角动量角动量守恒定律.ppt

1、1,2,一 质点的角动量定理和角动量守恒定律,质点运动描述,刚体定轴转动描述,3,1质点的角动量,质量为 的质点以速度 在空间运动，某时对 O 的位矢为 ，定义质点对O的角动量,角动量单位：kgm2s-1,4,质点以 作半径为 的圆周运动，相对圆心,作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩，等于质点对该点 O 的角动量随时间的变化率.,2 质点的角动量定理,5,质点角动量定理的推导,6,质点的角动量定理：对同一参考点O，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.,恒矢量,3 质点的角动量守恒定律,冲量矩,7,例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内. 一质量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环

2、上滑动. 小球开始时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上)，然后从 A,点开始下滑设小球与圆环间的摩擦力略去不计求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度,8,解 小球受力 、 作用, 的力矩为零，重力矩垂直纸面向里,由质点的角动量定理,9,考虑到,得,由题设条件积分上式,10,例2一质量为 m 的登月飞船，在离月球表面高度 h 处绕月球作圆周运动飞船采用如下登月方式：当飞船位于点 A 时，它向外侧短时间喷射出粒子流，使飞船与月球相切地到达点 B , 且OA 与 OB 垂直飞船所喷气体相对飞船的速度为 试问：登月飞船在登月过程中所需消耗燃料的质量 是多少?,11,已知,

3、12,解 设飞船在点 A 的速度 , 月球质量 mM ,由万有引力和牛顿定律,13,飞船在A点以相对速度 向外喷气的短时间里 , 飞船的质量减少了 而为 , 并获得速度的增量 , 使飞船的速度变为 , 其值为,14,质量 在 A 点和 B 点只受有心力作用 , 角动量守恒,飞船在 A点喷出气体后，在到达月球的过程中，机械能守恒,15,即,于是,而,16,二 刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律,1刚体定轴转动的角动量,17,对定轴转的刚体 ，,2 刚体定轴转动的角动量定理,质点mi受合力矩Mi(包括Miex、 Miin ),合外力矩,18,非刚体定轴转动的角动量定理,3 刚体定轴转动的角

4、动量守恒定律,对定轴转的刚体，受合外力矩M，从 到 内，角速度从 变为 ，积分可得：,19,角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.,内力矩不改变系统的角动量.,守恒条件,若 不变， 不变； 若 变， 也变，但 不变.,20,许多现象都可以用角动量守恒来说明.,花样滑冰 跳水运动员跳水,点击图片播放,21,自然界中存在多种守恒定律,动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律,电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等,22,其中,m,讨论,水平方向动量守恒,？,23,例2：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为M、长为2l、可绕中心转动的细杆，有一质量为m的小球以速度v0与杆的一端发生完全弹性碰撞

5、，求小球的反弹速度v及杆的转动角速度。,解：在水平面上，碰撞过程中系统角动量守恒，,（1）,24,弹性碰撞动能守恒，,（2）,其中,联立(1)、(2)式求解,25,例3 摩擦离合器 飞轮1：J1、 w1 摩擦轮2： J2 静止，两轮沿轴向结合，结合后两轮达到的共同角速度。,两轮对共同转轴的角动量守恒,解：,试与下例的齿轮啮合过程比较。,26,两轮绕不同轴转动，故对两轴分别用角动量定理：,解：,例4 两圆盘形齿轮半径r1 、 r2 ，对通过盘心垂直于盘面转轴的转动惯量为J1 、 J2，开始 1轮以 转动，然后两轮正交啮合，求啮合后两轮的角速度。,27,得：,28,例3 质量很小长度为l 的均匀细

6、杆，可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率 垂直落在距点O为 l/4 处，并背离点O 向细杆的端点A 爬行设小虫与细杆的质量均为m问：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?,29,解虫与杆的碰撞前后，系统角动量守恒,30,由角动量定理,考虑到,31,例4一杂技演员M由距水平跷板高为h 处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一端的演员N弹了起来问演员N可弹起多高?,32,设跷板是匀质的，长度为l，质量为 ，跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动，演员的质量均为m假定演员M落在跷板上，与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞,解碰撞前M落在

7、 A点的速度,碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度,33,M、N和跷板组成的系统，角动量守恒,l,l/2,C,A,B,M,N,h,34,解得,演员N以u起跳，达到的高度：,END,35,.,.,解：碰撞前的瞬间杆对 点的角动量为,式中 为杆的线密度,36,因碰撞前后角动量守恒，所以,37,38,解(1)设当人以速度 沿相对园盘转动相反的方向走动时，园盘对地转动的角速度为 ，则人对与地固联的转轴的角速度为,(1),(2),39,(2 )欲使盘对地静止则(3)式必为零即,.,(式中负号表示人的走动方向与上一问中人的走动方向相反, 即与盘的转动方向一致)。,40,41,42,根椐角动量定理，有,解得

8、,例3.2.3 重力有一特点，地球上任一物体受到的重力都指向地心; 同样，在点电荷产生的静电场中，其他点电荷受到的作用力都指向场源电荷。人们把物体所受的指向一固定点的力称为有心力，把对应的力场称为有心力场。证明：(1)在有心力作用下运动的物体，角动量守恒; (2)所有有心力都是保守力，因而有心力场中运动质点机械能守恒; (3)在与距离成平方反比的有心力场中，龙格-楞次矢量 守恒; (4)平方反比力场中质点的 运动一定满足开普勒运动。,44,(1)在有心力场中，质点只受到有心力作用，有心力对力心的力矩始终为0，故质点角动量守恒;,(2)如图所示，设质点受到的有心力指向坐标原点，于是有心力可表示为

9、,质点在有心力作用下沿任意路径运动过程中，有心力所做功为,(1),(2),45,由式(2)可知，有心力是保守力，它做功只与质点始末位置有关，因此，也可以引入相应势能,(3),将产生有心力场的场源和受有心力作用的质点看作一个系统，那么，该质点只受到保守力-有心力作用，根据质点系的功能原理，系统的机械能应当守恒。,(3) 如果有心力是平方反比力，令,(4),46,式中，k为常数，考察,有心力作用，角动量守恒,47,即,(4) 为证明平方反比有心力场中质点的运动一定满足开普勒运动，考察,48,式(10)表明，质点运动正是极坐标下的圆锥曲线方程(当 时，为椭圆方程，当 时，为双曲线方程; 当 时，为抛物线方程),一旦证明了开普勒第一定律，要证明第二定律、第三定律就很容易了。如计算单位时间扫过的面积,常量,49,第三定律的证明：,万有引力： (1),向心力： (2),由两式相等得到： (3),又,整理即得： 常数,50,开普勒第一定律，也称椭圆定律：每一个行星都沿各自的椭圆