3.4.1基本不等式的证明.ppt

1、3.4基本不等式,2002年第24届国际数学家大会 在北京举行,2002年第24届国际数学家大会 在北京举行,会标的设计源中国 古代数学家赵爽为了证 明发明于中国周代的勾 股定理而绘制的弦图。 它既标志着中国古代的 数学成就，又象一只转 动的风车，欢迎来自世 界各地的数学精英们。,欣 赏 体 会 丰 富 自 我,思考：这会标中含有怎样的几何图形？,思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？,探究1,一、引入,a,b,1、正方形ABCD的 面积S=,、四个直角三角形的 面积和S =,、S与S有什么 样的不等关系？,探究：,S_S,问：那么它们有相等的情况吗？,当且仅当a=b时，等号成立

2、。,A,B,C,D,E(FGH),a,b,思考：你能给出不等式 的证明吗？,证明：（作差法）,当且仅当a=b时，等号成立,文字叙述为:,两数的平方和不小于它们积的2倍.,适用范围：,a,bR,问题一,重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有,2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数（均值不等式）,2.代数证明:,3.几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长,（当且仅当a=b时，等号成立）,二、新课讲解,如果用 去替换 中的 , 能得到什么结论? 必须要满足什么条件?,3.几何证明:,从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项,（均值不等式）,问题一,2.代数意义：几何平均数小于

3、等于算术平均数（均值不等式）,（当且仅当a=b时，等号成立）,二、新课讲解,如果用 去替换 中的 , 能得到什么结论? 必须要满足什么条件?,3.几何证明:,从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项,（均值不等式）,问题一,证明:要证,只要证,( ),要证，只要证,( ),要证，只要证（ ),证明:当 时, .,探究2,o,a,b,A,B,D,C,如图,AB是圆o的直径，C是AB上任一点，AC=a,BC=b,过点C作垂直于AB的弦CD，连AD,BD, 则半弦CD=_,半径OA=_,几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长,探究3,动态演示,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,a=

4、b,a=b,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,两数的平方和不小于它们积的2倍,a,bR,a0,b0,填表比较：,注意从不同角度认识基本不等式,三、应用,发现运算结构，应用不等式,例1用篱笆围一个面积为100平方米的 矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少 时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？,三、应用,发现运算结构，应用不等式,例2一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积 最大，最大面积是多少？,练1、若 ,求 的最小值.,练2、已知 ,求函数 的最大值.,变式训练,例 3. 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池， 其容积为48003，深为3。如果池底每 平方米的造价为150元，池壁每平方米的 造价为120元，怎样设计水池能使总造价最 低？最低总造价是多少元？,1、本节课主要内容？,你会了吗？,四、小结,2、数学思想：数学建模