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文档简介

1、,B4 积分形式的基本方程,B4 积分形式的基本方程,B4 积分形式的基本方程,系统广延量,控制体广延量,B4.1 流体方程的随体导数, 输运公式,系统广延量的导数,称为系统导数。,控制体广延量随时间变化率, 称为当地变化率 ;当流场定常时为零。,通过控制面净流出的广延量流量, 称为迁移变化率 ;当流场均匀时为零。,输运公式计算取决于控制体(面)的选择,B4 积分形式的基本方程,B4.2 积分形式的连续性方程,B4.2.1 固体的控制体,上式表明:通过控制面净流出的质流量等于控制体内流体质量 随时间的减少率。,输运公式可用于任何分布函数 ,如密度分布、动量分布、能量分布等。,令 ,由系统的质量

2、不变可得连续性方程,对固定的CV,积分形式的连续性方程可化为,B4.2 积分形式的连续性方程,设出入口截面上的质流量大小为,B4.2.1 固体的控制体(续),1.沿流管的定常流动, 一般式, 有多个出入口,2.沿流管的不可压缩流动,设出入口截面上的体积流量大小为, 一般式, 有多个出入口,例B4.2.1 主动脉弓流动:多个一维出入口连续性方程,已知: 所有管截面均为圆形,d1=2.5cm, d2=1.1cm, d3=0.7cm, d4=0.8cm, d5=2.0cm,平均流量分别为Q1=6 l/min, Q 3= 0.07Q1, Q4 = 0.04Q1, Q 5= 0.78Q1,求: Q2 及

3、各管的平均速度,解: 取图中虚线所示控制体,有多个出入口。 血液按不可压缩流体处理,可得,Q1 = Q 2 + Q 3 + Q 4 + Q 5,Q2 = Q 1(Q 3 + Q 4 + Q 5)= Q 1(0.07+0.04+0.78)Q = 0.11Q1= 0.66 l / min,各管的平均速度为,例B4.2.1 主动脉弓流动:多个一维出入口连续性方程,B4 积分形式的连续性方程,B4.2.2 运动的控制体,将控制体随物体一起运动时,连续性方程形式不变,只要将速度改成相对速度vr,对流体在具有多个出入口的控制体内作定常流动时,上式中 ,vr 分别为出入口截面上的平均相对密度和平均相对速度。

4、,例B4.2.2 圆管入口段流动:速度廓线变化,已知: 不可压缩粘性流体以速度U流入半径R的圆管,圆截面上的速度廓 线, 不断发展至指数形式分布(湍流)并不再变化称为充分发展流动。,求: 充分发展流动的速度廓线表达式,解: 设充分发展流动的速度廓线为 指数形式,式中um为管轴上的最大速度,在定常流动中为常数,通常取 n=1/7-1/10.由连续性方程:,(b)式左端=R 2U, (b)式右端=,(b),(a),例B4.2.2 圆管入口段流动:速度廓线变化,由积分公式可得,取 n=1/7时,由(b)式可得,B4 积分形式的基本方程,B4.3 伯努利方程及其应用,伯努利方程的推导: 由一维欧拉运动

5、方程沿流线积分,伯努利方程的限制条件:,(3) 定常流动,伯努利(D.Bernouli 17001782)方程的提出和意义,(2) 不可压缩流体,(1) 无粘性流体,(4) 沿流线成立,B4.3 伯努利方程及其应用,B4.3.2 沿总流的伯努利方程,单位质量流体沿流线法线方向的机械能守恒,常数(沿流线法线方向),当流线曲率半径 ,变为 常数,符合静力学规律。,2. 沿总流的伯努利方程,沿流线的伯努利方程在沿总流的缓变流截面上按质量流量积分,,上式中V为总流截面上的平均速度, 为动能修正因子(通常取 ),限制条件:(1) 无粘性流体 (2) 不可压缩流体(3) 定常流(4) 截面上为缓变流。,例

