1.2.1充要条件

1、1.4充分条件与必要条件,判断充分条件、必要条件、充要条件(重点) 证明充要条件和求充要条件(难点),【核心扫描】,1,2,充分条件与必要条件,自学导引,1,充分,必要,充分,必要,试一试：在逻辑推理中pq，能否表达成以下5种说法： “若p，则q”为真命题；p是q的充分条件；q是p的必要条件；q的充分条件是p；p的必要条件是q. 提示可以这五种说法表示的逻辑关系是一样的，都能表示pq，只是说法不同而已,充要条件的概念 一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq，此时，我们说p是q的充分必要条件，简称_显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的_ ，即如果pq，那么p与q互为充要条件 想一想：p

2、是q的充要条件与p的充要条件是q有什么区别？ 提示p是q的充要条件指的是pq是充分性，qp是必要性，即p是条件，q是结论；p的充要条件是q中，qp是充分性，pq是必要性，即q是条件，p是结论,2,充要条件,充要条件,充分条件、必要条件、充要条件的判断 (1)定义法 若pq，但q p，则p是q的充分而不必要条件； 若qp，但p q，则p是q的必要而不充分条件； 若pq且qp，则p是q的充要条件； 若p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件 (2)集合法 首先建立与p，q相应的集合，即p：Ax|p(x)；q：Bx|q(x) 若AB，则p是q的充分条件；,1,若BA，则p是q的必要条件； 若A

3、B，则p是q的充分而不必要条件； 若BA，则p是q的必要而不充分条件； 若AB，则p是q的充要条件； 若A B，B A，则p是q的既不充分也不必要条件 (3)传递性法 由于逻辑联结符号“”“”“”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所给的两个条件之间的相互关系 (4)等价命题法 当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系(特别是对于否定形式或“”形式的命题)时，可利用原命题与其逆否命题的等价性来解决，即等价转化为判断其逆否命题,应用充分条件、必要条件、充要条件时需注意的问题 (1)确定条件是什么，结论是什么； (2)尝试从条件推结论，从结论推条件； (3)确定条件是结论

4、的什么条件； (4)要证明命题的条件是充要的，就是既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性,2,题型一充分条件、必要条件、充要条件的判断,指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答) (1)在ABC中，p：AB，q：BCAC； (2)对于实数x，y，p：xy8，q：x2或y6； (3)在ABC中，p：sin Asin B，q：tan Atan B； (4)已知x，yR，p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(y2)0.,【例1】,思路探索 解答本题

5、首先判断是否有pq和qp，再根据定义下结论，也可用等价命题判断 解(1)在ABC中，显然有ABBCAC，所以p是q的充要条件 (2)因为：x2且y6xy8，即 q p，但 p q， 所以p是q的充分不必要条件 (3)取A120，B30，p q，又取A30，B120， q p，所以p是q的既不充分也不必要条件 (4)因为p：A(1，2)， q：B(x，y)|x1或y2， AB，所以p是q的充分不必要条件,规律方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断pq及qp两命题的正确性，若pq真，则p是q成立的充分条件，若qp真，则p是q成立的必要条件 (2)关于充要条件的判断问题，当不易判断pq真假时，也

6、可从集合角度入手判断真假，所以结合集合关系理解，对解决与逻辑有关的问题是大有益处的,指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件”中选一种作答)? (1)p：ABC中，b2a2c2，q：ABC为钝角三角形； (2)p：ABC有两个角相等，q：ABC是正三角形； (3)若a，bR，p：a2b20，q：ab0. 解(1)ABC中，,【变式1】,B为钝角，即ABC为钝角三角形，反之若ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2a2c2. pq，q p，故p是q的充分不必要条件 (2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立， p q，qp

7、，故p是q的必要不充分条件 (3)若a2b20，则ab0，故pq；若ab0，则a2b20，即qp，所以p是q的充要条件,求证：关于x的方程x2mx10有两个负实根的充要条件是m2. 思路探索 本题的条件是p：m2，结论是q：方程x2mx10有两个负实根证明该问题，充分性的证明是pq，必要性的证明是qp. 证明(1)充分性：因为m2，所以m240，所以方程x2mx10有实根，设两根为x1，x2， 由根与系数的关系知，x1x210，所以x1，x2同号 又x1x2m20，所以x1，x2同为负数,题型二充要条件的证明,【例2】,即x2mx10有两个负实根的充分条件是m2. (2)必要性：因为x2mx1

8、0有两个负实根，设其为x1，x2，且x1x21，,所以m2，即x2mx10有两个负实根的必要条件是m2. 综上可知，m2是x2mx10有两个负实根的充要条件 规律方法 充要条件的证明，关键是确定哪是条件，哪是结论，并明确充分性是由条件推结论，必要性是由结论推条件，也可以理解为证明充分性就是证原命题成立，证必要性就是证原命题的逆命题成立,证明不等式ax22x10恒成立的充要条件是a1. 证明当a0时，2x10不恒成立 当a0时，ax22x10恒成立,【变式2】,所以不等式ax22x10恒成立的充要条件是a1.,(12分)已知p：2x23x20，q：x22(a1)xa(a2)0，若p是q的充分不必

9、要条件求实数a的取值范围 审题指导,题型三充分条件和必要条件的应用,【例3】,Nx|x22(a1)xa(a2)0 x|(xa)x(a2)0 x|xa2或xa， 4分 由已知pq，且q p，得M N. 6分,【题后反思】 在涉及到求参数的取值范围又与充分、必要条件有关的问题时，常常借助集合的观点来考虑注意推出的方向及推出与子集的关系,是否存在实数p，使4xp0的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由 解由x2x20，解得x2或x2或x1，,【变式3】,当p4时，4xp0的充分条件,一元二次方程ax22x10(a0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 () Aa0 Ca1 Da1 错解 一元二次方程ax22x10(a0)有一正根和一负根,误区警示各种条件混淆不清致错,【示例】,先按充要条件求解，求出a的范围后，缩小范围即可确定充分不必要条件,正解 错解求的其实是一元二次方程ax2