第9章 常微分方程初值问题数值方法.pdf

中国石油大学(华东)数值分析习题及答案

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中国 石油大学 华东 数值 分析 习题 答案
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中国石油大学(华东)数值分析习题及答案,中国,石油大学,华东,数值,分析,习题,答案
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第 1 章 绪论 参考答案第 1 章 绪论 参考答案 一、选择题(15 分,每小题 3 分) 1、(2) 2、 (3) 3、(3) 4、(4) 5、(2) 二、填空题(15 分,每小题 3 分) 1、31102 ;2、12;3、130;4、33;5、截断(方法)误差 三、(13 分) 解:已知有效数的绝对误差限为123()()()0.0005e xe xe x=,-(2 分) 从而相对误差限为 123()0.00016,()0.5,()0.005rrrexexex=, 1123()()()()0.0015reye xe xe x+=+=, -(4 分) 由绝对误差限的传播关系式得 2231132123()()()()e yx x e xx x e xx x e x+,23232331()()()()xe ye xe xxx +, -(7 分) 所求算式的相对误差限为 111()0.0015()0.00053.004re yeyy, 221232()()()()()0.50516rrrre yeyexexexy+, 33233()()()()0.505rrre yeyexexy+=+=。 -(13 分) 四、(16 分) 解:(1)22122222sincostansinsinxxxxxxcox=(避免很小的数作除数);-(4 分) (2)2112121121()()xxxxxx=+=+(避免相近的数相减);-(8 分) 1(3)21121111()xxxxxxxxxxxxxx+=+=+(理由同(2); -(12 分) (4)1221111arctan()arctan( )arctanxxdtxxtxx+ +=+=+=+=+ (理由同(2) (利用公式1tantantan()tantanxyxyxy=+=+即得)。-(16 分) 五、(15 分) 解:01 41.y = = ,则20001102eyy=,-(2 分) 根据递推公式得到: 1111101010101010nnnnnnnnneyyyyyyee=L-(6 分) 当10n = =时,101028100111010101022ee=,故该方法不稳定。-(9 分) 将递推公式改写为1111 21010, ,nnyyn =+=+=L,-(12 分) 则有111110nnnnneyyyy=,2112111010nnnnneyyyy =, 0110nnneyy=, -(14 分) 由此可以看出,如果倒着计算,误差会递减,但必须知道ny的值。-(15 分) 六、(13 分) 解:因为,sssxyyxxy=, -(2 分) ()0.2x = =,()0.1y = =, -(6 分) 绝对误差限 ()()()()sx yxyyx=+=+110 0 180 0 227.= =+=+=; 2 -(10 分) 相对误差限 ()27()0.31%110 80rsss=。-(13 分) 七、(13 分) 解:ka是有效数字,根据有效数字的定义知1102m kxx ,-(3 分) 且111 101010mmx = =, -(5 分) 111101210102()m kkmrxxex=。-(8 分) 另一方面,10mx ,1102krxxex=,-(10 分) 11101022km kxxx, -(12 分) 所以ka必为有效数字,即*x至少有k位有效数字。-(13 分) 第 1 章 绪论 第 1 章 绪论 一、选择题(四个选项中仅有一项符合题目要求,每小题 3 分,共计 15 分) 1、近似数0.231x = =关于真值0.229x = =有( )位有效数字。 (1)1;(2)2;(3)3;(4)4。 2、取31 732. 计算431()x =,下列方法中哪种最好?( ) (1)28 16 3 ; (2)242 3() ; (3) 21642 3()+ +; (4) 41631()+ +。 3、下列说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是( )。 (1)方法收敛性;(2)方法的稳定性;(3)方法的计算量;(4)方法的误差估计。 4、下列说法错误的是( )。 (1)如果一个近似数的每一位都是有效数字,则称该近似数为有效数; (2)凡是经“四舍五入”得到的近似数都是有效数; (3)数值方法的稳定性是指初始数据的扰动对计算结果的影响; (4)病态问题是由数学问题本身的性质决定的,与数值方法有关。 5、已知近似数x 的相对误差限为 0.3,则x至少有( )位有效数字。 (1)1; (2)2 ; (3)3; (4)5。 二、填空题(每小题 3 分,共计 15 分) 1、设 的近似数 有 4 位有效数字,则其相对误差限为_ _。 2、x 的相对误差约是x 的相对误差的 倍。 3、计算球体积时要使相对误差限为 10%,问测量半径时允许的相对误差限是 。 4、规格化浮点数系2 41 2( , , )F =中一共有 个数 5、用数1112e + +作为计算积分10xIedx = = 的近似值,产生的主要误差是 。 三、(13 分)对于有效数1233.105,0.001,0.100xxx= = =,估计下列算式是相对误差限 21123212333;xyxxxyx x xyx =+=+=。 四、(16 分)写出下列各题的合理计算路径,使计算结果更精确(不必计算结果),并说明理由。 (1)101cos,sinxxxx 且; (2)111121,xxxx +; (4)1211,xxdtxt+ + + ; 五、(15 分)设序列ny满足递推关系11011 2, ,nnyyn = =L,若021 41.y=,计算到10y时误差有多大?计算过程是否稳定?如果不稳定,试给出一种稳定的计算方法,并说明理由。 六、(13 分) 已测得某场地长x的值为110x = =米, 宽y的值为80y = =米, 已知0 2 .xx 米,0 1 .yy 米。试求面积sxy= =的绝对误差限和相对误差限。 七、(13 分)设x的近似数*x表示为12010mknx.a aaa = = LL,证明:若ka是有效数字, 则其相对误差不超过11102()k ; 若已知相对误差re , 且1102kre , 则ka必为有效数字。 。 第 2 章 非线性方程(组)的数值解法 参考答案 第 2 章 非线性方程(组)的数值解法 参考答案 一、选择题(15 分,每小题 3 分) 1、(3) 2、(4) 3、(2) 4、(1) 5、(4) 二、填空题(15 分,每小题 3 分) 1、51,99pqr=; 2、 2; 3、 1.618 或152+ +; 4、381 264( , )F = ; 5、1522kkkxxx+ +=+=+ 三、(12 分) 解:(1)122012sinsinxxxx= += +,迭代函数112( )sinxx = += +,迭代格式1110 1 22sin;, , ,kkxxk+ += += +=L-(3 分) 当0 52 . ,x 时,11122( )cosxxL =,故该迭代格式收敛。-(6 分) 相应的 Steffenson 迭代格式:210 1 22( ();, , ,( ( ()()kkkkkkkxxxxkxxx + +=+=+L- (9 分) 211120 1 2111112 1222(sin);, , ,sin(sin)(sin)kkkkkkkxxxxkxxx+ +=+=+L 21111 5 1 521 51 4987111111 52 11 51 5222(sin . ).sin(sin . )(sin . ). x+=+=+。 - (12 分) 四、(12 分) 解:对于1nnf xxa fxnx =( ),( ),因此牛顿迭代法为 111110 1 2nkkkknnkkxaaxxnxknxnx+=+=+=(), , ,.-(3 分) 而且1nnnaa =(),12112nknnkkaxnaxa+ = = ()lim();-(6 分) 对于方程11nnanaf xfxxx+ += = =( ),( ),牛顿迭代法为 1110 1 2nkkkkkkf xxxxxnkfxna+ +=+=+=()(), , ,.() ,-(9 分)分) 12112nknnkkaxnaxa+=+=lim()。-(12 分) 五、(12 分) 解:(1)236683( )()xx =+=+,2332 1880 227881( )(). = =+,迭代格式收敛。-(3 分) (2) 122468( )()xxx = += +,12421880 08716319( )(). = =+=,迭代格式发散。-(9 分) 选择格式(1)计算 k 0 1 2 3 kx 3 2.9625 2.9539 2.9520 -(12 分) 六、(12 分) 解:(1)2144xxxxL +=+=sincos,( ),故方程(1)能用迭代法求根。-(3 分) (2)对于方程(2),若直接取迭代函数42xx = = ( ),方程为42xf xx= =+( ), 1020ff( ),( ),有根区间为1 2 , ,此时22221xx = = ( )lnln, 故不能用该迭代法求解。