平面向量复习课.ppt

1、平面向量复习课,内容提要,一、向量及其有关概念,向量,零向量 单位向量 平行向量 共线向量 相等向量 相反向量 向量的表示 向量的模,有向线段,向量定义：,既有大小又有方向的量叫向量。,重要概念：,（1）零向量：,长度为0的向量，记作0.,（2）单位向量：,长度为1个单位长度的向量.,（3）平行向量：,也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量.,（4）相等向量：,长度相等且方向相同的向量.,（5）相反向量：,长度相等且方向相反的向量.,一、向量及其有关概念,几何表示,: 有向线段,向量的表示,字母表示,坐标表示,: (x，y),若 A(x1,y1), B(x2,y2),则 AB =,(x2 x1

2、 , y2 y1),(6)向量的表示,一、向量及其有关概念,(7)向量的模（长度）,1. 设 a = ( x , y ),则,2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则,一、向量及其有关概念,(8) a与b的夹角定义：,向量夹角的范围：,00 ，1800,共同的起点,（9）两个非零向量的数量积：,规定：零向量与任一向量的数量积为0,a b = |a| |b| cos,几何意义：,数量积 a b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b| cos的乘积。,二、向量的运算,向量的运算,几 何 方 法,坐 标 方 法,加法 减法 实

3、数与向量的积 平面向量数量积,加法 减法 实数与向量的积 平面向量数量积,(1)几何方法：,O,A,B,O,A,B,C,B,A,O,实数与向量的积的实质是：向量的伸缩变换。,(2)坐标方法,说明：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。,说明：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。,说明：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。,(3)向量运算律,1、实数与向量的积运算律,2、平面向量数量积的运算律,注意：,数量积不满足结合律,精选例题,例1判断下列命题及其逆命题的真假： 1、若| |= | | ，则 与 是共线向量； 2、若 ，则 在 方向上的投影是 ；

4、 3、若 ，则 ； 4、若 ，则 且,例2判断下列运算律的正误,精选例题,例3设 ，若 ，求 的值。,解：由已知条件，得：,=（3，2）-2（，7）,=（3-2，-12）,=（-2，）, = ，=-12,三、两个重要定理,1、向量共线充要条件 向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有 一个实数，使得,2、平面向量基本定理 如果 是同一个平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面的任一个向量 ，有且只有一对实 数 ，使,注意：这是判断两个向量共线（平行）的重要方法。,内容提要,四、数量积的主要应用,1、计算向量的模：,坐标表示：,2、两点间距离公式：,3、计算两个向量的夹角：,内容提要,5、向

5、量共线（平行）充要条件：,4、向量垂直充要条件：,坐标表示：x1y2-x2y1=0,坐标表示：x1x2+y1y2=0,内容提要,注意：这两个充要条件分别是判断两个向量（直线）垂直或平行的重要方法之一。,精选例题,例4已知 =（1，2）， =（-3，2），当k为何值时， （1） 与 垂直； （2） 与 平行？平行时它们是同向还是反向？,解：由已知 =（k-3，2k+2）， =（10，-4） （1）当 时，这两个向量垂直。 由（k-3）10+（2k+2）（-4）=0，得：k=19,（2）当 与 平行时，存在唯一实数， 使 = ，由（k-3，2k+2）= （10，-4）,解得,反向,例5,设AB=2

6、(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)， 求证：A、B、D 三点共线。,分析,要证A、B、D三点共线，可证,AB=BD关键是找到,解：,BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b,AB=2 BD,且AB与BD有公共点B, A、B、D 三点共线,AB BD,五、两个重要公式,1、定比分点坐标公式,中点公式,内容提要,设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且 ，则,精选例题,例5设P1（2，-1），P2（0，5），且P在直线 P1P2上使 ，求点P 的坐标。,解：ab=x1x2+y1y2 =-12+10=-2,例10 a=(3,-5) b=(-4,-2)则ab=,典例分析,3、平面向量的坐标运算典例分析,例5 |a|=10 b=(3,-4)且ab求a,3、平面向量的坐标运算典例分析,例6 已知a=(3,-2) b=(-2,1) c=(7,-4)，用a、b表示c。,17、已知e1与e2是夹角为60。的单位向量，且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,求ab及a与b的夹角。 解：e1,e2是单位向量，且夹角为60。 e1e2=|e1|e2|cos60。= ab=(2e1+e2)(-3e1+2e2) =-6|e12|+e1e2+