2020学年高中数学 第二章 推理与证明综合检测学案 选修2-2（通用）

1、第二章是推理和证明的综合检测时间是120分钟，满分150分。首先，多项选择题(在这个大问题中有12个小问题，每个都有5分，总共60分。在每个小问题给出的四个选项中，只有一个符合主题的要求)1.锐角三角形的面积等于底部的一半乘以高度；直角三角形的面积等于底部的一半乘以高度；钝角三角形的面积等于底部的一半乘以高度；因此，任何三角形的面积等于底边的一半乘以高度。上述推理中使用的推理规则是()A.三段论推理B.假设推理C.关系推理D.完全归纳推理答案 D【分析】所有三角形都是按角度划分的，只有锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。上述推理穷尽了所有可能的情况，因此它完全是归纳推理。2.级数1，3，6，1

2、0，15的递推公式，可能是()A.B.C.D.回答乙resolution将序列记为an。从已知的观察规则来看：a2比a1多2，a3比a2多3，a4比a3多4，可以知道，当n2时，an大于an-1，并且可以得到递推关系(n2，n n *)。3.有一种演绎推理，“一些有理数是真分数，整数是有理数，那么整数就是真分数”，这个结论显然是错误的，因为()A.主要前提误差B.小前提错误C.错误的推理形式D.不是上面的错误答案 C【解析】大小的前提是正确的，而它的推理形式是错误的。因此，应该选择c。4.用数学归纳法证明当方程1 2 3 (n 3)=(n n *)时，验证n=1，左边的项是()A.1B.1+2

3、C.1+2+3D.1+2+3+4答案 D分辨率当n=1，left=1 2 (1 3)=1 2 4时，应选择d。5.定义r: xy=x (1-y)上的操作。如果不等式(x-a) (x a) 1适用于任何实数x，则()A.-1a1B.0a2C.-a D.-a 答案 C【解析】通过类比题目中给出的运算形式，得到不等式(x-a) (x a) 1的简化形式，然后当A为常数时，得到A的取值范围。(x-a)(x+a)1(x-a)(1-x-a)1那是x2-x-a2 a 10不等式成立的充要条件是=1-4(-a2+a+1)0即4a2-4a-30获取-0，0，所以0，所以当A，f(2k 1)-f(2k)=_ _

4、_ _ _ _ _ _ _。回答.分辨率 f (2k 1)=1.f(2k)=1+ +f(2k+1)-f(2k)=+。15.观察sin 210 cos 240 sin 10 cos 40=；sin 26 cos 236 sin 6 cos 36=的结构特征。一个猜想方程可以被提出为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。答案 Sin2 cos 2 (30 ) Sin cos (30 )=分辨率观测值40-10=30，36-6=30，这个猜想：sin 2+cos 2(30+)+sincos(30+)=1。这个结论可以证明是正确的，如下：sin2+cos2(30+)+sincos(3

5、0+)=+sin(30+2)-sin 30=1+cos(60+2)-cos 2+sin(30+2)-=1+-2 sin(30+2)sin 30+sin(30+2)-=-sin(30+2)+sin(30+2)=。16.让p是一个数字集，并且包含至少两个数字。如果任何一个a，bP有一个b，a-b，a b，P(除数b0)，那么P就是一个数域。例如，有理数集q是一个数域；数字集f=a b | a，bQ也是一个数字域。有以下主张：(1)整数集是一个数字字段；如果有理数集为QM，那么数集M必须是一个数域；数字字段必须是无限集合；有无限多个字段。正确命题的序号是_ _ _ _ _ _ _ _(填写你认为正确

6、的命题的序号)答案 分析检查阅读理解、分析和其他学习能力。(1)整数a=2，b=4，不是整数；如果有理数集Q与元素相加得到数集M，则取A=3，B=，A=BM；根据数域p的定义，如果aP，bP(P至少包含两个元素)，那么就有bP，因此A 2B，A 3B，A Nb P，P必然包含无穷多个元素。假设x是一个不完全平方正整数(x1)，a，bQ，那么根据数域的定义，f=a b | a，bQ一定是一个数域，并且有无穷多个这样的数域f .第三，回答问题(本主题有6个小问题，共74分。答案应该写一个文字描述，证明过程或计算步骤)17.(12个点中)已知a，b，cR，a，b，c=1。验证：A2 B2 C2 。证

