重庆中考数学24题专题

1、重庆中考几何一、有关几何的基本量：线段、角度、全等、面积、四边形性质1、如图，在直角梯形abcd中，adbc，abc=90，e为ab延长线上一点，连接ed，与bc交于点h过e作cd的垂线，垂足为cd上的一点f，并与bc交于点g已知g为ch的中点，且beh=heg（1）若he=hg，求证：ebhgfc；（2）若cd=4，bh=1，求ad的长（1）证明：he=hg，heg=hge，hge=fgc，beh=heg，beh=fgc，g是hc的中点，hg=gc，he=gc，hbe=cfg=90ebhgfc；（2）解：过点h作hieg于i，g为ch的中点，hg=gc，efdc，hief，hig=gfc=9

2、0，fgc=hgi，gihgfc，ebheih（aas），fc=hi=bh=1，ad=4-1=32、已知，rtabc中，acb=90，cab=30分别以ab、ac为边，向形外作等边abd和等边ace（1）如图1，连接线段be、cd求证：be=cd；（2）如图2，连接de交ab于点f求证：f为de中点证明：（1）abd和ace是等边三角形，ab=ad，ac=ae，dab=eac=60，dab+bac=eac+bac，即dac=bae，在dac和bae中， ac=ae dac=bae ad=ab ，dacbae（sas），dc=be；（2）如图，作dgae，交ab于点g，由eac=60，cab=3

3、0得：fae=eac+cab=90，dgf=fae=90，又acb=90，cab=30，abc=60，又abd为等边三角形，dbg=60，db=ab，dbg=abc=60，在dgb和acb中， dgb=acb dbg=abc db=ab ，dgbacb（aas），dg=ac，又aec为等边三角形，ae=ac，dg=ae，在dgf和eaf中， dgf=eaf dfg=efa dg=ea ，dgfeaf（aas），df=ef，即f为de中点3、如图，在直角梯形abcd中，addc，abdc，ab=bc，ad与bc延长线交于点f，g是dc延长线上一点，agbc于e（1）求证：cf=cg；（2）连接d

4、e，若be=4ce，cd=2，求de的长解答：（1）证明：连接ac，dcab，ab=bc，1=cab，cab=2，1=2；adc=aec=90，ac=ac，adcaec，cd=ce；fdc=gec=90，3=4，fdcgec，cf=cg（2）解：由（1）知，ce=cd=2，be=4ce=8，ab=bc=ce+be=10，在rtabe中，ae= ab2-be2 =6，在rtace中，ac= ae2+ce2 =由（1）知，adcaec，cd=ce，ad=ae，c、a分别是de垂直平分线上的点，deac，de=2eh；（8分）在rtaec中，saec= aece= aceh，eh= = =de=2e

5、h=2=4、如图，ac是正方形abcd的对角线，点o是ac的中点，点q是ab上一点，连接cq，dpcq于点e，交bc于点p，连接op，oq；求证：（1）bcqcdp；（2）op=oq证明：四边形abcd是正方形，b=pcd=90，bc=cd，2+3=90，又dpcq，2+1=90，1=3，在bcq和cdp中， b=pcd bc=cd 1=3 bcqcdp （2）连接ob由（1）：bcqcdp可知：bq=pc，四边形abcd是正方形，abc=90，ab=bc，而点o是ac中点，bo=ac=co，4=abc=45=pco，在bcq和cdp中， bq=cp 4=pco bo=coboqcop，oq=

6、opabdecf5、在等腰梯形abcd中，adbc，ab=ad=cd,abc=60,延长ad到e,使de=ad,延长dc到f，使dc=cf,连接be、bf和ef.求证：abecfb;如果ad=6,tanebc的值.解：（1）证明：连结ce，在bae与fcb中， ba=fc，a=bcf， ae=bc，baefcb；（2）延长bc交ef于点g，作ahbg于h，作ambg，baefcb，aeb=fbg，be=bf，bef为等腰三角形，又aebc，aeb=ebg，ebg=fbg，bgef，amg=egm=aeg=90，四边形amge为矩形，am=eg，在rtabm中，am=absin60=6 = ，e

