第二十二章一元二次方程教案

1、 第二十二章 一元二次方程课题：一元二次方程学习目标：学习重、难点： 课时：2课时师生活动由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型学生活动：学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系数教师活动：在学生指出各项系数的环节中，分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）学生活动：学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系数教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程学生活动：合作交流，讨论解答。导学提纲教学后记学生活动：学生可以采取多种方法得到方程的解，比如可

2、以用尝试的方法取x1、2、3、4、5等，发现x8时等号成立，于是x8是方程的一个解，如此等等教师活动：教师引导学生自主探索，多种途径寻找方程的解，在此基础上让学生进行总结： 第二十二章 一元二次方程课题：一元二次方程的解法（一）-直接开平方法学习目标：1、运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p0）的方程。2、体会由未知向已知转化的思想方法学习重、难点：1、运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p0）的方程2、通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到形如（x+m）2=n（n0）的方程课时：1课时师生活动教师活动：概括可用直接开平方法求解的一元二次方程的结构形式及其操作过程学

3、生独立思考、独立解题 教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）导学提纲一、复习引入【问题】求出下列各式中x的值，并说说你的理由（1）x2=9 （2）x2=5 （3）x2=a（a0）二、 探索新知一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱长吗？【思考】对照上述解方程的过程，你能解下列方程吗？从中你能得到什么结论？（1）；（2）学生活动：学生独立分析问题，在必要的时候进行讨论经过分析发现（1）和问题1中的方程形式类似，可以利用平方根的定义，直接开平方得到，于是得到。对于（2），发现方程

4、左边是一个完全平方式，可以化为（1）的形式，然后利用（1）的方法解决三、 反馈练习教材P31 练习补充习题：解下列方程 1x2-3=0 24x2-9=0 3. 4x2+4x+1=1 4. x2-6x+9=0四、归纳：引导学生归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程即，如果方程能化成或的形式，那么直接开平方可得或五、小结作业1问题：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？由应用直接开平方法解形如x2=p（p0），那么x=转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p0），那么mx+n=，达到降次转化之目的2作业：课本P42 习题222 第1、2题教学后记 第二十

5、二章 一元二次方程课题：一元二次方程（二）-配方法学习目标：1、探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤；能够利用配方法解一元二次方程 2、在探索配方法时，使学生感受前后知识的联系，体会配方的过程以及方法。学习重、难点：1、用配方法解一元二次方程2、正确理解把形的代数式配成完全平方式.课时：1课时师生活动复习直接开门平方法，解形如（mx+n）2=p（p0）的形式的方程，为继续学习引入作好铺垫学生活动：学生通过思考，自己列出方程，然后讨论解方程的方法老师活动：在学生讨论方程x2+6x=16的解法时，注意引导学生根据降次的思想，利用配方的方法解决问题，进而体会配方法解方程的一般步骤教师活动：在学生解

6、决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理），然后让学生分析利用配方法解方程时应该遵循的步骤：导学提纲一、复习引入（学生活动）请同学们解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p0）的形式，那么可得x=或mx+n=（p0） 如：4x2+16x+16=（2x+4）2二、探索新知【问题情境】要使一块矩形场地的长比宽多6 cm，并且面积为16 cm2，场地的长和宽分别是多少？考虑设场地的宽为x m，则长为（x6）m，根据矩形面积为16 cm2，得

7、到方程x（x6）16，整理得到x2+6x160，对于如何解方程x2+6x160可以进行讨论，根据问题1和问题2以及归纳的经验可以想到，只要把上述方程左边化成一个完全平方式的形式，问题就解决了，于是想到把方程左边进行配方，对于代数式x2+6x只需要再加上9就是完全平方式（x3）2，因此方程x2+6x=16可以化为x2+6x9=169，即（x3）225，问题解决。归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程。利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？（1）x28x + 1 = 0；（2）；（3）【活动方略】

