概率论与数理统计课件

1、概率论与数理统计 2006-02-10,第一章 随机事件及其概率,7/1/2020,1.1 随机事件及其概率的统计定义,一、概率论的诞生及应用 1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一赌徒胜 a 局 ( ac ),另一赌徒胜b局(bc)时便终止赌博,问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念数学期望。 概率论是数学的一个分支,它研究随机现象的数量规律. 概率论的广泛应用几乎遍及所有的科学领域, 例如天气预报, 地震预报, 产品的抽样调查; 另外在经济、金融、保险；管理决

2、策；生物医药；农业（试验设计等）等领域都有广泛应用.,在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.,“太阳不会从西边升起”,1.确定性现象,“可导必连续”,“水从高处流向低处”,实例,自然界所观察到的现象:,确定性现象,随机现象,二、随机现象,确定性现象的特征:,条件完全决定结果,在一定条件下可能出现也可能不出现的现象,称为随机现象.,实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观 察正反两面出现的情况”.,2. 随机现象,结果有可能出现正面也可能出现反面.,结果有可能为:,“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.,实例3 “抛掷一枚骰子,观 察出现的点数”.,实例2 “用同一

3、门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况”.,结果: “弹落点会各不相同”.,实例4 “从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品”.,其结果可能为:,正品 、次品.,实例5 “过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯”.,实例6 “一只灯泡的寿命” 可长可短.,随机现象的特征:,条件不能完全决定结果,2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.,随机现象是通过随机试验来研究的.,问题 什么是随机试验?,如何来研究随机现象?,说明,1. 随机

4、现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.,1. 可以在相同的条件下重复地进行;,2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事 先明确试验的所有可能结果;,3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.,定义 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验.,三、随机试验,说明,1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行的 “调查”、“观察”、或 “测量” 等.,实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面,反面出现的情况”.,分析,2. 随机试验通常用 E 来表示.,(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;,1.

5、“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.,2.“从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数”.,同理可知下列试验都为随机试验,(2) 试验的所有可能结果:,正面，反面;,(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,故为随机试验.,3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等 车人 数.,4. 考察某地区 10 月份的平均气温.,5. 从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.,四、概率的统计定义,、随机事件：在试验的结果中，可能发生、也可能不发生的事件。比如，抛硬币试验中，”徽花向上”是随机事件；掷一枚骰子中，”出现奇数点”是一个随机事件等。 、频率：设A为实验E中的一个随机事件，将E重复

6、n次，A发生m次，称f(A)=m/n为事件A的频率 随着实验次数n的增加，频率将处于稳定状态比如投硬币实验，频率将稳定在1/2附近 、统计概率：将事件A的频率的稳定值p作为事件A出现的可能性的度量，即P(A)=p为事件A的统计概率 统计概率的缺点： （）需要大量的重复试验 （）得到的是概率的近似值,1.2 样本空间,定义1 对于随机试验E，它的每一个可 能结果称为样本点，由一个样本点组成的 单点集称为基本事件。所有样本点构成的 集合称为E 的样本空间或必然事件，用 或S表示 我们规定不含任何元素的空集为不可能件， 用 表示。P()=1,P()=0,例、设试验为抛一枚硬币，观察是正面还是反面，则

7、样本空间为： =正面，反面或1,2 例、设试验为从装有三个白球（记为，号）与两个黑球（记为，号）的袋中任取两个球 （）观察取出的两个球的颜色，则样本空间为： =00, 11, 01 00 表示“取出两个白球”， 11 表示“取出两个黑球”， 01 表示“取出一个白球与一个黑球”,（）观察取出的两个球的号码，则样本空间为： =12, 13, 14, 15, 23, 24,25, 34, 35, 45 ij 表示“取出第i号与第j号球” 注：试验的样本空间是根据试验的内容确定的！,随机事件 随机试验 E 的样本空间 的子集(或某些样本点的子集），称为 E 的随机事件, 简称事件.,试验中,骰子“出

8、现1点”, “出现2点”, ,“出现6点”,“点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.,例3 写出掷骰子试验的样本点, 样本空间, 基本事件, 事件A出现偶数, 事件B出现奇数,小结,随机现象的特征:,1,条件不能完全决定结果.,2. 随机现象是通过随机试验来研究的.,(1) 可以在相同的条件下重复地进行;,(2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事 先明确试验的所有可能结果;,(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现.,随 机 试 验,3. 随机试验、样本空间与随机事件的关系,随机试验、样本空间与随机事件的关系,每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样 本空间的子集就

9、是随机事件.,随机试验,样本空间,随机事件,必然事件不可能事件是两个特殊的 随机事件,和事件与积事件的运算性质,二.事件间的运算规律,三 完备事件组,逆分配律,概率论与集合论之间的对应关系,四、小结,一.古典概型,1.4 概率的古典定义,、定义 如果一个随机试验E具有以下特征 （1）、试验的样本空间中仅含有有限个样本点； （ 2）、每个样本点出现的可能性相同。 则称该随机试验为古典概型。,设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成, A 为 E 的任意一个事件,且包含 m 个样本点, 则事 件 A 出现的概率记为:,2. 古典概型中事件概率的计算公式,称此为概率的古典定义.,3. 古典概型的基本

