《误差理论与测量平差基础教学课件》第十九讲

1、第六章 参数的区间估计和假设检验,以上各章所述平差方法，其参数的最优线性无偏估计是基于观测数据仅含偶然误差和随机模型正确为前提的。因此，一个完整的最优的平差系统，除了采用最小二乘准则对平差参数进行最优估计外，还要保证观测数据的正确性和平差数学模型的精确性。后者要借助于数理统计的方法，对观测数据和平差模型进行假设检验，这是保证平差系统质量的一个组成部分。,学习本章内容的目的：,第六章 参数的区间估计和假设检验,主要内容：,随机变量的函数分布,参数的区间估计,统计假设检验,第六章 参数的区间估计和假设检验,一、随机变量的函数分布,1.服从正态分布的随机变量,我们说x服从,的正态分布,第六章 参数的

2、区间估计和假设检验,一、随机变量的函数分布,1.服从正态分布的随机变量,第六章 参数的区间估计和假设检验,一、随机变量的函数分布,1.服从正态分布的随机变量,1)、,服从标准正态分布,如果,则,为正态分布的概率为a的侧分位点,第六章 参数的区间估计和假设检验,一、随机变量的函数分布,1.服从正态分布的随机变量,1),服从标准正态分布,双侧分位,第六章 参数的区间估计和假设检验,一、随机变量的函数分布,1.服从正态分布的随机变量,2)、如果,于是,第六章 参数的区间估计和假设检验,一、随机变量的函数分布,1.服从正态分布的随机变量,2)、如果,于是，从总体x和y中抽取两组子样，则子样 均值之差,

3、第六章 参数的区间估计和假设检验,一、随机变量的函数分布,1.服从正态分布的随机变量,为什么我们如此关心正态分布？,第一、在相当宽的条件下，许多独立随机变量之和近似服从正态分布；变量个数趋于无穷大时，其总和就趋于正态分布。 第二、实用中，正态分布作为测量误差的数学模型可以带来计算上的便利，并且基本上是符合实际情况的。,第六章 参数的区间估计和假设检验,一、随机变量的函数分布,2.服从 分布的随机变量,服从标准正态分布,如果,服从标准正态分布的随机变量的平方和。,v自由度，当v趋于无穷大时， 分 布趋于正态分布,第六章 参数的区间估计和假设检验,一、随机变量的函数分布,2.服从 分布的随机变量,

4、密度函数,第六章 参数的区间估计和假设检验,一、随机变量的函数分布,1.服从 分布的随机变量,第六章 参数的区间估计和假设检验,一、随机变量的函数分布,2.服从 分布的随机变量,如果,第六章 参数的区间估计和假设检验,一、随机变量的函数分布,3.服从t分布的随机变量,设y为N（0，1），z为,变量，y、z统计独立，则,唯一参数是自由度v,第六章 参数的区间估计和假设检验,一、随机变量的函数分布,3.服从t分布的随机变量,第六章 参数的区间估计和假设检验,统计量：设x1，x2，xn是来自总体X的一个样本，g（ x1，x2，xn ）是x1，x2，xn的一个函数，且g中不含任何未知参数，称g（ x1

5、，x2，xn ）是一个统计量。 常用的样本方差和样本均值都是统计量。,一、随机变量的函数分布,4.抽样分布与抽样分布定理,第六章 参数的区间估计和假设检验,抽样分布：统计量的分布 抽样分布定理：设x1，x2，xn是来自总体 的一个样本， 分别是样本均值和样本方差，于是,一、随机变量的函数分布,4.抽样分布与抽样分布定理,第六章 参数的区间估计和假设检验,一、随机变量的函数分布,4.抽样分布与抽样分布定理,独立,和,（1）,（2）,（3）,（4）,第六章 参数的区间估计和假设检验,1）上述几种分布均与正态分布有关系。从定义看，其它几种分布都是正态分布的函数。而观测值和偶然误差服从正态分布，所以，

6、依据抽样分布定理，我们可以得到观测值某些函数的分布； 2）虽然各种分布都有其原始的定义，也都有具体的分布密度函数，但从实际来讲，我们更需要知道的却是，哪些统计量服从这些分布，以及从分布密度表中查取相应密度值。 3)在抽样定理中，采用测量平差符号，用L代替随机变量x，而x代表L的真值，用中误差m代替s。,一、随机变量的函数分布,4.综述,第六章 参数的区间估计和假设检验,二、参数的区间估计,1、参数估计的概念,区间估计：根据子样观测值对总体参数可能取值范 围的一种估计，即总体参数以某种给定 的概率取值于多大区间内 置信概率（置信度）：给定的概率 置信区间：根据置信度确定的区间 置信限：置信区间的

7、两端点（子样函数）,第六章 参数的区间估计和假设检验,二、参数的区间估计,1、参数估计的概念,置信度,置信区间,置信限,第六章 参数的区间估计和假设检验,二、参数的区间估计,1、参数估计的概念,1）为什么我们表示平差值及其精度时总写成,2）极限误差的确切含义又是什么？,3）我们可以得到的置信区间到底是谁的可能取值的范围？,第六章 参数的区间估计和假设检验,二、参数的区间估计,2、统计量为正态分布的区间估计,1）根据总体均值u和方差 来估计单一观测量 xi的置信区间,如果,则,第六章 参数的区间估计和假设检验,二、参数的区间估计,2、统计量为正态分布的区间估计,1）根据总体均值u和方差 来估计单

