《Wigner分布》PPT课件

1、第3章 Wigner 分布,3.1 Wigner分布的定义 3.2 WVD的性质 3.3 常用信号的WVD 3.4 Wigner分布的实现 3.5 Wigner分布中交叉项的行为 3.6 平滑Wigner分布,3.1 Wigner分布的定义,时频分布分类 线性形式的时频分布： STFT、Gabor变换 及小波变换。 双线性形式时频分布: 是指所研究的信号在时频分布的数学表达式中以相乘 的形式出现两次。又称非线性时频分布。 Wigner分布 及Cohen类分布。,联合Wigner分布定义 令信号 ， 的傅立叶变换分别是 ， ，那 么 ，的联合Wigner分布定义为： （3.1.1） 信号 的自W

2、igner分布定义为： （3.1.2） Wigner分布又称WignerVille分布，简称为WVD。 若令 ，则 ，代入（3.1.1）有 （3.1.3）,令 ， 则式（3.1.1）可变为： 令 ，则上式变为 （3.1.4） 对自WVD，有 （3.1.5） 显然，WVD在时域和频域有非常明显得对称形式。,若令 则 （3.1.6） 显然这是普通的傅立叶变换式，只不过它依赖于时间t。但此 处的 并不是我们以前定义过的相关函数。在时频分 析中，我们称 为瞬时自相关。,32WVD的性质,的奇、偶、虚、实性 不论 是实信号还是复值信号，其自WVD都是t和 的实函数，即 （3.2.1） 若为 实信号，则

3、不但是t、 的实函数，还是 的偶函数，即 （3.2.2） 对 ， 的互WVD， 不一定是实函数，但具有如下性质： (3.2.3),WVD的能量分布性质,时间边缘（timemarginal）性质 令（311）式两边对 积分，有 (3.2.4) 该式表明，信号x(t)的WVD 沿频率轴的积分等于该信号在时刻 的瞬时能量。由此可看出WVD具有能量分布性质。,频率边缘性质 同理，令（3.1.5）式两边同时对积分，有 (3.2.5) 即WVD沿时间轴的积分等于在该频率处的瞬时能量。,(3.2.6) (3.2.7) (3.2.8)即， 在某一时间带内对时间的积分等于信号在该带内的能量，在某一频带内的积分也

4、有着同样的性质。而 在整个平面 上的积分等于信号的能量。由后面的讨论可知， 在平面上某一点的值并不能反映信号的能量，这是因为 有可能取负值。,由WVD重建信号,由（3.1.1）式，我们有 令 这一特定时刻，有 于是 （3.2.9） 若 含有常数的相位因子，如 ，由于 因此由WVD恢复出的 将不会有此相位因子。,WVD的运算性质,移位WVD的移不变性 令 则 （3.2.10） 调制频率调制不变性 令 则 （3.2.11） 移位加调制 令 则 （3.2.12）,时间尺度 令 （ 为大于零的常数） 则 （3.2.13） 信号的相乘 令 则 (2.3.14),即 两个信号积的自WVD等于这两个信号各自

5、WVD在频率 轴上的卷积。 这是WVD的一个很好的性质，因为对无限长的信号加窗截短 时，只影响其频率分辨率，而不影响其时域分辨率。 信号的滤波 令 则 （3.2.15）,信号的相加 令 ， 则 （3.2.16） 即 两个信号和的WVD并不等于它们各自WVD的和 式中 是 和 的互WVD，称之为“交叉项”， 它是引进的干扰。交叉项的存在是WVD的一个严重缺点。 进一步，若令 ，,则 后两项也是交叉项干扰。一般，若会有N个分量，那么这些分量之间共产生 个互项的干扰。,WVD的时限与带限性质,若在 和 时， ，即 是时限的，则对一切 ，有 （3.2.18） 由上述结论，若 ， 均是因果信号，及当 时

6、 ， 那么 （3.2.19） 若当 和 时， ，即 是带限的，则对一切的t ，有 （3.2.20）,解析信号的自WVD,令 是 的Hilbert变换，则 是 的解析信号。由Hilbert变换的性质可知： （3.2.21） 由WVD的带限性质可知，当 时， ，并有 （3.2.22） 将式（3.2.21）代入得： （3.2.23）,上式积分号中相当于乘了一个从 至 的矩形窗。由 运算性质5，可得信号x(t)和其解析信号z(t) 的WVD之间的 关系，即 （3.2.24）,设信号 可写成解析形式，即 ，其WVD 为 ，则 的瞬时频率和WVD有如下关系： （3.2.25） 群延迟和WVD的关系 ： （

