1-绪论-有限元法2012-1

1、有限元法,史冬岩 博士 教授 哈尔滨工程大学机电学院CIMS 2012秋,CIMS, HEU, CHINA,内容,绪论 杆系统 梁系统 一维单元和二维单元 二维结构问题 动力学问题,课程安排,课程安排 总课时：32学时 课堂讲授：26学时 上 机： 6学时 考 试：闭卷考试 成绩比例：期末考试 50% 上机大作业 20% 平时出勤 20% 随堂测试 10% 讲授方式 幻灯片讲解 实际操作演示 上机操作,参考资料,1. S. Moaveni: Finite Element Analysis, Theory and Applications with ANSYS, 1) Pearson Educa

2、tion, Inc., Upper Saddle River, New Jersey, USA, 2003 ISBN 7-5053-8679-4/TP 5039,2. S. M.： 王崧等译. 有限元分析ANSYS理论与应用. 北京: 电子工业出版 社, 2005 3. 曾攀： 有限元分析及应用. 北京: 清华大学出版社, 2004 4. 张洪信： 有限元基础理论与ANSYS应用.北京：机械工业出版社 5. 龙驭球 ： 有限元法 6. 张国瑞： 有限元法 7. ANSYS应用软件书籍,1. 绪论,1.1. 目的1.2. 工程问题1.3. 数值方法1.4. 有限元法和 ANSYS历史回顾1.5.

3、 有限元直接公式法基本步骤1.6. 最小势能原理,1.1 目的,1.1目的,1.1 目的,工程问题：,1.2 工程问题,工程问题: 物理状态的数学模型 1) 微分方程 2) 约束条件初始条件 1) 精确解： 单一部分 -E,I,L 特殊部分-w,M,F 2) 数值近似： 有限差分法 有限单元法 表1.1,1.2,1.3,微分方程,约束条件,梁的变形Y 横向位移X,1.3 数值方法,有限元法: 阿基米德问题 (约 250 B.C.): 用内接正多边形的周长去逼近圆周长以求得 值。,结构分析数值计算方法。 理论基础牢靠，物理概念清晰，解题效率高，适应性强。 机械产品动、静、热特性分析的重要手段。,

4、1.4 有限元法和ANSYS的历史回顾,1943年R. Courant用三角形区域上的多项式函数(形函数)解决扭转问题； 1946年电子计算机问世，使结构分析发生重大变革； 50年代由德国工程师提出用能量原理 和矩阵方法来计算航空器的结构强度，逐渐波及土木工程； 1960年由R. H. Clough命名“有限单元法”FEM以来，有限元法蓬勃发展； 在60年代初开发有限元分析程序； 70年代初期诞生CAE软件，而紧接的30年则是CAE软件商品化的发展阶段。 Software: ANSYS, ABCUS, DINA-LS,Syst. nodal point displ., reactions at

5、 supports, strain distribution, stress distribution,Solution of the system of equations under consideration of BCs, that means, supports and loads,Assembly of the system stiffness relation System of linear algebraic equations,element stiffness relation,Engineering problem for a real solid or a real

6、structure,FE- Model, that is, discretisation through choice of element type and mesh design,(i),(i),F,F,Mechanically equivalent model,Modelling,1.5 有限元法基本步骤,(i+1),(i+1),有限元法基本步骤三个阶段,前处理阶段（Preprocessing phase） 离散化成有限个单元； 单元分析，单元基本公式（单元刚度）； 整体分析，把单元集成整体，组装整体刚度矩阵； 施加载荷、约束条件； 求解阶段（Solution) 5. 求解线性或者非线性

7、方程（linear or nonlinear algebraic equations），得到节点位移值 （displacement values at different nodes ； 后处理Postprocessing 6. 得到其它结果，如应力、支反力。,有限元常用术语,单元 (element ) ：有限元模型中每一个小的块体； 线、三角形、四边形、四面体、六面体； 节点 ( node)： 确定单元形状、表述单元特征、连接相邻单 元的点； 载荷 ( load ) ： 外在施加的力或力矩；不同的学科有所区 别； 集中力、分布力、力矩、温度、磁场 边界条件： 结构在边界上受到的外加约束； 初

8、始条件： 结构响应前所施加的初始速度、初始温度 预应 力。,节点和单元,节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。 单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。 单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。 有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接并承受一定载荷。,节点和单元 (续),信息是通过单元之间的公共节点传递的,分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传递 （需进行节点合并处理）,具有公共节点的单元 之间存在信息传递,节点和单元 (续),节点自由度是随连接该节点单元类型变化的,三维杆单元(铰接) UX, UY, UZ,二维

