版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、主讲:林海如,选修课:趣味数学,第二讲 趣味算术和代数,1.分配问题 2.等价代换 3.巧设辅助未知数 4.不定方程 5.孙子定理,趣题1)分面包,三个旅游者在一个山顶上相遇。到午餐的时候,丙请求说:“两位朋友,眼看到了吃饭的时间,而我却没有带干粮,我本以为带了钱就可随时随地买到吃的,而在这个山顶上,钱再多也买不到东西,所以,我请两位朋友帮个忙。” 甲乙两人一听,说“四海之内皆兄弟”,就倾其所有:甲一共带了5个面包,乙带了3个面包,拿出来大家平均分享。 吃完午餐,丙掏出8元钱给甲、乙两人作为膳费,有甲、乙两人自行分配。甲理所当然的拿走了5元,余下3元,乙也没有客气收下了。 你认为这样分配膳费是
2、否合理?,不合理。 每人吃了8/3个面包。 乙支援丙的只有1/3个,甲支援丙的有7/3个,按照比例为1:7, 所以乙应拿1元,甲拿7元。,分析:,趣题2)分马,有一位阿拉伯老人,生前养有11匹马,他去世前立下遗嘱:大儿子、二儿子、小儿子、分别继承遗产的1/2,1/4,1/6。儿子们想来想去没法分,只好请教他们的舅父,舅父很快就解决了问题。 你知道他们的 舅父是如何分的吗?,分析一:,聪明的舅父牵来了自己的1匹马,对他们说:“你们看,现在有12匹马了,老大得12匹的1/2,就是6匹中,老二得12匹的1/4就是3匹,老三得12匹的1/6就是2匹,还剩下一匹我照样牵回家去。,分析二:,现在有11匹马
3、了,老大得6匹,老二得3匹,老三得2匹。,事实上,只需按比例分配:,趣题1)空瓶换饮料,有一天,一个小朋友去买了10瓶饮料,商店老板说:“喝完饮料后,每3个空饮料瓶可换1瓶饮料。”请问这个小朋友最多可以喝到多少瓶饮料?,【分析一】我们按照实际换饮料过程分析: 喝掉10瓶饮料,用10个空瓶换回3瓶饮料,还剩1空瓶; 喝掉3瓶饮料,用3个空瓶换回1瓶饮料,又余1个空瓶; 喝掉1瓶饮料,此时,再借1个空瓶,与剩下的2个空瓶一起又可换回1瓶饮料,喝完后将空瓶还了。 所以,他共喝到饮料10+3+1+1=15(瓶)。,【分析二】注意到“每3个空瓶可换一瓶饮料”(连饮料带瓶)这个条件,可知每2个空瓶就能换到
4、一瓶饮料(不带瓶),那么喝剩的10个空瓶共能换到5瓶饮料,所以他前后共能喝到10+5=15(瓶)饮料。,【分析三】 每2个空瓶能换一瓶饮料(不带瓶),即一个空瓶能换 1/2瓶饮料,那么买一瓶啤酒实际能喝到3/2瓶饮料,因此他前后能喝,瓶饮料。,趣题2)铸坯加工零件,一块钢锭可以铸成25个机器零件的毛坯,每加工5个机器零件的毛坯所剩的脚料又可以铸成一个机器零件的毛坯。现在有这种钢锭10块,最多可以加工多少个机器零件?,分析:,这类问题显然也属于“空瓶换饮料”问题。由“每加工5个机器零件的毛坯所剩的脚料又可铸成一个机器零件的毛坯”可知,实际每加工5个机器零件只需要4个机器零件的毛坯(没有脚料),即
5、每个零件只需个机器零件毛坯,所以10块钢锭能加工,趣题1)往返路程,某人登到山顶上后就立即从山上下来返回到出发点,往返用了5小时,在平地上来去的速度都是4公里/小时,上坡时以3公里/小时的速度,下坡时以6公里/小时的速度行走,求这个人的往返路程.,分析:,设平地单程行走a公里,山道单程行走b公里。 所需要的时间.a/4十b/3b/6a/45, 于是得到往返的路程为:2(ab)20公里,趣题2)环保知识竞赛,在环保知识竞赛中,某校代表队的队员平均分是88分,其中女生的平均成绩比男生平均成绩高10%,而男生人数比女生人数多10%,则男、女生的平均成绩各是多少?,分析:,设女生人数为x,男生平均成绩