7、3.2.26）,瞬时频率与群延迟,WVD的Parseval 关系,令 和 的WVD分别是 和 ，则 该式又称为Moyals 公式。,两个信号和的WVD有交叉项存在，使得两个信号和的分布已不再是两个信号各自分布的和； 由于WVD是信号能量随时间频率的分布，因此，理论上讲， 应始终为正值，但实际上并非如此。 因为 是 的傅立叶变 换，因此，可以保证始终为实值，但不一定能保证 非负。,WVD的缺点,.常用信号的WVD,几种典型信号的WVD 例3.3.1、令 （3.3.1） 求 。 解：确定对 的积分限，由 得 或 所以 （3.3.2）,在时间轴上只在的范围 内有值，在频率轴上是的函数。最大值出现在

8、处，最大值,图3.3.1例3.3.1的WVD,例3.3.2令 ，求 。 解：由定义 即 （3.3.3） 本例的 为一确定性复正弦信号，当然也可以把它看 作一个平稳的随机信号，因此，其WVD与时间 无关。对任 意的时间 ， 都是位于 处的 函数。如图3.3.2所 示。,图3.3.2例3.3.2的WVD,例3.3.3 令 是由三个不同频率的复正弦信号首尾相连而形成的，即 式中 ， ， 。 为某一基本频率。图3.3.3 是该信号的WVD。由该图可 清楚地看出WVD的时频定 位功能。 注意，三段信号时频分布之间 有交叉项存在。,图3.3.3例3.3.3的WVD,例3.3.4、令 ，求 。 解：因为 ，

9、由上例结果及WVD的运 算性质6，有 （3.3.4） 的谱线包含两个分量，它们分别位于 处，因此 可看作两个复指数 的和。但是 的WVD除了在 处各有一个不随时间变化的谱线外，在 处还引入了随时间作 余弦变化的交叉项，且此交叉项的幅度还是真正谱线的两倍。如 图3.3.4所示。图中点 处在频率轴的中点。,图3.3.4例3.3.4的WVD,例3.3.5 令 （3.3.5） 可求出其WVD为 （3.3.6） 这是一个二维的高斯函数， 且 是恒正的， 如图3.3.5所示。,图3.3.5例3.3.5的WVD,（a）高斯信号，（b）高斯信号的WVD,如果令 ， 则x(t)的谱图 它也是时频平面上的高斯函数

10、。当其峰值降到 时，椭圆 面积 。这一结果说明，WVD比STFT有着更好的时频分 辨率。,例3.3.6 令（3.3.10） 的WVD是,图3.3.6例3.3.6的WVD，（a）Chirp信号，（b）Chirp 信号的WVD,例3.3.7 令 为一多普勒信号，图3.3.7给出了该信号的 时域波形、频谱及时频分布。由该图可看出信号的能量随时 间和频率的分布。 图3.3.6例3.3.6的WVD,3.4 Wigner 分布的实现,若令对信号 的抽样间隔为 ，即 ，并令 ， 则 ，这样， 中对 的积分变成对k的求和，即 （3.4.1） 若将 归一化为1，并考虑到相对离散信号的频率 ，则 上式变为： （3

11、.4.2）,将 变成 ，则 的频谱 将变成周期为 的频 谱 ，且 对应的抽样频率为 。同样， 的WVD 也变成周期的 ，且周期为 ，即： （3.4.3） 若 的最高频率为 ，那么，抽样频率至少满足 如若按 对 抽样，那么用抽样后的 做WVD， 由于其周期变为 ，因此在WVD中必将产生严重的混迭。解 决这一问题的直接方案是提高抽样频率，要求 至少要满足,解决混迭问题的较为简便的方法有两个： 采用解析信号 由解析信号的性质可知，将 作Hilbert变换得到 ，按构成 解析信号 。 只包含的正频率部分。这样，既 可减轻由正、负频率分量所引起的交叉项干扰，又可在保持原 有抽样频率 的情况下，避免了频域

12、的混迭； 对 作插值 具体办法是：若想将抽样频率 提高一倍，则可将 每两点 之间插入一个零，然后再让该信号通过一低通数字滤波器，从 而将插入的这些零值变成原信号相应点的插值。,令 （3.4.5） k是信号x的时间序号，n代表时移 ，并假定的长度为N， 即 ，现分析一下 的取值情况。,离散WVD,当时N=6时，不难写出： 假定将 都扩充成N点序列，即在其后补零，那么， （3.4.2）式可写成 （3.4.7）,以上方法有明显的缺点，即在不同的n下，计算时所利用的 的点数有着明显的不同。此外，由于WVD是二次函数 的分布，有交叉项存在。针对这两个原因，人们自然提出了 “加窗WVD”，即“伪WVD（P