-(6 分) 将原方程改写为42xx=ln()ln,迭代函数42xx = =ln()( )ln,-(9 分) 且有11114222xLx =( ),-(2 分) 且有1000kkkxxx + +=()( )(), 介于kx与 0 之间,-(5 分) 若001xL,,迭代不收敛;-(7 分) 若改用斯蒂芬森迭代,可得142201333kkxxxxxLxx+ +=+=+(),( ),( ),(9 分) 所以斯蒂芬森迭代法收敛,收敛阶1p= =。-(10 分) 第 2 章 非线性方程(组)的数值解法 第 2 章 非线性方程(组)的数值解法 一、选择题(四个选项中仅有一项符合题目要求,每小题 3 分,共计 15 分) 1、 已知方程3250xx=在区间2 3 , 存在唯一正根, 若用二分法计算, 至少迭代 ( )次可以保证误差不超过31102 。 (1) 5; (2) 7; (3) 10; (4) 12。 2、已知求方程0( )f x = =在区间 , a b上的根的不动点迭代为10 1 2(), , ,kkxxk + += = =L,对于其产生的数列kx,下列说法正确的是( ) (1) 若数列kx收敛,则迭代函数( )x 唯一; (2) 若对1 , ,( )xa bx ,则kx收敛; (4)若1 , ,( )xa bxL ,则 kx收敛。 3、若迭代法122 23kkkxaxx+ +=+=+收敛于2,且要求收敛阶尽量高,则a的值为( )。 (1) 13; (2) 23; (3) 13; (4) 23。 4、求方程根的二分法的收敛阶为( ) (1)线性收敛;(2)超线性收敛;(3)平方收敛;(4)局部平方收敛。 5、解非线性方程( )0f x = =的牛顿迭代法的收敛阶为( )。 (1)线性收敛;(2)局部线性收敛;(3)平方收敛;(4)局部平方收敛。 二、填空题(每小题 3 分,共计 15 分) 1、若使迭代公式2125kkkkqaraxpxxx+ +=+=+产生的序列收敛到3a,并使其收敛阶尽可能高, 则常数, ,p q r的值分别为_。 2、设函数( )f x在区间 , a b上有足够阶连续导数, ,pa b 为( )f x的一个m重零点,则迭代公式1()()kkkkf xxxmfx+ +=的收敛阶至少是_ _。 13、求方程根的割线法的收敛阶为_ 。 4、设向量函数32222( , )xyF x yxxy=+=+,则其导函数在点1 2( , )值1 2( , )F = = 。 5、求5的 Newton 迭代格式为 。 三、(12 分)已知方程220sinxx=在12 2 , 内存在唯一根,(1)试建立一种收敛于方程根的迭代方法, 并说明收敛的理由; (2) 写出相应的 Steffenson 迭代格式, 并以01 5.x= =为初值迭代一步。 四、 (12 分)应用牛顿法于方程0nf xxa= =( )和10naf xx= = =( ),分别导出求na的迭代公式,并求极限12nkknkaxax+lim()。 五、(12)方程3680xx =在3x= =附近有根,把方程写成三种不同的等价形式(1)368xx=+=+对 应 迭 代 格 式3168nnxx+ += =+ +; (2)86xx= =+ +对 应 迭 代 格 式186nnxx+ +=+=+;(3)358xxx=对应迭代格式3158nnnxxx+ += =。判断迭代格式在03x= =的收敛性,选一种收敛格式计算3x = =附近的根,精确到小数点后第二位。 六、(12 分)对于下列两个方程,(1)4xxx+=+=cossin,(2)42xx = = ,问能不能用迭代 法求解?如果不能时,试将方程改写成能用迭代法求解的形式,并说明理由。 七、(12 分)考虑下述修正的牛顿迭代公式: 10nnnnnnnnnf xf xf xf xxxDnDf x+ +=+=()()(),() 假定0fx (),证明它对单根是一个二阶方法。 八、(10 分)设3xxx =+=+( ),0x= =为x ( )的一个不动点,验证下列迭代法 100kkxxx + +=(),不收敛,但改用斯蒂芬森迭代却是收敛的;并说明斯蒂芬森迭代计算x ( ) 的不动点0x= =时的收敛阶。 