6、B4.3.1 毕托测速管,已知: 设毕托管正前方的流速保持为v,静压强为p,流体密度为,U 形管中液体密度m .,求: 用液位差h表示流速v,(a),AOB线是一条流线(常称为零流线), 沿流线AO段列伯努利方程,(b),端点O,v0 = 0,称为驻点(或滞止点),p0称为驻点压强.由于zA = z0, 可得,例B4.3.1 毕托测速管,称为动压强,p0称为总压强,AB的位置差可忽略,(c),因vB=v,由上式 pB = p.在U形管内列静力学关系式,由(c) , (d)式可得,k 称为毕托管系数。由(e)式可得,(d),(e),B4.3 伯努利方程及其应用,沿流束的水头形式,沿流线的水头形式

7、,B4.3.3 伯努利方程的水力学意义,例B4.3.2 小孔出流:托里拆里公式及缩颈效应,已知: 图示一敞口贮水箱,孔与液面的垂直距离为h(淹深).设水位保持不变.,求: (1)出流速度v,(2)出流流量Q,从自由液面上任选一点1画一条流线到小孔2,并列伯努利方程,(a),例B4.3.2 小孔出流:托里拆里公式及缩颈效应,液面的速度可近似取为零v1= 0,液面和孔口外均为大气压强p1= p2= 0(表压),由(a)式可得,(b),(2)在小孔出口,发生缩颈效应.设缩颈处的截面积为A e,缩颈系数,(c),小孔出流量,(d),例B4.3.2 小孔出流:托里拆里公式及缩颈效应,收缩系数与孔口边缘状

8、况有关:,实际孔口出流应乘上一修正系数 k 1,(e),上式中= k,称为流量修正系数,由实验测定。,内伸管= 0.5,流线型圆弧边=1.0.,锐角边= 0.61,B4.3 伯努利方程及其应用,沿流束的水头形式,常数,沿流线的不可压缩流体不定常流欧拉运动方程,B4.3.4 不定常伯努利方程,沿流线从位置1积分到位置2,(沿流束),例B4.3.4 文德利流量计:一维平均流动伯努利方程,已知: 文德利管如图所示,求: 管内流量Q,由一维平均流动伯努利方程,移项可得,(b),(a),例B4.3.4 文德利流量计:一维平均流动伯努利方程,A1、A2截面上为缓变流,压强分布规律与U 形管内静止流体一样,

9、可得,(3),(5)位于等压面上,p3= p5,由压强公式,及,(c),(d),将上两式代入(d)式可得,(e),例B4.3.4 文德利流量计:一维平均流动伯努利方程,将(c)、(e)式代入(b)式,整理后可得,(f),由连续性方程,代入(f)式,整理后可得大管的平均速度为,上式中,称为流速系数,文德利管的流量公式为,B4 积分形式的基本方程,固定不变形的控制体CV,控制面为CS,设=v,流体系统动量,B4.4 积分形式的动量方程及其应用,由牛顿第二定律,F为作用在流体系统上的所有外力之合力,由输运公式可得,B4.4 积分形式的动量方程及其应用,对固定控制体的流体动量方程为,v为绝对速度。定常

10、流动时,上式表明:作用在固定控制体上的合外力,从控制面上净流出的动量流量,B4.4 积分形式的动量方程及其应用,沿流管的定常流动,通常取1=2=1 。由一维定常流动连续性方程,可得一维定常流动动量方程,CS = 流管侧面 + A1 + A2,B4.4 积分形式的动量方程及其应用,具有多个一维出入口的控制体,注意: (1) 控制体的选取,(2) 或 代表流出平均速度矢量,或 代表流入平均速度矢量,(3) 动量方程中的负号是方程本身具有的,和 在坐标轴上投影式的正负与坐标系选择有关,(4) 包含所有外力(大气压强见例B4.4.1).,例B4.4.1A 主动脉弓流动:多个一维出入口动量方程,已知:

11、图示人主动脉弓,条件及所取控制体CV均与例B4.2.1相同,设血液的密度为=1055 kg/m3,解: 建立坐标系oxy 如图所示,求: 从控制体净流出的动量流量,例B4.4.1A 主动脉弓流动:多个一维出入口动量方程,(mV)y=Q1 (0.11V2 cos16+ 0.07V3 cos6+ 0.04 V4 cos23-0.78V5-V1 ),= - 0.039 N,(mV) x =Q1 (0.11V2 sin16+ 0.07V3 sin6+ 0.04V4 sin23),净流出控制体的动量流量的x、y坐标分量为,= -110 4 N,例B4.4.1B 弯曲喷管受力分析:压强合力的影响,已知:

