第五章立体的投影.ppt

1、1,第五章 立体的投影 及表面交线,2,5.1 基本体的投影,5.2 平面与基本体相交,内 容,5.3 两回转体表面相交,3,5.1 基本体的投影,单一的几何体称为基本体。如：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球、环等。它们是构成形体的基本单元，在几何造型中又称为基本体素。,1. 基本概念,4,基本体的分类,表面仅由平面围成的 基本体 平面体,表面包含曲面的 基本体 曲面体,构成基本体的所有表面以及形成该 形体的特征线（轴线）投影的总和,基本体的投影,5,平面体,棱柱,侧棱面,底面,棱线,底边,棱柱的棱线相互平行,形成,由多边形沿直线 拉伸而成,L,m,L m 直棱柱,L m 斜棱柱,2. 基本体的投影

2、,6,棱柱投影特性分析（以正六棱柱为例） 棱柱的顶面和底面均为水平面，其水平投影反映实形，在正面及侧面投影积聚成一直线。 前后棱面为正平面，它们的正面投影反映实形，水平投影及侧面投影积聚为一直线。 棱柱的其他四个侧棱面均为铅垂面，水平投影积聚为直线，正面投影和侧面投影均为类似形。 棱线为铅垂线，水平投影积聚为一点，正面投影和侧面投影均反映实长。 棱柱的边为侧垂线或水平线，侧面投影积聚为一点或是类似形，水平投影均反映实长，侧垂线正面投影亦反映实长。,7,棱柱的投影,长,高,宽,宽,H、V投影 长相等,V、W投影 高相等,H、W投影 宽相等,“三等”关系,8,在棱柱表面取点,例：棱柱表面上一点A，

3、已知a，求a、a,注意分析点所在表面的位置,a,a,a,A,基本方法 面内取点方法,思考：若A点的正面投影不可见，结果如何？,9,棱锥,锥顶,棱锥的棱线相交于锥顶,侧棱面,底面,棱线,底边,形成,由多边形沿直线 拉伸而成。但拉 伸过程中多边形 大小均匀变化,L,m,10,棱锥的投影,s,a,b,c,a,c,b,s,b,a(c),s,11,在棱锥表面取点取线,例 棱锥表面的折线MNK(mnk)求另二投影,如何在平面上取点？,K,m,(k),n,M,N,分析,M SA,N SB,K SBC,n,k,m,m,n,k,连线,注意分析点、直线 所在表面的可见性,12,曲面体（回转体）,圆柱体,形成,轴线

4、,底面,圆柱面, 圆沿与其垂直 的直线拉伸形成, 矩形绕其边旋 转形成,L,圆柱面的形成,轴线,母线,素线,13,圆柱体的投影,对V面的外 形轮廓线,对W面的外 形轮廓线,外形轮廓线投 影的对应关系,圆柱面投影 可见性判断,14,圆柱体表面取点取线,例 圆柱体表面一点M ，已知m求m ，m,M,m,m,m,( ),15,例 AC位于圆柱体表面，已知ac，求ac、a”c”,a,(c),分析,ac不平行轴线 故AC为曲线,作图,找特殊点,求H投影,求W投影,光滑连接曲线,b,d,a,c,b,d,b,(d),a,(c),外形轮廓线上的 点是曲线投影的 虚、实分界点,16,圆锥体,形成,S,底面,圆锥

5、面,锥顶,轴线,直角三角形绕其直角边旋转而成,L, 圆沿与其垂直的直 线拉伸形成。拉伸过 程中其直径均匀变化,圆锥面的形成,过圆锥面上任一点可作 一条直线通过锥顶、亦 可在圆锥面上作一圆,17,圆锥体的投影,S,s,s,对V面的外 形轮廓线,对W面的外 形轮廓线,外形轮廓线投 影的对应关系,圆锥面投影 可见性判断,s,18,圆锥体表面取点取线,例 圆锥体表面一点M，已知m，求m，m,S,M,m,m,( ),m,如何在曲面内取点？,辅助线如何作？,作直素线,作水平圆,19,例 ABC位于圆锥体表面，已知V投影，求H、W 投影,a,b(c),分析,ABC不通过锥 顶，故为曲线,作图,找特殊点,求H

