2010-6讲：插值与拟合.ppt

1、第二章 插值法,插值法,插值法的一般理论,Lagrange插值,Newton插值,分段低次插值,Hermite插值、样条插值,一、数学的期望,实验数据是否存在内在规律?,实验数据的内在规律是什么?,实验数据的内在规律是否有函数解析式?,反映内在规律的解析式是什么?,二、数学的苦恼,数学的苦恼,插值问题的提法,插值问题的提法,求解插值问题的基本思路,求解插值问题的基本思路,七、插值法的一般定义,插值法的一般定义,插值法的一般定义,我们的问题是如何确定,进而求得,一般插值多项式的原理,第一节 Lagrange插值法,插值法,Lagrange插值法的一般理论,Lagrange插值基函数,Lagran

2、ge插值余项和误差估计,Lagrange插值多项式的构造,Lagrange插值多项式的构造,称为线性插值多项式,Lagrange插值多项式的构造,Lagrange插值多项式的构造,Lagrange插值多项式的构造,例1,解,Lagrange插值余项与误差估计,数据拟合的最小二乘法,函数逼近,第一节 数据拟合的最小二乘法,曲线拟合的常用解法,线性最小二乘法的求解,曲线拟合的一般提法,小结,数据拟合的最小二乘法,的选取,已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。,y=f(

3、x),i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离,（1）使残差的绝对值之和最小，即,（2）使残差的最大绝对值最小，即,（3）使残差的平方和最小，即,准则（1）有绝对值之和，使用不方便。按准则（2）求近似函数的方法称为函数的最佳一致逼近。按准则（3）确定参数求近似函数的方法称为函数的最佳平方逼近，也称曲线拟合的最小二乘法。,近似函数求得的近似值 与观测值 之差,称为残差。显然残差的大小可反映近似函数的好坏。常用的准则有以下三种,曲线拟合的一般提法,确定a1,a2, am 的准则（最小二乘准则）： 使n个点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离i 的平方和最小 。,记,问题归结为，

4、求 a1,a2, am 使 J(a1,a2, am) 最小。,先选定一组函数 r1(x), r2(x), rm(x), mn, 令 其中 a1,a2, am 为待定系数。,则方程组（3）的矩阵形式为,线性最小二乘法的求解,当RTR可逆时，（4）有唯一解：,若记,线性最小二乘法的求解,怎样选择 r1(x), rm(x)，以保证系数a1,am 有唯一解？,a1,am有唯一解, RTR可逆,Rank(RTR)=m, Rank(R)=m, R列满秩, r1(x), rm(x)线性无关,线性最小二乘法的求解,此时正则方程组为:,即,线性最小二乘法的求解,将数据 (xi,yi) i=1, n 作图，通过直

5、观判断确定 f(x)：,多项式拟合对应的法方程为,整理可得,其中,多项式拟合,拟合问题例1,根据离散数据做出线性拟合并计算均方误差：,解 设拟合直线,，写出方程,多项式拟合,化简为,经计算得：,所以有,多项式拟合,ClearX,Y,f,k1,k2 L=-1.00,0.22,0.50,0.8,0,2.0,0.75,2.5,1,3.75; f=FitL,1,x,x k1=ListPlotL,Prolog-AbsolutePointSize15 k2=Plotf,x,-1,1 Showk1,k2,MATH程序,多项式拟合,拟合问题例2,解 做二次拟合，设,，则有,多项式拟合,拟合问题例3,法方程为：,拟合问题实例4,给定数据,多项式拟合,即利用下面数据表做线性拟合,思路：非线性拟合转化为线性拟合,多项式拟合,六、指数拟合,称其为非线性最小二乘问题。相对于线性最小二乘 问题，它求解比较复杂，如果令,则有,那么数据点(xi, lnyi)的分布近似于直线。就可以先求出数据点(xi, lnyi)的最小二乘拟合直线,两边取指数就得到