6、为y分,则男生人数为1.1x,女生平均成绩为1.1y分。根据题意,得 化简整理,得 又女生人数 , 答:女生平均成绩为92.4分,男生平均成绩为84分。,趣题1)百鸡问题,今有鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一。 百钱买百鸡,问鸡翁母雏各几何?”,分析:,设x, y, z分别表示鸡翁、鸡母、鸡雏的只数, 则可列出方程如下:,消去z得到方程,这里,方程的个数少于未知数的个数,在实数范围内, 方程的解有无穷多个。而我们所关心的是其有无整数 或正整数解,这种方程组称为不定方程。,趣题2)铺地板,小明家现有边长相等的正三角形、正方形、正五 边形、正六边形四种地板砖,要选择其中两种用 以铺地
7、板,则下列选择正确的是( ),A、 、 B、 、 C、 、 D、 ,分析:,这类问题实质上是“不定方程求正整数解”的问题,因为铺好的地板中间不能出空隙,所以两种图形内角拼在一起恰好要构成360 度角,并且砖的块数又是正整数。于是就使几何拼图转化成不定方程求正整数解的问题。,设需正三角形地砖m块,正方形地砖n块恰好铺成,则有,60m+90n=360.,1.二元一次不定方程的一般形式为,ax+by=c , 其中a,b,c为整数,ab0 如:90m+60n=360,1)铺地板)60m+90n=360的整数解有哪些?,化简得2m+3n=12,变形得,显然可得,2.二元一次不定方程解的形式和判定,2.二
8、元一次不定方程解的形式和判定,例:方程3x+4y=10有一组整数解为x=2,y=1, 所以它的一切整数解为x=2 4t, y=1+3t,若ax+by=c (其中a,b,c为整数,ab0)有整数解 则当a,b互质时,它的一切整数解可以表示为:,例题:下列不定方程没有整数解的是( ) A、3x+2y=12 B、2x-11y=3 C、3x+6y=8 D、99x+98y=1,思考:是不是所有的二元一次不定方程都有整数解呢?,二元一次不定方程的一般形式为axbyc,其中 a,b,c 是整数,ab 0。此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数整除c 。,c,3,二元一次不定方程的常用解法,1)观察
9、法,例:求下列二元一次不定方程的一切整数解。 (1) 2x+3y=5 (2) 5x+10y=20,解:(1) 由观察得知x=1,y=1是方程的一组解 所以方程的整数解为 x=1-3t,y=1+2t,t为整数,(2)先化简得x+2y=4由观察得知x=2,y=1是方程的一组解所以方程的整数解为 x=2-2t, y=1+t, t为整数,2)整数分离法,解:变形得,可得一组解释x=4,y=18 因为要求正整数解,所以显然可得,例:求方程3x+5y=31的整数解,解:方程变形,所以x=12,y=-1是方程的一组解 所以方程的所有整数解为,3)辗转相除法,解:用180、19进行辗转相除法,因为18019=
10、9 9 199=2 1,所以1=19-92=19-(180-199)2 =1919-1802,所以x=19, y=2就是方程的一组正整数解,例:求方程19x-180y=1的一组正整数解。,例:求25x+17y=3的整数解,解:因为2517=18 178=2 1 所以8=25-171 1=17-82 所以1=17-82=17-(25-171)2 =25(-2)+173 所以3=25 (-2) 3+ 173 3 所以x= (-2) 3,y= 3 3是方程的一组整数解 所以方程的所有整数解为 x= (-2) 3+17t, y= 3 3 -25t , t为整数,趣题3)蟋蟀蜘蛛共盆,在一个盆内有6脚蟋
11、蟀和蜘蛛(8只脚)若干,共有46只脚,问蟋蟀和蜘蛛各有几只?,设6脚虫有x只,蜘蛛有y只,依题意可得 6x+8y=46 化简得3x+4y=23 由观察得知x=1,y=5是方程的一组解 所以方程的整数解为x=1+4t,y=5-3t,t为整数 因为所求为正整数解 所以原方程的非负整数解为x=1,y=5或x=5,y=2,分析;,趣题4 丢番图的墓碑,希腊数学家丢番图的墓碑上有如下记载:“丢番图一生1/6处于儿童时代,1/12是青年时代,以后一生的1/7渡过了婚前生活.结婚后五年有了孩子,可当孩子长到父亲年龄的一半时就早亡了.”那么丢番图在多大年龄上离开人世的呢?需要说明的是这里的年龄数全部都是整数.