9、或轴对称实体元 UX, UY,三维实体结构单元 UX, UY, UZ,三维梁单元 ROTX, ROTY, ROTZ,三维四边形壳单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ,三维实体热单元 TEMP,节点自由度,自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。,有限元法详细步骤,1. 结构离散化 离散化（划分网格或网络化）：是将所求解的对象划分为有限个具有规则形状的微小块体，把每个微小块体称为单元，相邻两个单元之间只通过若干点互相连接，每个连接点称为节点。 相邻单元只在节点处连接，载荷也只通过节点在各单元之间传递，这些有限个单元的集合体，即原来的结构。 单元划分后，给每个单

10、元及节点进行编号； 选定坐标系，计算各个节点坐标； 确定各个单元的形态和性态参数以及边界条件等。,有限元法详细步骤,悬臂梁建立有限元分析模型。 该悬臂梁划分为许多三角形单元；三角形单元的三个顶点都是节点。,有限元法详细步骤,2. 单元分析 结构离散化后，即可对单元体进行特性分析，即单元分析。 单元分析工作主要有两项： (1)选择单元位移模式(位移函数) 用节点位移来表示单元体内任一点的位移、应变和应力，就需搞清各单元中的位移分布。 一般是假定单元位移是坐标的某种简单函数，用其模拟内位移的分布规律，这种函数就称为位移模式或位移函数。通常采用的函数形式多为多项式。 根据所选定的位移模式，就可以导出

11、用节点位移来表示单元体内任一点位移的关系式。,有限元法详细步骤,(2) 分析单元的特性，建立单元刚度矩阵 进行单元力学特性分析，将作用在单元上的所有力（表 面力、体积力、集中力）等效地移置为节点载荷； 采用有关的力学原理建立单元的平衡方程，求得单元内 节点位移与节点力之间的关系矩阵单元刚度矩阵。 3. 整体分析 把各个单元的刚度矩阵集成为总体刚度矩阵，以及将各 单元的节点力向量集成总的力向量，求得整体平衡方程。 集成过程所依据的原理是节点变形协调条件和平衡条件。,有限元法详细步骤,4. 施加载荷、约束条件 由上述所形成的整体平衡方程是一组线性代数方程，在求解之前，必修根据具体情况分析，确定求解

12、对象问题的边界约束条件，并对这些方程进行适当修正。 5. 有限元方程求解 通过求解整体平衡方程，即可求得各节点的位移，进而根据位移可计算单元的应力及应变。 6. 结果分析与讨论,有限元法基本求解方法,(1) 位移法 以节点位移作为基本未知量，通过选择适当的位移函数，进行单元的力学特性分析。在节点处建立单元刚度方程，再组合成整体刚度矩阵，求解出节点位移后，进而由节点位移求解出应力。 位移法优点是比较简单，规律性强，易于编写计算机程序。所以得到广泛应用，其缺点是精度稍低。,(2) 力法 该法是以节点力作为基本未知量，在节点处建立位移连续方程，求解出节点力后，再求解节点位移和单元应力。 力法的特点是

13、计算精度高。 (3) 混合法 此法是取一部分节点位移和一部分节点力作为基本未知量，建立平衡方程进行求解。,1.5 例子,求解阶段（Preprocessing phase） 离散化（Discretize）,承受轴向载荷的杆,划分成节点和单元,2. 单元分析（单元形函数）,L-长度, A-截面积, F-载荷,应力、弹性模量、应变,2. 单元分析,2. 单元分析,2. 单元分析（单元）,2. 单元分析（节点分析）,2. 单元分析（节点分析）,2. 单元分析（节点分析）,支反力=刚度位移-载荷,施加载荷和约束,约束条件: u1=0,Boundary conditions: u1=0,施加载荷和约束,刚

14、度矩阵位移矩阵=载荷矩阵,1 2 3 4 5,Node,1 2 3 4 5,单元公式,f(e)=k ( e) u (e),节点: (1),(2) 或 (i),(j) 或(i),(i+1),节点力=单元刚度 节点位移,4 整体分析（由单元组合成整体）,(1) (2),(1) (2),(1)1 k11K11 k12K12 (2)2 k21K21 k22K22,单元 1,4 整体分析（由单元组合成整体）,(1)2 k11K22 k12K23 (2)3 k21K32 k22K33,单元 2,4 整体分析（由单元组合成整体）,5. 施加载荷和约束条件,6.求解,u1=0 in u2=0.001026 i

15、n u3=0.002210 in u4=0.003608 in u5=0.005317 in,1.6 最小势能原理,弹性体在外力作用下发生变形，则在所有满足边界条件下和协调要求下的可能位移中，总势能最小。 外部载荷 产生变形 弹性体内的能量 (1) 面力或者体力在弹性体上所作的功 (2) 应变能，主应力和剪力 总势能的定义： ,strain energy,work,外力功，应变能?,1.6 最小势能原理,1.6 最小势能原理,n 单元, m 节点,nodal forces nodal displacement,element strain energy,1.6 最小势能原理,例子: 求解弹簧的位移: a) 用静力平衡方程; b) 用最小势能原理,a),G=8N, k=20N/m, P=12N,1.6 最小势能原理,b),1.6 最小势能原理,应变能最小( 对ui