解原式=注：这里有技巧的方法。 在此称为“加1-1”法，将多项式分割为多个单项式，使用基本积分式来计算。 在下面的例题中也会遇到同样的问题型，遇到时会具体

9、说明。直接积分法只能计算比较简单的不定积分，或者只变形就能用基本积分表解决的不定积分，因为有点复杂的不定积分无法处理，所以以下将逐一讨论其他方法。3 .第一类换元法(凑微法)虽然基本积分公式和积分性质可以用于求几个函数的原函数，但是不能这样解决问题因为不能求出，所以必须变形，可以用基本积分式求出积分。不定积分用直接积分法难以求出，但可以用积函数分解，注意到，可以替换变量，将变量的积分转换为变量的积分如果可以求出的话，不定积分的计算问题得到解决，这就是第一种换元法(凑微分法)。注意：在上式中，第一个等号表示源，最后一个等号表示交换代.以下举出具体例子进行讨论例3.1 :求出解原式=熟悉变量置换的

10、话，就可以省略写中间变量的变换和世代交替的过程。例3.2 :求出现场仪式例3.3 :求出解在此总结一下，遇到形：这样的不定积分的话，可以分为以下3种情况时：大于0的情况。 标准化这里，x1、x2为2个解时，原来的不定积分如下为0时。 可以利用完全平方公式来表示。 然后，可以从基本微分式(2)中解出来。小于0的情况。 可以像例子4一样给分母开处方。 然后，可以从基本积分式(4)中求解。例3.4 :求出现场仪式也可以利用三角函数之间的关系来解决这个问题原子式.虽然两种解法的结果不同，但在经验上所有的原函数都表现出不定积分的解法和结果的不唯一性。例3.5 :求出解例3.6 :求出解注：积函数为三角函

11、数的积时，分解奇次项进行微分。 当乘积函数是三角函数的偶数次方时，一般的半角公式用降低幂的方法计算，在奇数的情况下，将一个分解成微微，剩下的偶数用半角公式相乘来计算。例3.7 :求出现场仪式注：这里是类似例2所述的方法，这里是“负1加1”法。4 .第二类换元法不定积分用直接积分法和第一类变换元法难以求出，但是在置换为适当的变量的情况下，可以得到关于新的积分变量的不定积分可求得和解决的计算问题是所谓的第二类变换(积分)法。如果有单调的导数，还有原函数的话，其中有逆函数。注：由此可见，第二类换算元积分法的换算元和代谢过程与第一类换算元积分法截然相反。例4.1 :求出不定积分解除命令后甲组联赛x叔叔

12、要将变量恢复为原来的积分变量，请设为直角三角形，然后代入上式注：关于本题，如果是命令，同样可以计算。例4.2 :求出不定积分解除命令后例4.3 :求出不定积分解除命令后注：以上几例中使用的是三角置换，三角置换的目的是生根，其一般规律如下：乘积函数中含有时，可命令； 包含在积函数中就可以命令包含在积函数中例4.4 :求出不定积分因为一旦解除命令。.例4.5 :求出不定积分解开(变形)令原子式关于第二类换元法，要举出几个例子，具体地做很多练习题。 这样的话，就能找到应如何源的感觉，更好地掌握该方法。5 .支部积分法前面介绍的源积分法可以解决很多积分的计算问题，但是一些积分，例如，用换元法是不能解决

13、的。 下面介绍另一种基本积分法支部积分法如果有函数和连续导数，则可以转移项，或者以上两个公式称为支部积分式利用支部的积分式求不定积分的关键是如何进行给定的积分形式化，使计算变得容易。 所采用的主要方法是微分法，例如利用支部积分法计算不定积分，选择u、v很重要，不正确的选择使积分的计算更加复杂。 在例题中介绍支部积分法的应用。例5.1 :求出不定积分解除命令后部分函数的积分需要多次应用支部积分法。例5.2 :求出不定积分如果和解的话.对后面的不定积分应用支部积分法(运算熟练后，在公式中不再指出u和v )代入前公式即可.注意：如果乘积函数是函数(指数是正整数)与指数函数或正(馀)弦函数的乘积，则函数为u