7、明 A2 B2 2ab，B2 C2 2bc，C2 A2 2ca。加a2 B2 C2 ab BC ca。3(a2+b2+c2)(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)2.b c=1，3 (a2 B2 C2) 1，那是a2 B2 C2。18.(满分12分)证明以下等式，并从中得出一个一般性结论。2cos=，2cos=，2cos=，证明 2 cos=2=2cos=2=2=2cos=2=219.(本问题中的12点)已知数列an满足a1=3，Anan-1=2an-1-1。(1)找到a2、a3和a4；(2)验证：级数为算术级数，并写出级数an的通式。分辨率 (1)从Anan-1=2an

8、-1-1an=2，替换a1=3，n依次取2、3和4得到a2=2-=，a3=2-=，a4=2-=。(2)证明：通过anan-1=2an-1-1变形，我们得到(an-1)(an-1-1)=-(an-1)+(an-1-1)，即，-=1，所以是算术级数。通过=，所以=n-1，得到一个-1=，因此，an=是an系列的通式。20.(共12点)已知函数f (x)=ax (a1)。(1)证明函数f(x)是(-1，)上的增函数；(2)方程f (x)=0没有负根。分析 (1)证据1:取x1，X2(-1，)，我们设x10和ax10。和* x1 10，x2 10，f(x2)-f(x1)=-=0，然后f (x2)-f

9、(x1)=ax2-ax1 -0，因此，函数f(x)是(-1，)上的递增函数。证词2:f(x)=axlna=axlnaa1,lna0,axlna+0，f(x)0在(-1，)上是常数，也就是说，f(x)是(-1，)上的递增函数。(2)解1:让x00(x01)满足F (x0)=0Ax0=-，00，ax00，f(x0)0.综上所述，当x0(x - 1)、f (x)-1或f(x)0时，即方程f (x)=0没有负根。21.(问题中的12点)我们知道在ABC中，如果C2=A2 B2，那么ABC是一个直角三角形。现在请研究一下：如果CN=An BN (n 2)，问一下三角形ABC是什么。为什么？【解析】锐角三

10、角形cn=an bn(n 2)， c a，c b，C是ABC的最大边，所以要证明ABC是一个锐角三角形，只需证明角C是一个锐角，即COSC 0。cosC=，证明COSC 0，只是证明A2 B2 C2，注意条件：一个bn=cn，因此，相当于：(a2 B2) cn-2 cn。ca,cb,n2,cn-2an-2,cn-2bn-2，即，cn-2-an-2 0，cn-2-bn-2 0，因此，(a2 B2) cn-2-cn=(a2 B2) cn-2-an-bn=a2(cn-2-an-2)+b2(cn-2-bn-2)0，这表明等式(2)成立，因此等式(1)成立。因此，cosc 0，c为锐角，ABC为锐角三角

11、形。22.(本题满分14分)(2020安徽科学，20)让每个项目都在a1，a2，一个，不是0。证明an是算术级数的充要条件是，对于任何n n，存在.=。【分析】本科目考查算术级数、数学归纳法、充要条件和其他相关知识，以及推理、论证和计算的能力。解决问题的思路是用分裂项的和来证明必要性，然后用数学归纳法或综合法来证明充分性。证明首先证明的必要性。让数列an的容差为d，如果d=0，那么这个方程显然成立。如果d0，则+=。重新证明充分性。证明1:(数学归纳法)让所述方程对所有n n成立。首先，在方程中=两端乘以a1+a3=2a2，即a1 a3=2a2，因此a1，a2=a1+d a3是算术级数，如果公差为d，a2=a1 D .假设AK=a1 (k-1) d，当n=k 1时，观察以下两个方程+=，+=将替换为以获得+=，在公式的两端，将a1akak 1相乘得到(k-1) AK 1 a1=kak。将AK=a1 (k-1) d代入，完成后，得到AK 1=a1 KD。根据数学归纳法的原理，对于所有的nN，有一个=a1 (n-1) d，所以an是一个公差