8、（1）把方程化为一般形式；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解三、反馈练习教材P34 练习第1、2题补充习题：解下列方程 （1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0四、应用拓展例：如图，在RtACB中，C=90，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半_B_C_A_Q_P 分析：设x秒后PC

9、Q的面积为RtABC面积的一半，PCQ也是直角三角形根据已知列出等式（解略）五、小结作业1问题：本节你遇到了什么问题？在解决问题的过程中你采取了什么方法？如果一个一元二次方程不能直接开平方解，可把方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，再开平方降次解。这种通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法2作业：课本P42 习题222 第3题教学后记第二十二章 一元二次方程课题：一元二次方程（三）-公式法学习目标：1、掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程2、通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性。学习重、难点：1、求根公式的推导及 用公式法解

10、一元二次方程2、对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解课时：1课时师生活动学生活动：总结用配方法解一元二次方程的步骤。鼓励学生独立完成问题的探究，完成探索后，教师让学生总结归纳，由形式是一元二次方程的一般形式，得出一元二次方程的求根公式学生独立思考、独立解题 教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程导学提纲一、复习引入【问题】（学生总结，老师点评）1.用配方法解下列方程 （1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题【问题】已知ax2+bx+c

11、=0（a0）且b2-4ac0，试推导它的两个根为x1=，x2=（略）在教师的引导下，学生回答，教师板书引导学生总结步骤：确定的值、算出的值、代入求根公式求解在学生归纳的基础上，老师完善以下几点：（1）一元二次方程的根是由一元二次方程的系数确定的；（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在的前提下，把的值代入 （）中，可求得方程的两个根；（3）我们把公式（）称为一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法；利用公式法解下列方程，从中你能发现什么？（1）（2）（3）三、反馈练习教材P42 练习第1、2题补充习题：用公式法解下列方程 （1）x2-5x-6=0 （2）7x

12、2+2x-1=0 （3）3x2-5x+2=0 （4）5x2+2x-6=0 （5）4x2-7x+2=0 （6）2x2-x-=课本P42 习题222 第4、6题教学后记第二十二章 一元二次方程课题：一元二次方程（四）-根的判别式学习目标：掌握b2-4ac0，ax2+bx+c=0（a0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac0，有两个不相等的实根；（2）b2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b2-4ac=-441=0（0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=x1=，即有两个不相等

13、的实根当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等实数根即x1=，x2= （2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个相等实数根即x1=x2= （3）当b2-4ac0的解集（用含a的式子表示）（略）五、小结作业1问题：本节课学到了哪些知识？有什么体会？2作业：课本P42 习题2224 第9、11、12题教学后记第二十二章 一元二次方程课题：一元二次方程（五）-因式分解法学习目标：1应用分解因式法解一些一元二次方程2能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的

14、解法3、体会“降次”化归的思想。学习重、难点：1、应用分解因式法解一元二次方程2、灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.课时：1课时师生活动复习前面学过的一元二次方程的解法，为学习本节内容作好铺垫。学生活动：学生首先独立思考，自主探索，然后交流教师活动：在学生解决问题的过程中鼓励学生运用多种方法解方程，然后让学生体会不同方法间的区别，找到解方程的最佳方法，体会因式分解法的简洁性学生独立思考、独立解题 教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）导学提纲一、复习引入解下列方程 （1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法）二、探索新知仔

15、细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？（1）上面两个方程中有没有常数项？ （2）等式左边的各项有没有共同因式？【活动方略】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据。上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2） 因此，上面两个方程都可以写成： （1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0 因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=- （2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2 因此，

16、我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次这种解法叫作因式分解法例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗？三、反馈练习 教材P40练习第1、2题补充练习 解下列方程 112（2-x）2-9=0 2x2+x（x-5）=0四、小结作业1问题：本节课学到了哪些

17、知识？有什么体会？本节课应掌握： （1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用 （2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：联系：降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次 公式法是由配方法推导而得到 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程区别：配方法要先配方，再开方求根 公式法直接利用公式求根因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0。2.作业：课本P43 习题226 教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程学生独立完成作业，教师批改、总结教学后记第二十二

