就得到四阶龙格库塔法

1、第二章 系统的数学模型与仿真算法,数学模型系统的分析和设计中有着相当重要的地位，也是计算机仿真的基础。 2.1 2.1.1、系统的分类 连续系统：系统中的变量（物理量）随时间连续变化。 离散系统：系统中的变量（物理量）随时间断续变化。如计算机控制系统。 我们所讨论的系统主要以线性定常连续系统为主。 线性系统满足叠加性和齐次性。,1. 微分方程建立的一般步骤 采用解析法来建立系统或元部件的微分方程所遵循的一般步骤是： （1）确定系统或元部件的输入、输出变量。 （2）根据物理和化学定律（比如：牛顿运动定律、能量守恒定律、克希霍夫定律等）列出系统或元部件的原始方程式，按照工作条件忽略一些次要因素。

2、（3）找出原始方程式中间变量与其它因素的关系式。 （4）消去原始方程式的中间变量，得到一个关于输入、输出的微分方程式。 （5）进行标准化处理，将输出各项放在等号左端，输入各项放在等号右端，并且按照微分方程的阶次降幂排列，同时将各系数化为具有一定物理意义的形式。,2.1.2 描述控制系统常用的数学模型,1、微分方程形式,2、传递函数形式,3、状态空间表达式,一阶微分方程组,2.1.2 描述控制系统常用的数学模型,4、零极点增益形式,模型转换： 掌握：1、传递函数模型转换为状态空间模型 2、结构图形式转换为状态空间模型 例如：,2.1.2 描述控制系统常用的数学模型,例：,2-3-2 欧拉法（Eu

3、ler method）,由以上推导得欧拉递推公式：,h为步长 二、泰勒展开x(t),取前两项，舍去高次项，写成差分方程得欧拉递推公式：,2-3-2 欧拉法（Euler method）,三、截断误差 欧拉法是由泰勒级数截断h2以上的高阶项而得到的，把截断项称为截断误差。 欧拉法的截断误差与h2同为一个数量级，具有一阶精度。当h减小时,截断误差会减少。 （注：截断误差为o（hp+1)时，称为具有p阶精度） 例：用欧拉法求解下面微分方程，取h=0.2,欧拉法数值解： 精确解： 1.00000000000000 1.00000000000000 1.00000000000000 0.960789439

4、15232 0.92000000000000 0.85214378896621 0.77280000000000 0.69767632607103 0.58732800000000 0.52729242404305 0.39938304000000 0.36787944117144 0.23962982400000 0.23692775868212,2-3-3 梯形法（RK2）,用梯形面积代替曲边梯形的面积。,其中k2是有欧拉法估计得到。,2-3-4 四阶龙格库塔法 （ the fourth-order Runge-Kutta Method),K1, K2, K3,K4,称为四阶龙格库塔系数。

5、 四阶龙格库塔法取了泰勒级数的前五项之和得到，截断误差O（h5),具有四阶精度,多取几个点，然后将其斜率加权平均得一等效斜率，就得到四阶龙格库塔法。,2-3-5 几种数值积分法的分析,1、xn+1=xn+步长*各点斜率的加权平均 2、精度取决于步长h及阶次p。 3、本次计算只用到前一次的计算结果，属单步法。 单步法优点：占用存贮空间少，能自启动（从初值），可变步长。,2-3 数值积分法的稳定性,一、起源 数值积分法是一种近似的求解微分方程的方法。在反复的递推运算中将引入误差，若误差的积累越来越大，将使一个原本稳定的系统，得到的仿真结果却不稳定。 例如：有一个微分方程,其解析解：,欧拉法的递推公

6、式为：,2-3 数值积分法的稳定性,可见：当|1-30h|1时，递推结果将是发散的。 当0h2/30时，递推结果是稳定的（收敛的）,二、稳定性的测试方程 详细讨论数值积分稳定性问题是非常复杂的，本节介绍一种判定算法稳定性的常用方法。 通常用一个简单的一阶常系数微分方程来考察算法的稳定性。如果一个算法连这样简单的方程都不能适应，则不能保证其绝对稳定性。,其中，为一复数， =+j 0,（即原系统稳定）,2-3 数值积分法的稳定性,三、用测试方程考察欧拉法的稳定性,当|1+h |=1时，计算稳定。 2、求其稳定边界 设h =x+jy, 由|1+h |=1 得:|1+x+jy|=1 稳定边界为：(1+

7、x)2+y2=1 当为负实数时，步长的 稳定区间为：0h|2/ |,2-3 数值积分法的稳定性,四、龙格库塔法的计算稳定性 1、RK2,2、RK4,2-4 数值积分法的选择原则,从精度、速度、稳定性三个角度考虑 一、计算精度 数值积分存在两种误差。 1、截断误差：舍去泰勒级数的高阶项形成的。 p 截断误差 h 截断误差 2、舍入误差 由于计算机的字长有限引起的，会随着计算次数的增加而积累。 p 计算量 舍入误差 h 计算量 舍入误差,2-4 数值积分法的选择原则,如右图示，两种误差对步长的要求是矛盾的，最好选择在h0附近。一般情况下选：Tmin/20=h=Tmin/5 系统响应快的，步长要小。,二、计算速度 h 计算速度加快。 高阶算法，计算速度慢。 三