10、模型:摸球模型,(1) 无放回地摸球,问题1 设袋中有M个白球和 N个黑球, 现从袋中无 放回地依次摸出m+n个球,求所取球恰好含m个白球,n个黑球的概率?,样本点总数为,A 所包含的样本点个数为,解,设A=所取球恰好含m个白球,n个黑球,(2) 有放回地摸球,问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2 次摸到黑球、第3 次摸到红球 的概率.,解,第1次摸球,6种,第1次摸到黑球,4种,第3次摸到红球,样本点总数为,A 所包含样本点的个数为,4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型,(1)杯子容量不限制,问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有

11、两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.,4个球放到3个杯子的所有放法,因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为,(2) 每个杯子只能放一个球,问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能 放一个球, 求第1 至第4个杯子各放一个球的概率.,解,第1至第4个杯子各放一个球的概率为,解,5、典型例题,在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法 共有,于是所求的概率为,解,在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有,例 3（分房问题） 有 n 个人，每个人都以同样的概率 1/N 被分配在 间房中的每一间中，试求下列各事件的概率：,(1)某指定 间房中各有一人 ;,(2)恰有 间房，

12、其中各有一人；,(3) 某指定一间房中恰有 人。,解 先求样本空间中所含样本点的个数。 首先，把 n 个人分到N间房中去共有 种分法，其次，求每种情形下事件所含的样本点个数。,(b)恰有n间房中各有一人，所有可能的分法为,(a)某指定n间房中各有一人，所含样本点的个数，即可能的的分法为 ：,(c)某指定一间房中恰有m人，可能的分法为,进而我们可以得到三种情形下事件的概率，其分别为 :,(1),把有限个样本点推广到无限个样本点的场合,人们引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另一方法 几何方法.,概率的古典定义具有可计算性的优点,但它也有明显的局限性.要求样本点有限,如果样本空间中的样本点有无限

13、个, 概率的古典定义就不适用了.,二、几何概型,定义1,定义2 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域是等可能的,则事件 A 的概率可定义为,说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概率.,那末,两人会面的充要条件为,例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( t1P(A+B) ),由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以 A与B独立,进而,= 0.8,1. 三事件两两相互独立的概念,(二) 多个事件的独立性,定义,2. 三事件相互

14、独立的概念,定义,设 A1，A2 ， ，An为n 个事件， 若对于任意k(1kn), 及 1i 1 i 2 i kn,3. n 个事件的独立性,定义,若事件 A1，A2 ， ，An 中任意两个事件相互独立，即对于一切 1 i j n, 有,定义,注.,两个结论,n 个独立事件和的概率公式:,设事件 相互独立,则,也相互独立,即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于 1减去各自对立事件概率的乘积.,结论的应用,则“ 至少有一个发生”的概率为,P(A1An) =1- (1-p1 ) (1-pn ),类似可以得出：,=1- p1 pn,事件的独立性在可靠性理论中的应用：,一个元件的可靠性：,该元件正

15、常工作的概率.,一个系统的可靠性：,由元件组成的系统正常工作的概率.,1.10 独立试验序列,1. 定义 (独立试验序列),设Ei (i=1,2,)是一列随机试验,Ei的样本空间为i ,设Ak 是Ek 中的任一事件,Ak k , 若Ak出现的概率都不依赖于其它各次试验Ei (ik)的结果, 则称Ei 是相互独立的随机试验序列,简称独立试验序列.,则称这n次重复试验为n重贝努里试验，简称为贝努里概型.,若n 次重复试验具有下列特点：,2. n 重贝努利(Bernoulli)试验,1) 每次试验的可能结果只有两个A 或,2) 各次试验的结果相互独立，,( 在各次试验中p是常数，保持不变）,实例1

16、抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将 硬币抛 n 次,就是n重伯努利试验.,实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就 是 n重伯努利试验.,一般地，对于贝努里概型，有如下公式：,定理,如果在贝努里试验中，事件A出现的概率为p (0p1), 则在n次试验中，A恰好出现 k 次的概率为：,3. 二项概率公式,推导如下：,且两两互不相容.,称上式为二项分布. 记为,经计算得,解,例2,解,三、内容小结,4 二项分布,5 几何分布,备用题,伯恩斯坦反例,一个均匀的正四面体, 其第一面染成红色, 第二面染成白色 , 第三面染成黑色, 而第四面同 时染上红、白、黑三种颜色.现以 A , B, C 分别 记投一次四面体出现红, 白, 黑颜色朝下的事件, 问 A,B,C是否相互独立?,解,由于在四面体中红, 白, 黑分别出现两面,因此,又由题意知,例1,故有,因此 A、B、C 不相互独立.,则三事件 A, B, C 两两独立.,由于,解,事件 B 为“击落飞机”,甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人 击中的概率分别为 0.4, 0.