2 第 3 章 数值逼近 参考答案 第 3 章 数值逼近 参考答案 一、选择题(15 分,每小题 3 分) 1、(3) 2、(2) 3、(1) 4、(2) 5、(2) 二、填空题(15 分,每小题 3 分) 1、10;2、2;3、fx ( );4、221n+ +;5、( )( )f xp x 三、(12 分) 解:(1) 31230230130120 1 02 0310 12 1 320 2 1 2330 3 1 32()()()()()()()()()()()()( )()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxL x=+=+ 32482133xxx=+=+ -(5 分) (2)均差表:011329327 2618 26 43 -(8 分) 341221123( )()()()Nxxx xx xx= += +-(10 分) 31 51 55( . )( . )fN= - (12 分) 四、(14 分) 解:214( )( )()()H xNxkx xx=+=+,其中221171666( )()Nxxx xxx= += +为不考虑导数条件的 2 次牛顿插值多项式。 -(3 分) 代入导数条件21111329( )( )HNkk= =(2546( )N = =) -(5 分) 21149( )( )()()H xNxx xx=+=+ - (7 分) 设214( )( )( )( ) () ()R xf xH xk x x xx= -(9 分) 令214( )( )( )( ) () ()g tf tH tk x t tt=, -(10 分) 1则( )g t有 4 个互不相同的根,0,1,2;ix ix= =,(ixx ,否则结论显然成立) 且10( )g=, 故由罗尔定理( )g t 有 4 个互不相同的根, 以此类推, 则存在 使得40( )( )g = =,即有4440( )( )( )( )( ) !gfk x=44( )( )( )!fk x =-(13 分) 因此42144( )( )( )( )( )() ()!fR xf xH xx xx =。-(14 分) 五、(12 分) 解:不超过2n 次的多项式g x( )和h x( )分别满足 11iig xf xin=()(),,2iih xf xin= =()(),, 于是可设待求插值多项式为 1q xg xA h xg xxx=+=+( )( )( ( )( )() -(3 分) 显然q x( )为次数不超过1n 次的多项式,且满足 1 21iiiq xg xf xin= =()()(), ,L 利用nnq xf x= =()(),即 1nnnnng xA h xg xxxf x+ +=()( ()()()()-(6 分) 得()()111nnnnnnfxg xAh xg xxxxx=()( ()()()nnh xf x= =( ()()-(9 分) 故 11111nnnnxxxxxxq xg xh xg xg xh xxxxxxx =+=+=+=+( )( )( ( )( )( )( ). -(12 分) 六、(10 分) 解 : 设1 12212xcxcxcc x =+=+=+=+( )( )( ),( () )( ()() ()()()() ()()()111121221222cfcf =,,-(2分) ()()11101dx = ,,()()112012xdx = ,,()()1222013x dx = = = ,,-(4分) ()()1101fx dxe = ,exp( ),()()1201fxx dx = = = ,exp( )-(6分) 1211 211 21 31cec=,-(8分) 2 120 87311 690cc=.,( )( )( () )4101860 8731 1 6903xee xx =+=+=+=+.-(10分) 七、(12 分) 解:21011002001221001102xxxxxxxxxxxpxf xfxf xxxxxxx+= += +()()()()()( )()()()()()() 则200200211pxf xpxfxpxf x=()(),()(),()(),且2f xpxr x= =+ +( )( )( ), 所以r x( )是( )f x关于二次多项式2( )p x的插值余项,即2( )( )( )r xf xpx=。 对于任意的 , xa b,若0xx=或1xx=,则( )0r x =; 若0xx,1xx,则作辅助函数 2201201r xF tf tp ttxtxta bxxxx=( )( )( )( )() (), , () () 得0100F xF xF xFx=()()( )(),且( )F t在 , a b上有三阶导数,则函数( )F t在 , a b上有三个不同的零点01,xx x。由罗尔定理知,F t ( )在 , a b上不同于01,xx x且互不相同的零点,又00Fx = =(),则( )F t在 , a b上至少有三个互异的零点,那么Ft ( )在 , a b上至少有两个,Ft ( )在 , a b, 则由2201210r xFtftpxtxtxxxxx=( )( )( )( )() ()()() 得20130r xfxxxx =( )( )!