6、、W面投影,光滑连接曲线,d (e),a,c,b,d,e,(a),b,c,d,e,20,圆球,轴线,圆球表面无直线！,形成,圆绕其直径旋转 而成,球面,圆球面的形成,21,圆球的投影,a,b,c,外形轮廓线投 影的对应关系,球面投影 可见性判断,22,点N在球面的 一水平圆上,n,n,n,圆球表面取点取线,N,( ),例 圆球表面一点N，已知n，求n ，n,23,平面 基本体 截交线,平面体,本节重点：截交线求法,回转体,5.2 平面与基本体相交,截平面,共有线,24,平面截切的基本形式,截交线与截断面,25,截交线的特点： 截平面与立体表面共有点的集合。截交线形状是由直线组成封闭的多边形。多

7、边形的顶点为平面立体上有关棱线（包括底面边线）与截平面的交点。,求截交线的方法： 可归结为求截平面和立体表面共有点的问题。实际上是求立体参与相交的各棱线和底面边线与截平面的交点。,26,例1,A,B,C,P,求截交线并完成截头三棱锥的三投影,先求棱锥侧投影,求截交线,a,c,b,a,c,b,a,b,c,截交线求法,截平面棱线=交点,截平面棱面=交线,棱线法,棱面法,平面与平面体相交,27,例2：求五棱柱被截头后的三面投影。,空间分析：,作图步骤：,1、画出五棱柱未被截切时的侧面投影。,2、求参与相交的各棱线与截平面交点的投影。,3、判别可见性并连线。,4、补齐轮廓线。,4条棱线及2条底边参与相

8、交，因此截交线为一平面六边形。,28,平面与曲面体相交,1. 基本概念,表面包含曲面的 基本体 曲面体,2、平面 曲面体 截交线,共有线,回转体,截平面,本节重点：曲面体截交线的求法,曲面体表面求若干共有点的方法,辅助线,辅助平面,29,平面与圆柱体相交,P轴线 截交线为圆,P/轴线 截交线为矩形,P 轴线 截交线为椭圆,P,P,P,30,例 如图圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影。,由于平面与圆柱的轴线斜交，因此截交线为一椭圆。截交线的正面投影重影为一直线，水平投影与圆柱面的投影重影为圆。侧面投影可根据圆柱表面取点的方法求出。,具体步骤如下：,（1）先作出截交线上的特殊点。,（2）再

9、作出适当数量的一般点。,（3）将这些点的投影依次光滑的连接起来。,1,1,5,5,3,7,3,(7),1”,5”,3”,7”,2,2,2”,4,6,8,4,4”,（4）补全侧面投影中的转向轮廓线。,8”,6”,31,例 求圆柱体被平面P、Q截切后的投影,P,Q,截交线分析,P/圆柱体轴线，P圆柱面交线为直线,Q 圆柱体轴线，Q圆柱面交线为椭圆曲线,非圆曲线画法,找特殊点,中间点,光滑连接曲线,检查,外形轮廓线投影,p,q,32,若增加圆柱孔结果将如何？,内、外交线分别求解,求外表面交线,求内表面交线,检查孔的外形 轮廓线投影,注意检查 孔的外形轮廓线投影 截平面与孔的交线,检查交线,无线!,3

10、3,平面与圆锥体相交,P,P轴线 交线为圆,P,P轴线 交线为椭圆,平面P与圆锥面的交线,34,P轴线 = 交线为抛物线,P,P,P轴线 0 交线为双曲线,平面P与圆锥面的交线,35,平面P与圆锥面的交线,P,P过锥顶 交线为直线,P轴线,交线为椭圆,P 轴线 ,P 轴线 =,P轴线 0,交线为抛物线,交线为双曲线,P过锥顶,交线为直线,交线为圆,归纳,36,例 求截交线,截交线分析,截交线为椭圆,椭圆画法,是什么点？,椭圆短轴的投影,截交线投影分析,特殊点 中间点 光滑连接曲线,交线可见性,P,P,截交线投影仍为椭圆,检查,外形轮廓线投影,外形轮廓线 终止点 截交线投影 虚实分界点,37,例

11、 圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个投影。,3,4,2,1,5,3,2,(4),1,(5),4”,3”,2”,1”,（1）先求特殊点。,（2）再求一般点。,（3）依次光滑连接各点。,5”,具体步骤如下：,38,4,1,(2),(4),3,(6),5,(8),7,9,(10),2”,1”,3,3”,4”,6,5,5”,6”,(12),11,11”,12”,7,8,7”,8”,9,10,10”,9”,11,12,例：已知立体的正面投影，试完成H、W两面投影,2,1,39,40,平面与球体相交,平面与圆球体相交其截交线均为圆,例,P,Q,P面交线的H投影 为圆弧曲线,投影分析,Q面交线的W投影