13、seudo WVD，PWVD）”。,现将 离散化，可将 分成 等份，即 ，则上式变 为： （3.4.10） 式中 ，即 （3.4.11） 即 以L为周期。这样，若按（3.4.10）式计算2L点 FFT，则求出 的将有一半的冗余。通常，我们假 定： （3.4.12） 是（3.4.10）可变成,3.5Wigner分布中交叉项的的行为,交叉项的存在将严重影响对自项的识别，从而也就严重影 响了对信号时频行为的识别。目前人们已提到了十多种具有 双线性形式的时频分布，它们被统称为“Cohen类”。这些分 布提出的一个重要目的是削弱Wigner分布中的交叉项，并改进 自项的分辨率。,例3.5.1 设信号由两

14、个“原子”信号复合而成。 所谓“原子信号”，是指： 这一类信号，其中 为时域有限长的窗函数，在构成“原子”时，常用的是高斯 窗。因此，“原子”通常是在时域和频域都相对集中的信号。 设 、 是两个“原子”，信号 。下 面分两种情况来考虑它们的WVD： 设 和 具有相同的频率，但具有不同的时间中心 即,显然，在 及 处是两个“原子”的自WVD，而二 者之间的是交叉项。该交叉项位于两个自项的中间，频率与 自项相同，其位置大致是,图3.5.1a 两个时频“原子”的WVD中交叉项的行为，(具有相同的频率),和 具有相同的时间中心，但有不同的频率 令 其时频分布如图3.5.1b所示。 显然，两个自项均位于

15、同一时 刻 处，频率分别是 0.1和0.4；两个自项中间的是 交叉项，其位置大致是在,图3.5.1b 两个时频“原子”的WVD中交叉项的行为，(具有相同的时间中心),例3.5.2 设 也是由两个原子复和而成。它们的位置分 别位于 ， 处，其时频分 布如图3.5.2a所示。 显然，两个自项的位置 也分别在 ， 处。交叉项在两个自项 的中心连线上，位值大 致在 处。,图3.5.2 （a）两个时间不同，频率不同的“原子”组成的信号的WVD(两个时频“原子”都为复信号时),如果对该信号的实部求WVD，其WVD如图3.5.2b所示。 由于有两个原子复合而成的是解析信号，故无负频率存在，交 叉项只有一项（

16、见图3.5.2a）。仅取它的实部，这时就有两个 负频率分量存在。 该信号的WVD共有 四个自项，分别位于 ， 处。,图3.5.2 （b）两个时间不同，频率不同的“原子”组成的信号的WVD其实部的WVD,例3.5.2 令 由四个“原子”复合而成， 即 ， 这四个“原子” 的位值分别是 ， ， ， 。该信号的WVD如图3.5.3a所示。 如果我们在对该信号求WVD时用伪WVD，即对 作加窗处理，那么，所得WVD如图3.5.3b 所示。显然，这时的交叉项可得到有效的抑制，即交叉项由 六个变成了两个 。,图3.5.3四个“原子”迭加后的WVD（a）没加窗的WVD，,图3.5.3四个“原子”迭加后的WV

17、D （b）加窗后的伪WVD,例3.5.4令 （3.5.1） 显然， 由两个频率调制高斯信号所组成，中心分别在 和 处。可求出 （3.5.2） 上式包含两项，第一项是的WVD的自项，中心也分别位于 和 处，它们都是高斯型函数。第二项是其交叉项。,图3.5.4两个高斯调制信号的WVD,结论： 由本节例3.5.13.5.4可以看出，两两自项之间将产生一个交叉项，即交叉项的数目为 ，每一个交叉项都位于产生它的自项的几何中心，其振荡频率也取决于两个自项的时间和频率距离。进一步有 （3.5.4） 式中 (3.5.5) 反映了交叉项的衰减。显然，两个自项离得越远，则 越 大，这样 衰减越快，这样，WVD的互项中的能量越小。这 说明，只有距离较近的自项所产生的交叉项才会产生大的影响,3.6 平滑Wigner分布,对信号 ，其WVD和谱图有如下关系： (3.6.1) 式中 是对信号作短时傅立叶变换时所用窗函数 的 WVD。因此，谱图也是一种时频分布，且是信号能量的分 布。 （3.6.1）式是一个典型的2D卷积，如果 是一个 低通函数，卷积的结果将是对 平滑。对谱图来说，如 果做STFT时用的是高斯窗，高斯窗的WVD仍是 平面的 高斯函数。因此， 是低通的。这样，谱图是对WVD 的平滑，其结果是减少了交叉项的干扰，但同时降低了时频 的分辨率