上海交通大学2011-1期中考试 高数试卷(b类)

1、 B-1 20112011 级第一学期高等数学期中考试试卷级第一学期高等数学期中考试试卷 ( (B B 类类) ) 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 已知数列 n a单调，下列结论正确的是 【 】 （A） n a n e lim存在； （B） 2 1 1 lim n n a 存在； （C）lim tan n n a 存在； （D） 2 1 1 lim n n a 存在。 2. 当 0 x时，下列无穷小量中，与x同阶的无穷小是 【 】 （A）11 x； （B）xx 1ln； （C）1sincosx； （D）1 x x。 3. 设 x xexf ，则 xf n 【 】 （A）

2、x n xen 11； （B） x n xen 11； （C） x n enx 1； （D） x n enx 1。 4. 若03 2 ba，则方程0 23 cbxaxx的实根数为 【 】 （A）3个； （B）2个； （C）1个； （D）0个。 5. 设 xfy 在, 0 xU内连续，在, 0 xU o 内可导，以下是三个断语： （1）若 0 0 xf，则存在0 1 ，使得 10, xUx，都有 0 xf； （2）若 0 xf存在，则 xf 在 0 xx 连续； （3） xf 在, 0 xU o 内无第一类间断点。 上述三个断语中，正确的个数是 【 】 （A）0个； （B）1个； （C）2个；

3、（D）3个。 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 6. 已知数列 n a通项 34 1 2 nn an， n S为 n a的前n项部分和（, 3 , 2 , 1n） ， 则 n n Slim 。 7. 函数 6 33 2 23 xx xxx y的第一类间断点是 。 8. 已知 1 2 x x fy， 2 1arctanxxf，则 0 |xdy_。 9. 曲线 tey tex t t cos 2sin 在点0t处的切线方程为：_。 B-2 10. 0 0 , 0 , 1 sin x x x x xf n 有连续的导数（ Z Zn） ，则n的取值范围是 。 三、求极限（每小题 8 分，共

4、24 分） 11. 用极限定义证明：1 1 1 lim 2 x x 。 12. 计算极限 xx xex x arctan 11ln lim 0 。 13. 2 1 0 2coslim x x x 。 四、求导数（每小题 8 分，共 16 分） 14. 设 xyy 由方程01sin yxey确定，求 0 y。 15. 设 0 0 , 1 , 3 x x x x xf x ，求 xf 。 五、 （本题 10 分） 16. 已知 xfy 在,可导， 且 1 Lxf（L是常数） ，0 x满足 00 xxf。 对任意取定的 1 x，定义 nn xfx 1 ，, 2 , 1n。 (1) 证明： 0 limxxn n ； (2) 当 2 arctanxx xf 时，求 n n x lim。 六、 （本题 12 分） 17. 已知平面坐标系xOy中有一区域D：54 22 yx。现将一光源点P置于直线 3x上，光线被区域D遮挡产生阴影。若点05，位于阴影边缘，求点P的 坐标。 七、 （本题 8 分） 18. 已知非负函数y( )f x在, 0上可导，且 12xfxf。证