18、章 一元二次方程课题：实际问题与一元二次方程（一）学习目标：1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理3、经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。学习重、难点：1、列一元二次方程解有关传播问题的应用题2、发现传播问题中的等量关系课时：1课时师生活动教师提出问题学生分组，分别按问题（3）中所列的方程来解答，选代表展示解答过程，并讲解解题过程和应注意问题学生独立思考、独立解题 教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答导学

19、提纲探究一：【问题情境】有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【分析】（1）本题中有哪些数量关系？（2）如何理解“两轮传染”？（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？（4）能否把方程列得更简单，怎样理解？（5）解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？【解答】（略）【思考】如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？二、反馈练习 1生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出的方程是（ ） Ax（x+1）=182 Bx（x-1）=182 C2x（x+1

20、）=182 Dx（1-x）=18222一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（ ） A12人 B18人 C9人 D10人三、应用拓展例1：参加足球联赛的每两队之间都进行了两次比赛（双循环比赛），共要比赛90场，共有多少个队参加了比赛？例2：学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛？【分析】（1） 两题中有哪些数量关系？（2）由这些数量关系还能得到什么新的结论？你想如何利用这些数量关系？为什么？如何列方程？（3）对比两题，它们有什么联系与区别？四、小结作业教学后记第二十二章 一元二次方程课题：实际问题与

21、一元二次方程（二）学习目标：.1、能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理3、经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。学习重、难点：1、列一元二次方程解有关平均变化率问题的应用题2、发现平均变体化率问题中的等量关系课时：1课时师生活动学生独立思考、独立解题 教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）使学生充分体会变化率问题的数量关系，掌握两种及以上对象的变化的解题方法，进一步提升学生对这类问题的解题能力。教师引导学

22、生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程学生独立完成作业，教师批改、总结导学提纲一、复习引入1某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_kg，第三年的产量为_，三年总产量为_2某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，那么预计2004年的产量将是_教师演示课件，给出题目学生口答，老师点评。二、探索新知两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?（解略）【思考】经过计算，你

23、能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状态？学生分组、讨论解答。选代表展示解答过程，并讲解解题过程和应注意问题教师演示问题，诱导解答，总结规律。三、反馈练习 1某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率2某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率四、应用拓展例1：某商场礼品柜台春节期间购进大

24、量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元? 分析：总利润=每件平均利润总件数设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+100） 解：设每张贺年卡应降价x元 则（0.3-x）（500+）=120 解得：x=0.1 答：每张贺年卡应降价0.1元例2：某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1

25、元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润 （2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?（解略）五、小结作业通过本课的学习，大家有什么新的收获和体会？作业：教学后记 第二十二章 一元二次方程课题： 一元二次方程总结与提升 学习目标： 1、理解并掌握一元二次方程的有关概念。2、能根据不同的一元二次方程的特点，选用恰当的方法求解，使解题过程简单合理。3、能根椐一元二次方程根的判别式判别方程根的情况。

26、课时：1课时教师活动：1、指导学生课前认真阅读教材，整理与疏导与本章相关的知识。2、根据学案指导学生认真搞好课前的预习工作，要求每位同学教认真完成好每一个内容。3、对学习小组进行任务分工，上课时重点解决本组问题并上台展示，任务分工：T1 -1-1 ，T2-1-2T3-1-3 T4-2-1T5-2-2 T6-2-3T7-2-4 T8-2-54、请各小组长利用课余时间认真检查预习情况，切实督促学困生的学习，及时查漏补缺。 5、教学中要切实注意适时点拨。提示：由根的判别式来解决。这是典型的动点问题，是考的热点问题，动点问题的关键是弄清点的运动特征，“动中求静”。分析：若设衬衫每件降价格x元，则每件衬衫的售价为_元，每件衬衫的利润是_元，衬衫的销量