() (),即2013xxxxr xf =() ()( )( )!。 总之,对于任意的 , xa b,存在( , )a b,使得2013fr xxxxx =( )( )() ()!。 八、(10 分) 证明:以xa xb=,为基点进行线性插值,得: 112xbxaxaxbf xp xRxf af bfabba =+=+=+=+()()( )( )( )( )( )( ) 32xaxbf =()()( ) ab 因为xaxb()()在2abx+=+=处取得最大值 故2128a x ba x ba x ba x bbaf xfxxaxbfx =()max( )max( )max ()()max( )。 第 3 章 数值逼近 第 3 章 数值逼近 一、选择题(四个选项中仅有一项符合题目要求,每小题 3 分,共计 15 分) 1、设f xxx=+=+84( )9310,则0182 ,2 ,2 fL和0193 ,3 ,3 fL的值分别为( ) (1)1,1;(2)9 8! ,0;(3)9,0;(4)9,1。 2、设( )(0,1, )il x in= =L是1n+ +个互异节点 0niix= =的 Lagrange 基函数,则下列选项中正确的是( )。 (1)20( )niiix l xx= = = ; (2)220( )niiix l xx= = = ; (3)220( )niiiix l xx= = = ; (4)220()niijix l xx= = = 。 3、设三次样条函数为33201( )1(1)(1)(1)132xxS xxa xb xcx= +,则常数, ,a b c的值分别为( ) (1)3,1abc=;(2)2,1abc=;(3)3abc= =;(4)3,1acb=。 4、设L x( )和N x( )分别是( )f x满足同一插值条件的n次拉格朗日和牛顿插值多项式,它们的插值余项分别为( )r x和( )e x,则( ) (1)L xN x r xe x=( )( ), ( )( );(2)L xN x r xe x= = =( )( ), ( )( ); (3)L xN x r xe x=( )( ), ( )( );(4)L xN x r xe x ( )( ), ( )( )。 5、区间, a b上的三次样条插值函数( )S x在 , a b上具有直到( )阶的连续导数。 (1)1;(2)2;(3)3;(4)4。 二、填空题(每小题 3 分,共计 15 分) 1、设( )klx是以40kkxk= = =为节点的 Lagrange 插值基函数,则40kkklk= = = ( )_ _。 2、由下列数表 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 ( )f x -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25 所确定的插值多项式的最高次数是 。 3、设函数4f xCa b ( ) , ,S x( )是关于f x( )的带有第二类边界条件的三次样条插值函数, 1如果将区间a b , 无限分割,则Sx ( )在a b , 上一致收敛于函数 。 4、设nP x( )是n次 Legendre 多项式,则积分121nPx dx = = ( ) 。 5、设函数( ) , f xC a b ,21( ) , ,np xSpanx xx L,则( )p x是( )f x的最佳一致逼近多项式的充要条件是函数 在 , a b上存在一个至少有 n+2 个点组成的交错点组。 三、(12 分)已知下列函数表: x 0 1 2 3 ( )f x 1 3 9 27 (1)写出相应的三次 Lagrange 插值多项式; (2)作均差表,写出相应的三次 Newton 插值多项式,并计算15( . )f的近似值。 四、(14 分)已知( )f x的函数表为 ix 0 1 4 iy 0 1 2 (1)试求( )f x在0 4 , 上的 Hermite 插值多项式( )H x,使之满足下列条件 110 1 22()(), , ;()kkH xf xkHx=; (2)写出余项( )( )( )R xf xH x= = 的表达式。 五、 (12 分)试用f x( )关于互异节点 11niix = =和 2niix= =的不超过2n 次的插值多项式g x( )和h x( ),构造出关于节点 1niix= =的不超过1n 次的插值多项式q x( )。 六、(10 分)求xf xe= =( )在区间0,1上的 1 次最佳平方逼近多项式。 七、(12 分)给定12x xa b , , ,函数f x( )在a b , 具有三阶导数,且满足 1011000210012012102xxxxxxxxxf xf xfxxxxxxxf xr xxx+= += +()()()()( )()()()()()()( )(), 求r x( )的表达式。 