初等变换与初等矩阵.ppt

1、一些概念 方阵的行列式、方阵的多项 式、伴随矩阵、逆矩阵、分块矩阵、分块矩阵的运算、分块对角阵,前次课内容回顾,伴随矩阵有如下重要性质：,定理 方阵 A 可逆的充要条件是 ，且在 A 可逆时，有 ,（2）,关于分块矩阵,主要结论：（1）当 皆可逆时，A 也,可逆，且有：,证 由题,证明：若A是对称矩阵，则由 ，可推出,故有：,问：若A2=O，能否推出A=O？,请你思考,定义（矩阵的初等变换）,2.4 初等变换与初等矩阵,2.4.1 初等变换,下面三种变换称为矩阵的初等行变换：,注 初等变换都是可逆的，且逆变换仍然是初等 变换。,如, 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵 B， B也可经过有限次

2、初等变换变回矩阵A。,类似定义初等列变换，相应的记号为：,初等行变换和初等列变换，统称为初等变换。,如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵 B，就称 A 与 B 等价，记作 AB。,定义 （矩阵的等价）,定义 由单位阵 E 经过一次初等变换得到的方阵称为 初等方阵。,三类初等变换对应三类初等方阵.,2.4.2 初等方阵,易知，矩阵的等价关系满足如下三条性质： 1）自反性 即 AA ； 2）对称性 若AB，则 BA ； 3）传递性 若 AB，BC ，则 AC。,1对调两行或两列 把单位阵中第 两行对调（或 两列对调）得初等方阵 。,用 m 阶初等方阵 左乘矩阵Amn ，相当于对 A施行行变换 ；

3、 用 n 阶初等方阵 右乘 矩阵Amn ，相当于对A施行列变换 ；,2以数 乘某行或某列,用 m 阶初等方阵 左乘矩阵Amn ，相当于对A 施行行变换 ；用 n 阶初等方阵 右乘矩阵 Amn ，相当于对A施行列变换 。,3以数 乘某行(列)加到另一行(列)上,用 m 阶初等方阵 左乘矩阵Amn ，相当于对A 施行行变换 ；用 n 阶初等方阵 右乘 矩阵Amn ，相当于对A施行列变换 。,（此可类似验证，我们略去。）,综上所述，可得如下结论：,定理 3 设 A 是一个 mn 矩阵，对 A 进行一次初等行变 换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等方阵；对 A 进行一次初等列变换，相当于在

4、A 的右边乘以相应 的 n 阶初等方阵。,结论 初等方阵皆为可逆矩阵。,易知：,即，初等方阵的逆仍是初等矩阵。,证 事实上，有,故这三类初等方阵都可逆。,定理 4 任意一个矩阵 经过若干次初等变 换，可以化为下面形式的矩阵 I。,证 若 A 所有的元素都等 于0，则 A已是 I 的形 式 (此时 r =0), 否则 A 中至少有一个元素不为 0，不妨设 ,即,对A作行变换 , 再作列变换 ,然后用 乘第一行，于是矩阵A化为,如果 ，则A已化为 I 的形式，如果 ，那么 按上面的方法，继续下去，最后总可以化为 I 的形式。,通常称 I 为矩阵 A的标准形。,推论 如果 A 为 n 阶可逆矩阵，则

5、 I =En .,证 由定理 4知，A经过若干次初等变换可化为 I，即存 在有限个初等矩阵,由于A可逆，且初等矩阵也可逆，故知 I 也可逆，从而 I 中不能有任一行（列）元素全为零，所以 I=En 。,解,例 把矩阵A化为标准形（即化为 I 的形式）。,解,由此可知 A是可逆 的矩阵。,例 把矩阵A化为标准形（即化为 I 的形式）。,证 因为A可逆，故 AE，即 E 经过有限次初等变换 可以变成 A，也即存在有限个初等方阵,所以,定理 5 设A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵 ，使,推论 mn 矩阵 AB 的充分必要条件是：存在 m 阶可逆方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q，使 PAQ = B 。,定理5也是可逆矩阵的一个刻划，由此可得到两个矩阵 等价的一个刻划：,证,若A可逆，由定理5 知,这表明，当一系列初等行变换将A变成E时，这些变换 同时将E变成A的逆矩阵。由此，构造分块矩阵(AE)， 并对之作初等行变换，使得,这便是用初等变换求逆矩阵的方法。,由定理5可以导出用初等变换求逆矩阵的一个方法。,例 求下列矩阵的逆矩阵,解,补充例