12、为圆弧曲线,41,综合举例,求作水平投影,p,q,p,q,双曲线,P,Q,求与大圆柱的交线,求与小圆柱的交线,求与圆锥的交线,加深,42,小 结,基本体的投影,注意:曲面体（回转体）,重要的投影规律, “三等”规律, 外形轮廓线投影的对应关系, 整体、局部,43,求截交线的本质, 求截平面与立体的共有点,立体的形状,截平面相对于立体的位置,截交线的形状,取决于,截交线投影的形状,取决于截平面相对于投影面的位置,44,截平面与立体的相交形式,单体单面,基本形式,单体多面,多体多面,分别分析单面 与单体交线,截平面与截平面 之间的交线分析,体与体连接处的 交线分析,45,求截交线的基本方法步骤,定

13、性分析,截交线的形状分析与投影分析,截交线画法,平面体,棱线法,回转体,非圆曲线,找特殊点 找中间点 光滑连线并判断可见性,46,回转体外形轮廓线投影的检查,检查方法,类似图形检查,“三等”关系检查,检查什么,孔的交线问题,47,END,48,3、平面体与曲面立体相交 交线 （相贯线）,共性,交线为二表面所共有线,本节重点讨论：求交线的基本方法,求交线的本质,求二表面的共有点,49,例,交线形状分析,由若干段平面曲线 （直线）构成的封 闭的空间折线,交线求法,实质是求平面体 各表面与回转体 的交线,此段外形轮廓线消失,求交线的基本方法,求截交 线问题,交线投影分析,H、W投影已知 求V投影,交

14、线的投影作图,50,归纳,相交形式,外表面与外表面相交,外表面与内表面相交,内表面与内表面相交,交线相同,求交线的实质相同,求交线的方法相同,51,曲面体与曲面体相交,封闭、光滑的空间曲线,交线形状分析,52,53,交线求法,例1 圆柱与圆柱相交,方法1：利用积聚性投影 用面上取点的方法求解, 求V面投影,H、W投影已知,交线分析,封闭的空间曲线,投影分析,投影作图,找特殊点,找中间点,判别可见性 光滑连线,54,例2 求二圆柱体的交线,交线分析,封闭的空间曲线,投影分析,交线的H、W 投影已知 求V投影,投影作图,特殊点 中间点 光滑连接曲线,PW,检查,外形轮廓线投影,55,光滑空间曲线,

15、交线分析,例3 圆柱与圆锥相交,投影分析,找中间点,PW,光滑连接曲线,P圆锥 = 圆,圆直线 =交线上的点,W面投影已知 求V、H面投影,投影作图,找特殊点,P圆柱面 = 直线,方法 2: 辅助平面法 利用“三面共点”的原理,辅助面,辅助面与二 回转体表面 交线的投影 为直线或圆,选择原则,56,假想用水平面P截切立体，P面与圆柱体的截交线为两条直线，与圆锥面的交线为圆，圆与两直线的交点即为交线上的点。,57,例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。,1,b,2,3,a,a,4,1,24,b,a,3,b,4,a,1,b,2,3,QW,RW,PW,a,空间分析：,相贯线的侧面投 影与圆柱体的

16、侧 面投影重合。,辅助面法求解,辅助面的位置： 平行圆柱的轴线， 垂直圆锥的轴线。,作图：,找特例点。,补充若干个一般点。,判别点投影的可见性并依次光滑连线。,补全轮廓线。,58,例5、求圆柱与半球相贯线的投影,相贯线的侧面投影积聚在圆柱的表面上。水平圆柱与半球的公共对称面平行于V面，故相贯线是一条前后对称的空间曲线。,求圆柱与半球的相贯线,59,作图步骤：,1）求特殊点：,2）求一般点：,3）判断可见性，依次光滑连接各点：,4）补画水平转向轮廓线。,60,本章结束了，你掌握得如何？,61,例,四棱柱被 P、Q截切，求侧投影,P为正垂面，p、p为类似图形 p为四边形,投影分析,Q为铅垂面，q、q为类似图形 q为五边形,P,Q,按“三等”关系作图,p,p,q,q,p,q,1,2,3,4,1,4,3,4,1,2,求p,求q,5,6,7,5(6),(7),5,6,7,（2）,（3）,类似图形,“三等”关系,检查,62,1,2,3(4),1”,3”,4”,1,2,4,3,例 求做立体被截切后的投影,2”,63,例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。,3,2,1,(4), 空间分析,交