分离变量法.ppt

1、1,第二章 分离变量法,内容包括： 一般齐次方程的解法； 非含时问题(特殊齐次方程)的解法； 非齐次方程的解法； 三维坐标中的多次分离变量法。,本章将学习解数理方程最基本的方法：分离变量法，它将偏微分方程分解为两个或多个更简单的只含一个变量的泛定方程，即常微分方程。这一章是本课程的重点。,2,分离变量法的主要思想,将方程中含有各个变量的项分离开来，从而原方程拆分成多个更简单的只含1个自变量的常微分方程； 运用线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程； 利用高数知识、级数求解知识、以及其他巧妙方法，求出各个方程的通解； 最后将这些通解“组装”起来。,3,内容安排顺序,本章内容前

2、后衔接，系统性强，“集成度”高，顺序从简单到复杂，步步深入： 先学习齐次方程齐次边界的解法分离变量；(强调分离变量) 再学习特殊齐次方程(非含时问题)的解法处理复杂边界条件；(强调线性叠加) 接着对付非其次方程分离变量线性叠加(看似复杂，实则水到渠成) 最后拿下三维方程的多次分离变量解法；(厚积薄发，对全章的回顾) 请大家在学习过程中注意体会并随时总结。,4,4-1 一般齐次方程的解法,一、线性叠加原理 合速度、合力、多个点电荷的总电势； 同样，对于线性偏微分方程，也有叠加性质； 线性偏微分方程是某种线性算符作用在函数上的结果; 例如：,波动方程,可看作线性算符,作用在函数u上的结果:,5,线

3、性叠加性质,1. 若u1和u2分别是齐次方程Lu=0的解，则它们的线性组合仍是Lu=0的解。,2. 若u1是非齐次方程Lu=f的解，u2是相应齐次方程Lu=0的解，则u1+u2仍是Lu=f的解。,3. 若u1是非齐次方程Lu=f1的解，u2是非齐次方程Lu=f2的解，则u1+u2是Lu=f1+f2的解。,6,二、分离变量法,齐次方程、齐次边界条件、非齐次初始条件： 例1. 两端固定的1维有界弦的自由有界振动.,第1步: 分离变量,假设定解问题的解为：,代入原方程得：,常微分,7,第2步: 求解第1个常微分方程,边界条件转化为:,在第2章已经求解过这样方程的本征值问题:,本征函数：,第1个方程转

4、化为:,8,回忆和复习(书P50-51),对于常见的二阶常微分方程y”+ly=0，求解本征值问题. 0 xl, 边界条件定为: y(0)=y(l)=0. 解：用高数中所学知识即可解出这类方程。 l C=D 得到C=0, y=0, 不是非0解, 所以l0时得不到本征值.,9,y”+ly=0,l=0时，通解为: y=C+Dx. 代入边界条件: y(0)=C=0, y(l)=Dl=0. 所以C=D=0, y=0,不是非0解, l=0时得不到本征值。,10,l0时，通解为：？ 代入边界条件: y(0)=D=0 ln就是本征值，对应的本征函数就是方程的非0解：,11,第3步: 求解第2个常微分方程,代入

5、上面方程得到通解:,将本征值,于是得到原波动方程的一个特解:,由叠加原理可得原波动方程通解的形式为:,12,第4步: 确定待定常数,将初始条件代入方程的通解得：,上两式实际上是j(x)和y(x)展开后的傅立叶级数(再具体点，就是正弦级数)。,通过初始条件？还是边界条件？,An和Bn，傅氏级数的系数怎么求？,13,回忆和复习(书P25),至此，原方程的通解形式得以确定。,14,上例中的物理意义,形式解u(x,t)=X(x)T(t)代表一种驻波能量不沿x方向传播的仿佛驻立不前的波： X(x)是驻波在x点处的振幅，不同点处的最大振幅不同，振幅为0的点称为波节，令X(x)取极值的点称为波腹； T(t)

6、是驻波波形的相位变化因子，各个点(所有x)处波形的相位按照同一种规律随着t同步地改变，没有相位滞后现象。,15,上式称为两端固定弦的本征振动模式： 它是在代入初始条件之前就求得的，与初始条件无关，即它与波动是如果被激发无关； 在节点处，sin(npx/L)=0, x=0, L/n, 2L/n, (n-1)L/n, L. 共有n+1个节点； 相邻节点间距为L/n, 即半波长，故波长为l=2L/n； 于是可得本征频率w=npa/L, f=w/2p, 波速v=fl； n=1时的波称为基波，频率最小，波长最大； n1时的波称为n次谐波。,相位因子,振幅因子,16,步 骤 小 结,第1步: 分离变量 若

