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文档简介
1、矩 阵 论 电 子 教 程,Department of Mathematics, College of Sciences,哈尔滨工程大学理学院应用数学系,线 性 空 间 与 线 性 映 射,第 一 章,我们知道,在数域F上的n维线性空间V中取定 一组基后, V中每一个向量 有唯一确定的坐标:,向量的坐标是F上的n元数组,因此属于 ,这样一来,取定了V 的一组基,反过来,对于 中的任一元素 是V中唯一确定的元素,并且:,即 也是满射.,因此,是V到 的一一对应.,这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.,一、同构映射的定义,设 都是数域P上的线性空间,如果映射,具有以下性质:,则称的一个同构映射
2、,并称线性空间,同构,记作,ii),iii),i) 为双射,为V的一组基,则前面V到 的一一对应,例1、V为数域F上的n维线性空间,,这里 为在 基下的坐标,就是一个V到 的同构映射,所以,1、数域F上任一n维线性空间都与Fn同构.,二、同构的有关结论,2),线性相关(线性无关).,3)V中向量组 线性相关(线性无关),的充要条件是它们的象,4),5) 的逆映射为 的同构映射.,是的子空间,且,6) 若W是V 的子空间,则W 在下的象集,中分别取即得,证: 1)在同构映射定义的条件iii),2)这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合的结果.,3)因为由,可得,反过来,由,可得,而是一一对应
3、,只有,所以可得,因此,线性相关(线性无关),线性相关(线性无关).,4)设为V 中任意一组基.,由2)3)知, 为的一组基.,所以,任取,I为恒等变换.,5)首先是11对应,并且,同理,有,所以,为的同构映射.,由于是同构映射,有,再由是单射,有,6)首先,,使,于是有,由于W为子空间,所以,从而有,由2可知,同构映射保持零元、负元、线性组合,所以是的 子空间.,显然,也为W到的同构映射,即,注,及线性相关性,并且同构映射把子空间映成子空间.,证:设 为线性空间的同构,3、两个同构映射的乘积还是同构映射.,映射,则乘积 是 的11对应.,所以,乘积 是 的同构映射.,同构关系具有:,反身性:
4、,对称性:,传递性:,注,4、数域F上的两个有限维线性空间 同构,证:,若由性质2之4)即得,(法一)若,由性质1 ,有,设 分别为V1, V2的一组基.,定义 使,则就是V1到V2的一个映射.,(法二:构造同构映射),又任取设,从而,所以是单射.,若 即 则,任取设,所以是满射.,再由的定义,有,易证,对有,所以是V1到V2的一个同构映射,故,则有 使,例2、把复数域看成实数域R上的线性空间,,证法一:证维数相等,证明:,首先, 可表成,其次,若 则,所以,1,i为C的一组基,,又,,所以,,故,,证法二:构造同构映射,则为C到R2的一个同构映射.,作对应,作成实数域R上的线性空间.,把实数域R看成是自身上的线性空间.,例3、全体正实数R+ 关于加法与数量乘法:,证明:并写出一个同构映射.,证:作对应,易证为的11
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