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文档简介
1、期权定价,刘虹,证券期货部,北京物资学院,刘虹六红393,主要内容,风险中性理论的二叉树定价模型,Black-Scholes模型,Trident树模型,第一,风险中性定价原理,例1。一只股票目前的市场价格是100元,根据股票的风险特征,它的必要收益率是10%。如果市场无风险利率为5%,一年后的股票价格,如果一年后的股票价格为110元,在交易中以无风险利率借入资本100元,买入股票,并同意远期买方一年后按110元卖出。1年后,无论股价上涨还是下跌,交易者都可以按照110元的价格将所持股票卖给远期买家,然后将105元返还给贷款人。这种策略可以使交易者获得5元的无风险套利收益。因此,任何资产的远期价
2、格应等于该资产的现值,作为基于无风险收入的最终投资价值,或者任何资产的现值等于以无风险利率贴现的资产远期价格的现值。因此,在用远期价格对资产定价时,贴现率是无风险利率,即定价中使用的贴现率与资产风险无关。风险中性定价原则:风险中性定价原则是指在对资产定价时,资产的风险与其价格无关,或者在定价过程中不考虑资产的风险。2.(1)二叉树模型的基本方法(1)标的资产不分红的欧式看涨期权的定价(C=c),已知标的资产的当前价格是S和T之后的上升和下降价格Su和Sd,如图1所示,期权价格关系如图2所示。如果无风险利率为R,则找出在T期到期且行权价格为K的基础资产看涨期权的价格和上升概率。上升和下降因子u和
3、d或上升和下降因子为:Cu=最大su-k,0,CD=最大SD-k,0,在(t-t)年后的远期价格应等于每个远期价格可能性的加权平均值。 现货价格等于无风险利率贴现的远期价格的现值,基础资产和期权价格上涨1。 (2)二叉树模型的基本方法(1)标的资产不分红的欧式看跌期权的价格:pu=max k-Su,0,PD=max k-sd,0,u、d、Su、sd、等指标的计算与看涨期权相同。看跌期权的价格计算如下:(2)二叉树模型的基本方法(1)标的资产支付红利的欧式看涨期权的定价(Cc)。当标的资产以连续收益率Q支付股利时,证券价格的增长率应为R-Q。3)二叉树模型的基本方法(2)策略B:借入无风险资产L
4、,买入股价等于S的股票,初始头寸为LS;到期时,无论价格上涨或下跌,两种策略的头寸应该相等,否则就会有套利机会。(T-t)年后,当期权到期时,股票价格升至Su或跌至Sd,交易者的头寸如下:l(1r)(T-T)Su=Cu(1)l(1r)(T-T)Sd=CD(2),或构造一个单位看涨期权的短期和。该投资组合的初始投资为0,l s-c=0。类似地,如果没有套利机会,组合应该在期末满足公式(1)和(2)。通过解方程(1)和(2),我们可以得到: su- SD=Cu-CD,l=(Cu- su)/(1 r) (t-t)或L=(Cd-Sd)/(1 r)(T-t),那么看跌期权的分析和计算在这里是相同的。,3
5、。(2)利用二叉树的基本方法对连续红利利率资产的看涨期权进行定价。当标的资产以连续收益率Q支付股息时,当期权在T期后到期时,股票价格升至Su或跌至Sd,交易者的头寸为:Le (R-Q) (T-T) Su=Cu (1) Le。方程(1)和(2)可解为: su- SD=Cu-CD,l=(Cu- su)/e (r-q) (t-t)或L=(Cd -Sd)/e(r-q) (T-t),一年后,其价格只有两种可能的趋势:要么升至120元,要么跌至80元。以该股票为目标的欧洲看涨期权,执行价格为75元,一年后到期。请计算一年后股票价格上升到120元并下降到80元的概率,以及欧洲看涨期权的价格。2.使用二叉树模
6、型对看涨期权定价。第一,1年后,铜=120-75=45元;Cd=80-75=5元。使用方法(1),C=S* L=100-72.8155=27.1845,使用方法(2),L=(5-80)/(1 3%)=-72.8155,假设当前无风险利率为2%,股票价格为30元。概率分别是p和(1-p)。如果标的股票的欧式看涨期权的执行价格是40元,计算期权的价格。例3。用二叉树模型对看涨期权进行定价,一年后,U=45/30=1.5,D=20/30=2/3,Cu=45-40=5元;Cd是20-40或0的最大值,因此Cd=0,使用方法(1),C=S* L=30/5-3.9216=2.0784,使用方法(2),l=
7、(5-45/5)/(12%)=-3实施例4。使用二叉树模型对看涨和看跌期权进行定价,U=120/90=1.3333,d=80/90=0.8889,使用例4中的方法(1)和方法(2)对看涨和看跌期权进行定价,c=s * c LC=90 *通过公式:例5中每个节点的概率如下:证券价格的树形结构,得到每个节点的资产价格后,找出每个周期的涨跌概率, 然后我们可以在二叉树模型中使用倒推方法,并从树结构图的末端推回,然后我们可以相应地对期权定价。 如果是美式期权,在树形结构的每个节点上,需要比较此时预先执行的期权和下一刻之前持有的期权,选择较大的一个作为该节点的期权值。5,证券收益率E(r)和方差 2 (
8、er),E(r)= spu(1-p)d-s /s=p(u-d)(d-1),2E(r)=pu-p(u-d)-(d-1)2(1-p)d-p(u-d)-(d-1)2=p(1-p)(u-d)1,u=1 *(T-t)0.5 d 股票的历史年波动率估计为20%,年无风险利率为5%,su=100 * 1.1519=115.19,SD=100 * 0.8681=86.81,pu=0,PD=102-86.81=15.19,使用方法(1),c= s l=-100 * 0.5355,su1=100 * 1.1052=110.52首先,计算每一步(三个月)的股票涨跌系数:su1u2=110.52 * 1.1052=1
9、22.15,su1d2=110.53 * 0.9048=100,sd1d2=90.48 * 0.9048=81.87。基于上述数据,每个步骤的U、d和是相同的,因为波动性和时间间隔是恒定的。pd1d2=102-81.87=20.13,每一步的期权价格:pu1d2=pd1u2=102-100=2,根据第一步的期权价格和概率,我们得到:P=5.16,pu1u2=0,例8,如果例6的期权是美式期权,前面的计算是一样的,在计算每个节点的期权价格后,比较哪种策略更有利,行使还是继续持有期权,并根据假设标的资产是一只无红利的股票,其当前市场价格为50元,波动率为每年40%,无风险连续复利的年利率为10%,该股票5个月的美式看跌期权的约定价格为50元。su=50 * 1.2946=64.73,SD=50 * 0.7724=38.62,Cu=64.73-50=14.73,CD=38.62-50,0=0,使用方法(1),c=su L=(Cu-su)/e(t-t)* r=(14.73-64.73 * 0.5642)/1.043=-1 1-p=0.4924,股票价格和看涨期权的二叉树结构图,su1=s * u=50 * 1.1224=56.12,sd1=s * d=50 * 0.8909=44.55,Su1 U2=Su1 * u=SU1 D2=SD1 U2=Su1 * d=56.1
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