7、干常微分方程 第2步: 求解其中1个常微分方程 本征函数, 本征值 第3步: 将本征值代入其余方程 若干本征函数 第4步: “组装”本征函数 原方程的本征解 第5步: 本征解的“叠加” 原方程的通解 第6步: 代入其余定解条件 确定待定常数 _,17,例 2. 书P74, 例题,单簧管一端封闭一端开放，管内空气柱作均匀振动, 定解问题的数学描述如下，求本征振动模式。,解：,定解条件给全了吗？,第1步: 分离变量,假设定解问题的解为：,代入原方程得：,常微分,为什么没给出初始条件？,本征振动模式与初始条件无关.,18,第2步：求本征值,求解得：,由边界条件：,得：,所以本征值为：,本征函数为：,

8、19,第2步：求 的通解,将本征值ln代入T的方程，可得通解：,于是所求的本征振动模式为：,20,分离变量法小结,设定方程的形式解，用分离变量法将齐次偏微分方程拆分为若干常微分方程； 常微分方程和齐次定解条件构成本征值问题，求出本征值和本征函数，得到另一个常微分方程的通解; 写出满足齐次定解条件的原方程的本征解un(x,t)=Xn(x)T(t) 本征解线性叠加后得到原方程的形式通解，代入非齐次定解条件，确定傅立叶级数的待定系数。,21,作 业,书 P93，一、2.,22,三、如何应付非齐次边界条件,只需借助叠加原理； 将方程拆分成 满足齐次边界条件的部分(此处求解如前所学)； 满足非齐次边界条

9、件且易于求解的部分； 下面，先纸上谈兵一番，再举实例。 假设定解问题是： 齐次方程： L1u=0 (0xL) 非齐次边界条件：L2u(0,t)=m (t), L3u(L,t)=j (t) 非齐次初始条件：L4u(x,0)=y (t) 将方程的解拆分成：u=v+w,23,将方程的解拆分成：u = v+w,其中，v(x,t)是满足非齐次边界条件的特解，即 L1v=f , L2v(0,t)=m(t), L3v(L,t)=j(t) w(x,t)是满足其余定解条件的特解，即 L1w=L1u-v=L1v=f (0xL) L2w(0,t)=L2u(0,t)v(0,t)=0 L3w(L,t)=L3u(L,t)

10、v(L,t)=0 L4w(x,0)=L4u(x,0)v(x,0)=y(t)L4v(x,0)=y1(t) 意图？ 先找出满足非齐次边界的特解v,若v取得巧则L1v=0; 余下的问题就是求解关于w的齐次方程(含齐次边界); 若v取得不巧, L1v0？,今后要学的非齐次方程解法。,24,举 例,一均匀细杆, 初始温度为u0, 一端保持恒温u0, 另一端有热流q0进入, 求细杆温度分布及变化。 解：设t时刻x点处的温度为u(x,t), 这是1维热传导问题，所满足的传输方程已经学过：,边界条件：,初始条件：,1. 为了对付非齐次边界, 设u=v+w, 其中 v 满足：,x=0时v是常数, 对x求导后v仍

11、是常数, 猜想v=C+Dx, 代入边界条件得：,25,2. 写出关于w的定解问题,可见, w的定解问题是齐次方程、齐次边界、非齐次初始条件的问题，这样的方程我们已经会求解。,边界条件：,初始条件：,边界条件：,初始条件：,26,3. 分离变量法求解w(x,t),(1) 设解为：,代入原方程得：,于是得到常微分方程:,边界条件：,初始条件：,27,(2) 求解第1个常微分方程,边界条件转化为:,注意: 书P77, 式4-1-53有误.,本征值为:,本征函数为：,这样本征值问题在本章前面的例题中已经得出.,28,(3) 求解第2个常微分方程,将本征值 ln代入T的方程可得通解：,于是w的本征解为：