8、一观测量 xi的置信区间,概率表达式,Xi的置信区间,第六章 参数的区间估计和假设检验,二、参数的区间估计,2、统计量为正态分布的区间估计,2）根据观测值xi和方差 来估计总体均值u 的置信区间,概率表达式,u的置信区间,第六章 参数的区间估计和假设检验,二、参数的区间估计,2、统计量为正态分布的区间估计,3）根据样本均值 和方差 ，估计总体均值的置信区间,设样本均值,构造统计量,第六章 参数的区间估计和假设检验,二、参数的区间估计,2、统计量为正态分布的区间估计,3）根据样本均值 和方差 ，估计总体均值的置信区间,概率表达式,u的置信区间,第六章 参数的区间估计和假设检验,二、参数的区间估计

9、,2、统计量为正态分布的区间估计,3）根据总体均值u 和方差 ，估计样本均值的置信区间,概率表达式,样本均值的置信区间,第六章 参数的区间估计和假设检验,三、统计假设检验,1、假设检验概述,1) 统计假设检验和参数估计一起构成数理统计的核心内容推断理论,参数估计理论解决由子样确定总体分布参数问题；统计假设检验是依据子样来推断某些结论的可靠性和成立的条件等。 例如，正态总体的数学期望是否等于某已知的数值，正态总体的方差是否等于已知值，两个正态总体的方差和数学期望是否相等。,第六章 参数的区间估计和假设检验,三、统计假设检验,1、假设检验概述,3) 统计假设检验的方法,第一、先做一个假设，称为原假

10、设（零假设），记为H0； 第二，构造适当且分布已知的统计量； 第三、根据一定的置信度，确定该统计量应出现的区间，用子样值计算该统计量的数值； 第四、如果此数值落入置信区间内，原假设正确，接受原假设； 第五、否则，由于小概率事件一般不发生，拒绝原假设，接受备选假设,第六章 参数的区间估计和假设检验,三、统计假设检验,1、假设检验概述,3) 统计假设检验的方法,例如，如果从正态总体中抽取容量为n的样本，设总体方差已知，由抽样分布定理知,标准化,第六章 参数的区间估计和假设检验,三、统计假设检验,1、假设检验概述,3) 统计假设检验的方法,上式中，假设方差已知，只有数学期望u未知。我们又知，如果样本

11、来自于正态总体，就有,问题：上述总体均值u是否等于某一特定的数值u0,第六章 参数的区间估计和假设检验,三、统计假设检验,1、假设检验概述,3) 统计假设检验的方法,设H0：uu0；如果原假设成立，则一定有,如果样本均值确实满足不等式，我们没有理由否定原假设。否则，在一次试验中，小概率事件就发生了，我们就只能接受备选假设。,第六章 参数的区间估计和假设检验,三、统计假设检验,1、假设检验概述,3) 统计假设检验的方法,单尾检验,双尾检验,第六章 参数的区间估计和假设检验,三、统计假设检验,2、u检验法,设从总体 抽取容量为n的子样，则,对总体均值 u进行检验。这种服从正态分布的统计量称为u变量

12、，所进行的检验方法称u检验法。,第六章 参数的区间估计和假设检验,三、统计假设检验,2、u检验法,检验过程,双尾检验：原假设和备选假设,依双尾检验,第六章 参数的区间估计和假设检验,三、统计假设检验,2、u检验法,检验过程,得接受域,：标准正态分布函数的双侧分位数,a：双尾处概率之和 。 检验u0的数值是否落于该区间,第六章 参数的区间估计和假设检验,三、统计假设检验,2、u检验法,检验过程,单尾检验（左尾）：原假设和备选假设,依左尾检验,第六章 参数的区间估计和假设检验,三、统计假设检验,2、u检验法,检验过程,接受域,第六章 参数的区间估计和假设检验,三、统计假设检验,2、u检验法,检验过

13、程,单尾检验（右尾）：原假设和备选假设,依右尾检验,第六章 参数的区间估计和假设检验,三、统计假设检验,2、u检验法,检验过程,接受域,：标准正态分布函数的上侧分位数,a：右尾处概率,第六章 参数的区间估计和假设检验,三、统计假设检验,2、u检验法,u检验要求,1）,2）方差已知,说明：要满足上述两个条件，均要求子样容量很大，一般情况下，当n200时，以中误差代替方差、以及均值满足正态分布的假设可以认为是严密的，当n30时，检验结果近似可信。容量小于30时，采用t检验法,第六章 参数的区间估计和假设检验,三、统计假设检验,2、t检验法,作用：主要用于检验总体和子样均值,统计量,对于u检验，以子样均方差代替总体方差，构成t检验统计量。此法常用于小样本检验。,第六章 参数的区间估计和假设检验,三、统计假设检验,3、例,某三角网中421个三角形闭合差的平均值0.04秒，已知闭合差的均方差为0.62秒，问该闭合差的数学期望是否为0？,解：根据已知条件,我们知道如果三角形闭合差中仅含偶然误差，则u0，原假设和备选假设： H0：u0 ； H1：u 0,第六章 参数的区间估计和假设检验,三、统计假设检验,3、例,构造统计量,带入