2八、(10 分)设f x( )在a b,上具有二阶连续导数,且0f a = =( ),0f b = =( ), 试用插值方法证明下列不等式218a x ba x bf xbafx max( )() max( ) 。 第 4 章 数值积分与数值微分 参考答案 第 4 章 数值积分与数值微分 参考答案 一、选择题(15 分,每小题 3 分) 1、(1) 2、(4) 3、(1) 4、(3) 5、(4) 二、填空题(15 分,每小题 3 分) 1、xx= = =0111,33;2、1;3、3;4、5;5、10( )( ) ( )bnaP xxx dx+ += = 三、(12 分) 解:将区间0 9 , 4 等分,2h = =,令( )f xx= =,计算各节点的函数值为: ix 1 3 5 7 9 iy 1 1.732052.236072.645753 -(4 分) 由复合梯形公式得(42,nh=) -(5 分) 421232527917 227742 ( )( )( )( )( ).Tfffff=+=+ -(8 分) 由复合辛普生公式得(24,nh=) -(9 分) 241432547917 322236 ( )( )( )( )( ).Sfffff=+=+。-(12 分) 四、(12 分) 证明:根据泰勒公式 000230044kk0011 231 1 2 34()()()()()()()()()()(,) ,f xkhf xkh fxkhfxkhfxkhfxxkhk +=+=+=+=( )!-(4 分) 有 1012302220333044444412340111892= 1892231 18922321 1892233 18922346( )( )( )()()()()()()()()()()()()()!()()f xf xf xf xhfxh fxh fxhfffhfxO h +=+=+!-(8 分) 从而有 30012311118926()()()()()()fxf xf xf xf xO hh+-(10 分) (2) 1111 8 018 13.75921.00229.7510 006 0 5( ).f + +=+ +=- (12 分) 五、(12 分) 解:令( )2,0,1xf xeab=。由复合梯形公式的逐次分半法得 ( )( )( )( )11 0011.859141022baTf af bff=+=+=-(2 分) ()21111.85914100.51.5715832222abTTff+=+=+=-(5 分) ()()42133111.57158320.250.752244221.4906789baababTTffff+=+=+= -(8 分) 运用龙贝格求积法,有 ()()()12124221212141.47573064 1141.46371084 1141.462909541STTSTTCSS=-(10 分) 此时 33122110.8013 101015=CSSS 满足精度要求。-(12 分) 2六、(14 分) 解:令2( )1, ,f xx x=,分别代入求积公式两端,使其精确相等,从而得到如下方程组 0100111213AAABA+=+=,解之得100121,336AAB=。-(5 分) 求积公式为10211010336f xfff + ( )( )( )( ),它至少有 2 次代数精确度。 令1133001( ),( )4f xxf x dxx dx=。 -(7 分) 而 21121110100103363363fff+= + +=+= + +=( )( )( ) 故此求积公式的最高代数精确度为 2。 -(9 分) 确定误差项Rkf =( )的k值,应将3( )f xx=代入有误差项的积分中,即 102110100 1336f x dxfffkf=+=+ ( )( )( )( )( ),( , )-(12 分) 即 1302110106336x dxk= + + +?, 11643=+k 求得 172k = ,这时误差项172Rf = = ( )。-(14 分) 七、(12 分) 证明:函数mx的拉格朗日插值多项式为0( ),0,1,nmmkkkxx lx mn=L, 其中( )klx是以01,nx xxL为结点的拉格朗日插值基函数。 -(2 分) 对上式两端积分 0( )nbbmmkkaakx dxlx dx x= -(4 分) 又由题设知求积公式有n次代数精确度,则有精确等式 0,0,1,nbmmkkakx dxxmn=L -(6 分) 3,得0( )0,0,1,nbmkkkaklx dx xmn=L -(8 分) 设( )bkkkatlx dx=,则由得1n+阶齐次线性方程组 010 01 12220 01 10 01 10000nn nn nnnnn ntttx txtx tx tx tx tx tx tx t+=+=+=+=LLLML -(10 分) 方程组的系数行列式为范德蒙行列式012220101111nnnnnnxxxDxxxxxx=LLLMMML 由于结点ix互异,所以0D 。这时方程组只有零解,即0,0,1,ktkn=L。 于是 ( ),0,1,bkkalx dx kn=L。 -(12 分) 八、(10 分) 证明: 形如11nbkkakf x dxA f x+=+= ( )()的高斯 (Gauss) 型求积公式具有最高代数精度 2n+1 次, 它对f x( )取所有次数不超过 2n+1 次的多项式均精确成立。 -(2 分) (1)取if xl x= =( )( ),代入求积公式:因为ilx( )是 n 次多项式,且有 01ijijl xij=() 所以11nbij ijiajl x dxA l xA+=+= = =( )()-(5 分) (2)取2if xlx= =( )( ),代入求积公式:因为2ilx( )是 2n 次多项式,-(7 分) 所以121nbijijiajl x dxA l xA+=+=( ) (),故结论成立。 -(10 分) 第 5 章 线性代数方程组的直接解法 参考答案 第 5 章 线性代数方程组的直接解法 参考答案 一、选择题(15 分,每小题 3 分) 1、(2) 2、(3) 3、(4) 4、(1) 5、(3) 二、填空题(15 分,每小题 3 分) 1、(3, 3)a ;2、32+ +;3、1000.510201L = = ;4、p;5、对称正定 三、(12 分) 解:1113243267102115914350156( )( ),Ab= -(2 分) 35015626710211591413243 -(4 分) 3501568070632054163402113 -(6 分) 350156807063273500442300142 -(8 分) 13501568070632735004421100099 -(10 分) 故方程组的解为( () )2321Tx = = -(12 分) 四、(12 分) 解:将矩阵进行三角分解ALU= =,得 1211001212232100211301 1 21001 2= -(4 分) 求解Lyb= = 123100021031 1 216yyy = = ,得()()03 1 2Ty = =-(8 分) 求解Uxy= = 12312100213001 21 2xxx=,得111( , )Tx =-(12 分) 五、(12 分) 解:424200212217101400424109221001TALL= = =-(4 分) 求解Lyb= = 1232001014032217yyy=,得()()521Ty =-(8 分) 求解TL xy= = 2123214504220011xxx=,得( () )211Tx =-(12 分) 六、(10 分) 证明:由题意知:rbXAbAX=, rAXXrAXXrXXA11)(= -(4 分) 又bAXXAAXbbAX=1-(7 分) 所以bAAcondbrAAXXX)(1=。-(10 分) 七、(12 分) 证明: 因为A对称,故22()() ( )TA AAA=,-(3 分) 所以有221211()()()( )nnTTTnkkkkA AA AA AA =+=+= L-(6 分) 又 12()()()TTTnA AA AA A+=+=LTA A的对角元素之和 222221211111nnnnnkknkikFkkkikaaaaA=+=+=L,-(10 分) 因此21nkFkA = = = 。 -(12 分) 八、(12 分) 解:交换方程组的前两行,则原方程组Axb= =等价于102331013110xb= =,51414b= 此时系数矩阵为严格对角占优矩阵,故 Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代法均收敛。(4 分) 答案(1):Jacobi 迭代法的分量形式 3123111321123523101430 1 21014310( )( )()( )( )()( )( )();, , ,kkkkkkkkkxxxxxxkxxx+=+=L -(8 分) 迭代矩阵为: 1230101031010103101010
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本文标题:中国石油大学(华东)数值分析习题及答案
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