12、,由线性叠加原理得到w的通解为：,29,(4) 确定待定常数 cn,将初始条件代入方程的通解得：,上两式实际上是q0/k展开后的傅立叶级数(再具体点，就是正弦级数)。,所以原方程的解得以确定：,30,4-2 非含时问题(特殊齐次方程)的解法,前面用分离变量法求解的方程都与时间有关, 因此边界条件可以都是齐次的, 而初始条件是非齐次的. 本节学习与时间无关方程的分离变量法，也就是稳定分布问题的分离变量解法。 这类问题没有初始条件，只有边界条件，因此边界条件不能都是齐次的，否则方程的解恒为0。 由此可见，稳定分布问题的边界条件较为复杂，但处理非齐次边界条件的手段我们刚刚学过了，运用叠加原理就能化简

13、问题。 最典型的齐次稳定分布方程是Laplace方程，本节就以此类方程为例，如何求解非齐次的稳定分布方程，是下一节将要学习的内容。,31,一、求解矩形区域的Laplace方程,微波导和光波导器件的 横截面常是矩形, 其中的电磁场模式多是横电波或横磁波, 即电场或磁场不沿着波导的长度方向改变，而只随横截面的坐标变化； 此时求解矩形区域的Laplace方程是研究波导中场量和模式的重要手段。 下面举例说明其分离变量解法：定解问题：边界条件：,32,Appendix 2,33,Appendix 3,34,An example of AWG structure,35,Silica Optical Wav

14、eguide Chip,36,Introduction,Type,37,38,Film Optical Waveguide,39,Optical waveguide on substrate,40,II.1.4 Field Configurations of Guided Mode,Using Ey(TE), Hy(TM) equs. We can draw the corresponding configurations as:,41,Symmetrical with y-axis, cosa or even symmetry,Asymmetrical with y-axis, sina o

15、r odd symmetry,42,1. 化简问题,若边界条件中至少有1个是齐次的，则我们就能利用如第1节中所学的方法求解，为此，令 u=v+w,/|- |,43,2. 求解v(x,y),设解为：,代入上面关于v的方程得：,先求解哪一个？,与齐次边界有关的那个。,44,上式构成本征值问题，不难求出：,本征值为：,本征函数为：,将本征值ln代入 Y 的方程，可得通解：,于是由叠加原理得到v的通解为：,45,将另一对边界条件代入方程的通解得：,上两式实际上是u0和U0展开后的正弦级数, 于是,联立上两式可得An和Bn, 从而原方程的解得以确定。,46,3. 求解w(x,y)：,方法和步骤完全类似，

16、,作 业 仿照求解v(x,y)的步骤求解w(x,y)。,于是乎,47,二、求解圆形区域的Laplace方程,在最常见的微波传输线(铜轴线)和最常见的光传输线(光纤)中，横截面都是圆形，其中的电磁场模式也大多是横电波或横磁波，即电场或磁场不沿着波导的长度方向改变，而只随横截面的坐标变化； 此时求解圆形区域的Laplace方程是研究场量和模式的重要手段。,48,园柱波导: 光导纤维,单模：8 10mm,多模：50mm,125mm,49,光纤中的LP01模(上2)和LP03模(下2),50,光纤中的LP22模(上2)和LP41模(下2),51,举 例,定解问题：,边界条件：,坐标选取: 由空间柱面坐

17、标退化成2维的极坐标.,挖掘边界条件: r的边界是0和a, j的边界是0和2p. 自然边界条件: 周期边界条件:,分离变量: 令,代入极坐标Laplace方程:,得:,52,于是得到两个常微分方程:,求解式*构成的本征函数得:,如何化简式 # ?,2阶导数的系数为r的2次方.,如果有变量代换能消去系数r的幂次方,如果求导能使r出现分母位置,1阶导数的系数为r的1次方.,0阶导数的系数为r的0次方.,53,通解为: m=0时， m0时， 由自然边界条件“u(0,j)=有限值“ 可知D0=0和Dm=0.,54,所以，原Laplace方程的通解为：,再代入边界条件：,上式实际上就是f(j)的傅立叶级数展开式，所以待定系数可以确定：,注意: 书P81, 式4-2-35有误.,55,思考题,一个半径为r0的圆盘, 上下两面绝缘, 圆周边缘的温度分布已知, 求达到稳恒状态是圆盘内的温度分布. 解