12、,分析:,设丢番图是在x岁上去世的,他的孩子是在y岁上死的. 于是有 将上式变形后: x是6,7,12的倍数,最小为84,趣题1)韩信点兵 多多益善,韩信阅兵时,让一队士兵5人一行排队从他面前走过,他记下最后一行士兵的人数(1人); 再让这队士兵6人一行排队从他面前走过,他记下最后一行士兵的人数(5人);,再让这队士兵7人一行排队从他面前走过,他记下最后一行士兵的人数(4人); 再让这队士兵11人一行排队从他面前走过,他记下最后一行士兵的人数(10人),这里面有什么秘密呢?,韩信好像非常重视作除法时的余数,然后韩信就凭这些数, 可以求得这队士兵的总人数。,韩信点兵,多多益善,每3人站成一排,最
13、后一排只有1人;每5人站成一排,最后一排也只有1人;每7人站成一排,最后一排还是1人。你能推算出最少有多少人?,队列1,解;N=3571=106人,队列2,每3人站成一排,最后一排只有2人;每5人站成一排,最后一排只有4人;每7人站成一排,最后一排是6人。你能推算出最少有多少人?,分析:假如从另外一支队伍中先借一名士兵,那么现在要求的人数就是3、5、7的倍数,再让那名士兵回到自己的队伍,解:N=3571=104,每3人站成一排,最后一排只有2人;每5人站成一排,最后一排站了3人;每7人站成一排,最后一排有4人。你能推算出最少有多少人?,N=702213154-1052=263-1052=53人
14、,队列3,1.孙子算经的公式,今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物有几何?,N=702+213+1521052=23。,物不知其数,N=70R1+21R2+15R3105p(p是整数)。,孙子算法的关键,在于70、21和15这三个数的确定: 三个数最小公倍数M=(3,5,7)=105 (5,7)=35,352=70,则被3除余1; (3,7)=21,211=21,则被5除余1; (3,5)=15,151=15,则被7除余1. 所以,这三个数的和702213152,必然具有被3除余2,被5除余3,被7除余2的性质。,队列3的分析,三个数最小公倍数M=(3,5,7)=10
15、5 (5,7)=35,352=70,则被3除余1; (3,7)=21,211=21,则被5除余1; (3,5)=15,151=15,则被7除余1. 702+213+154=263 满足我们的条件,但不是最小的自然数,处理方法就是减去最小公倍数的若干倍,使结果在最小公倍数之内。所以答案为:263-1052=53。,该定理用现在的语言表达如下: 设 两两互素,设 分别被 除所得的余数为 ,则 可表示为下式 其中 是 的最小公倍数; 是 的公倍数,而且被 除所得 余数为1; 是任意整数。,2.孙子定理(中国剩余定理),解:题中3、4、5三个数两两互质。则 4,5=20;3,5=15;3,4=12;
16、3,4,5=60。为了 使20被3除余1,用202=40; 使15被4除余1,用153=45; 使12被5除余1,用123=36。 然后,401+452+364=274, 因为,27460,所以,274604=34,例1 一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是几?,题中9、7、5三个数两两互质。 则7,5=35;9,5=45;9,7=63;9,7,5=315。为了 使35被9除余1,用358=280; 使45被7除余1,用455=225; 使63被5除余1,用632=126。然后,2805+2251+1262=1877,因为,1877315,所以,18773155=302,例2 某个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人, 每5人一排多2人,问这个年级至少有多少人?,趣题1韩信点兵的求解,假设兵将近一万,每5人一列剩1人、6人一列剩5人、7人一列剩4人、11人一列都剩10人,则兵有多少? (6,7,11)=462,(5,7,11)=385,(5,6,11)=330 (5,6,7)=210,(5,6,7,11)=2310 使462被5除余1,用4623=1386 而385被6除余1,330被7除余1,210被11除余1 然后13861+3855+3304+21010=6731 所以6731+2310=9
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 【统编版高中语文文体整合】戏剧文学(2)-高二语文名校共研名师共创单元教学设计+同步课件(统编版选择性必修下册)
- 广东省佛山市S6高质量发展联盟2023-2024学年高一下学期期中联考生物试题
- 租赁房屋合同
- 朋友房屋买卖合同3篇 朋友房屋买卖合同3篇范本
- 2024年济源市六年级下学期调研语文试卷含答案
- 商铺租赁合同14篇 商铺出租租赁合同
- 生产经营合同15篇
- 保安劳动合同转签
- 离婚协议对债务分配的具体规定
- 离婚案件代理合同补充协议
- IDC项目商业计划书
- 驾驶员安全应急预案
- JCT547-2017 陶瓷砖胶粘剂
- 《心房颤动诊断和治疗中国指南》2023版解读
- 高中数学培优讲义练习(必修二):综合测试卷:必修二全册(基础篇)(教师版)
- 09X700 智能建筑弱电工程设计与施工(上册)
- 汽车吊起重吊装专项施工方案
- 大学生辩论赛评分表
- 篮球裁判员申请表
- 杜绝药物滥用 远离毒品伤害
- 工商企业管理-大润发营销策略现状及对策分析
评论
0/150
提交评论