12、设固定的收缩管的前半部向下弯曲,偏转角为,A0=0.00636m2, Q=0.02m3/s,d0=9cm,d3=2cm。出口端水喷入大气,忽略重力作用,,求: (1)水流对喷管的作用力F 的表达式,(2)若=30,求水流对喷管的作用力,解:1. 只包含水流的控制体,2.建立如图所示坐标系oxy。,3.由一维不可压缩流体连续性方程,4.由伯努利方程,因p3=0, p0=395332.85pa,5.由一维定常流动动量方程,设水对喷管的作用力F如图所示。 本例中对控制体的合外力包括喷管对水流的反作用力F 和压强合力。作用在控制面上的压强用表压强表示,本例中入口截面压强为p0,方向沿x轴正向;出口截面

13、压强为零:,(1)F的表达式为,(2)设=30,F在x ,y 方向的分量式为,B4.4 积分形式的动量方程及其应用,定常时,B4.4.2 匀速运动控制体,坐标系固定在匀速运动的控制体上,是相对速度),输运公式为,有多个一维出入口时,为作用在控制体上的合外力,B4.4 积分形式的动量方程及其应用,B4.5 积分形式的动量矩方程,B4.5.1 固定的控制体,按动量矩定律和输运公式,设 为绝对速度, 为合外力矩,有,1对定轴定常旋转流场,外力矩仅考虑轴距 ,动量矩方程为,欧拉涡轮机方程(转子平面投影式), 对定类机械 ,对涡轮机类机械, 轴功率 表达式,求: (1)输入轴矩Ts,例B4.5.1 混流

14、式离心泵:固定控制体动量矩方程,已知: 一小型混流离心泵如图。d1=30mm,d2= 100 mm,b = 10 mm,n = 4000转/分, = 3 m/s。,(2)输入轴功率,设流动是定常的,由连续性方程可得,例B4.5.1 混流式离心泵:固定控制体动量矩方程,V1= 0,由欧拉涡轮机方程,输入功率为,叶轮旋转角速度为,= 2n / 60 = 24000 / 60 = 418.88 (1/s ),出口切向速度为,V2 = R 2 =d 2 /2= 418.880.1/ 2= 20.94 (m / s),B4.5 动量矩方程及其应用,当控制体固结于匀速旋转的转子上时(忽略重力和表面力),动

15、量矩方程为,式中 为相对速度,向心加速度,B4.5.2 旋转的控制体,柯氏加速度,已知: 洒水器示意图。R = 0.15m ,喷口A = 40mm2,=30,Q =1200 ml / s ,不计阻力。,求: (1) Ts= 0时,旋转角速度(1/s);,例B4.5.2 洒水器:有多个一维出入口的动量矩方程,(2) n=400转/分的轴矩Ts 和轴功率,对圆心取动量矩,当地变化率为零,不同位置上的动量矩流量迁移项中的作用是相同的,作为具有两个一维出口的定常流动处理。,设喷口流体的绝对速度为V,牵连速度为U 及相对速度为Vr,(1)设Ts0 , V1 = 0 , 由多出口动量矩方程:,例B4.5.

16、2 洒水器:有多个一维出入口的动量矩方程,(2)当n=400转/分时,例B4.5.2 洒水器:有多个一维出入口的动量矩方程,=4002/60 = 41.89 (1/s),= 0.15(41.890.15-15cos30)1.2 = -1.21 (N m ),B4.6 能量方程,按热力学第二定律和输运公式,能量方程为,B4.6.1 固定控制体,B4.6 能量方程,为单位质量流体储存能,为外界输入控制体的传热率;,为控制体内流体对外所做功率,一维定常流形式( ),B4 积分形式的基本方程,B4.6.2 能量方程与伯努利方程的比较,单位质量流体一维定常流动能量方程,有用功,比热能率,比轴功率,比摩擦功率,不可压缩粘性流体 水头形式,称为水头损失,与粘性耗散有关。,有轴功输入 的不可

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