数列的概念及简单表示法

1、第 1 讲 数列的概念及简单表示法,1了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式) 2了解数列是自变量为正整数的一类函数.,1数列的定义 按照 排列着的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的 项,2数列的分类,一定顺序,有限,无限,3. 数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是 、 和 4.数列的通项公式 如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子 来 表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式,列表法,图象法,解析法,anf(n),联动思考 想一想：数列可以看成一个以n为自变量的函数，则其定义域是什么？ 答案：其定义域为正整数N*或其有限子集1,2，n 议一

2、议：数列的通项公式唯一吗？举例说明 答案：不唯一，如数列1,1，1,1，的通项公式可以为an(1)n或an .,答案：C,答案：A,3在数列an中，an1an2an，a12，a25，则a6的值是 () A3 B11 C5 D19 解析：a3a2a1523 a4a3a2352 a5a4a3235 a6a5a4523. 答案：A 4(2010安徽卷)设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为 () A15 B16 C49 D64 解析：a8S8S78272(87)(87)15. 答案：A,5若数列an的前n项和Snn210n(n1,2,3，)，则此数列的通项公式为an _；数列nan中数值最小的项

3、是第_项 解析：当n2时，SnSn12n11，n1时也符合，则an2n11，nan 2n211n2 且nN*，故n3时，nan最小,答案：2n113,考向一由数列的前几项写数列的通项公式 【例1】 写出下面各数列的一个通项公式：,(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为21，偶数项为21，,反思感悟：善于总结，养成习惯 根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用 添项、还原、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求,答案：D,考向二由数列的递

4、推关系求通项公式,【例2】 根据下列条件，确定数列an的通项公式 (1)a11，an13an2； (2)a11，an1(n1)an.,累乘可得：ann(n1)(n2)321.,反思感悟：善于总结，养成习惯 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解当 出现anan1m时，构造等差数列；当出现anxan1y时，构造等比数列； 当出现anan1f(n)时，用累加法求解；当出现 f(n)时，用累乘法求解,迁移发散 2根据下列条件，确定数列an的通项公式 (1)在数列an中，an13a，a13； (2)在数列an中，a11，an1 ； (3)在数列an中，a12，an14an3n

5、1； (4)在数列an中，a18，a22，且满足an24an13an0. 解：(1)由已知an0，在递推关系式两边取对数 有lg an12lg anlg 3， 令bnlg an，则bn12bnlg 3， bn1lg 32(bnlg 3)， bnlg 3是等比数列， bnlg 32n12lg 32nlg 3， bn2nlg 3lg 3(2n1)lg 3lg an an32n1.,(3)由an14an3n1，得an1(n1)4(ann)， 又a111，所以数列ann是首项为1，且公比为4的等比数列， ann(a11)4n1，an4n1n. (4)将an24an13an0变形为an2an13(an1

6、an)， 则数列an1an是以a2a16为首项，3为公比的等比数列， 则an1an63n1，利用累加法可得an113n.,考向三由数列的Sn与an的关系求通项公式,【例3】 (2010临沂调研)已知数列的前n项和为Sn，满足log2(1Sn)n1， 求数列的通项公式,解：log2(1Sn)n1， 1Sn2n1， Sn2n11， anSnSn1(2n11)(2n1) 2n(n2) 又n1时，a13不符合上式， an,反思感悟：善于总结，养成习惯 数列的通项an与前n项和Sn的关系是an ，此公式经常使用，应 引起足够的重视已知an求Sn时方法千差万别，但已知Sn求an时方法却是高度统 一当n2时

7、求出an也适合n1时的情形，可直接写成anSnSn1，否则分段 表示,迁移发散 3已知下列数列an的前n项和Sn，求an的通项公式： (1)Sn2n23n；(2)Sn3nb. 解：(1)a1S1231， 当n2时，anSnSn1 (2n23n)2(n1)23(n1)4n5， 由于a1也适合此等式，an4n5. (2)a1S13b， 当n2时，anSnSn1 (3nb)(3n1b)23n1. 当b1时，a1适合此等式； 当b1时，a1不适合此等式 当b1时，an23n1；,考向四数列性质的应用,【例4】 已知数列an的前n项和为Sn，并且满足a12，nan1Snn(n1) (1)求an的通项公式

8、； (2)令Tn nSn，问是否存在正整数m，对一切正整数n，总有TnTm，若存 在，求m的值；若不存在，说明理由 解：(1)令n1，由a12，及nan1Snn(n1) 得a24，故a2a12 当n2时，有(n1)anSn1n(n1) 得nan1(n1)anan2n. 整理得an1an2(n2) 当n1时，a2a12，数列an是以2为首项，以2为公差的等差数列， an2(n1)22n. (2)由(1)得Snn(n1)，,反思感悟：善于总结，养成习惯 1数列是一类特殊的函数，解题时注意函数与方程思想的应用，以及转化思想 也是解题的常用方法 2数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项

9、、数列有界性 问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用作差法，作商 法，结合函数图象等方法,迁移发散 4已知数列an的前n项和Snn224n(nN*) (1)求an的通项公式； (2)当n为何值时，Sn达到最大？最大值是多少？ 解：(1)n1时，a1S123. n2时，anSnSn1 n224n(n1)224(n1)2n25. 经验证，a123符合an2n25， an2n25(nN*) (2)Snn224n， n12时，Sn最大且Sn144.,课堂总结 感悟提升 1用归纳法据前几项写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维 方法，需要我们有一定的数学观察能力和分析能力，并熟知一些常见的数 列的通项公式，如：数列n2，2n，(1)n，2n，2n1 2对于符号(数字、字母、运算符号、关系符号)、图形、文字所表示的数学问 题，要有目的的观察并得出结论，是学习数学应重视的能力，应多进行对 比，分析，从