7、g=am=，bg=bm+mg=62+6cos60=15，tanebc=6、如图，在梯形abcd中，adbc，c=90，e为cd的中点，efab交bc于点f（1）求证：bf=ad+cf；（2）当ad=1，bc=7，且be平分abc时，求ef的长（1）证明： 如图（1），延长ad交fe的延长线于nnde=fce=90 den=fec de=ecndefce dn=cf abfn，anbf四边形abfn是平行四边形bf=ad+dn=ad+fc（2）解：abef，abn=efc，即1+2=3，又2+bef=3，1=bef，bf=ef，1=2，bef=2，ef=bf，又 bc+ad=7+1 bf+cf+

8、ad=8而由（1）知cf+ad=bf bf+bf=82bf=8，bf=4，bf=ef=47、已知：ac是矩形abcd的对角线，延长cb至e，使ce=ca，f是ae的中点，连接df、cf分别交ab于g、h点（1）求证：fg=fh；（2）若e=60，且ae=8时，求梯形aecd的面积 （1）证明：连接bfabcd为矩形abbc abad ad=bcabe为直角三角形f是ae的中点af=bf=befab=fbadaf=cbf ad=bc, daf=cbf ,af=bf , dafcbfadf=bcffdc=fcdfgh=fhgfg=fh；（2）解：ac=cee=60ace为等边三角形ce=ae=8a

9、bbcbc=be=4根据勾股定理ab=梯形aecd的面积=(ad+ce)cd=(4+8)=8、如图，直角梯形abcd中，adbc，bcd=90，且cd=2ad，tanabc=2，过点d作deab，交bcd的平分线于点e，连接be（1）求证：bc=cd；（2）将bce绕点c，顺时针旋转90得到dcg，连接eg求证：cd垂直平分eg；（3）延长be交cd于点p求证：p是cd的中点证明：（1）延长de交bc于f，adbc，abdf，ad=bf，abc=dfc在rtdcf中，tandfc=tanabc=2， =2，即cd=2cf，cd=2ad=2bf，bf=cf，bc=bf+cf=cd+ cd=cd即

10、bc=cd（2）ce平分bcd，bce=dce，由（1）知bc=cd，ce=ce，bcedce，be=de，由图形旋转的性质知ce=cg，be=dg，de=dg，c，d都在eg的垂直平分线上，cd垂直平分eg（3）连接bd，由（2）知be=de，1=2abde，3=21=3adbc，4=dbc由（1）知bc=cd，dbc=bdc，4=bdp又bd=bd，badbpd(asa)dp=adad=cd，dp=cdp是cd的中点9(2011南岸二诊)如图，已知点是正方形的对角线上一点，过点作，交 于点，交于点，交的延长线于点，连接df（1）若，求的长；（2）求证：.10如图，正方形cgef的对角线ce

11、在正方形abcd的边bc的延长线上（cgbc），m是线段ae的中点，dm的延长线交ce于n（1）线段ad与ne相等吗？请说明理由；（2）探究：线段md、mf的关系，并加以证明11、如图，梯形abcd中，adbc，ab=dc=10cm，ac交bd于g，且agd=60，e、f分别为cg、ab的中点（1）求证：agd为正三角形；（2）求ef的长度解答：（1）证明：连接be，梯形abcd中，ab=dc，ac=bd，可证abcdcb，gcb=gbc，又bgc=agd=60agd为等边三角形，（2）解：be为bcg的中线，beac，在rtabe中，ef为斜边ab上的中线，ef=ab=5cm12、如图，梯形

12、abcd中，adbc，de=ec，efab交bc于点f，ef=ec，连接df（1）试说明梯形abcd是等腰梯形；（2）若ad=1，bc=3，dc=，试判断dcf的形状；（3）在条件（2）下，射线bc上是否存在一点p，使pcd是等腰三角形，若存在，请直接写出pb的长；若不存在，请说明理由解答：解：（1）证明：ef=ec，efc=ecf，efab，b=efc，b=ecf，梯形abcd是等腰梯形；（2）dcf是等腰直角三角形，证明：de=ec，ef=ec，ef=cd，cdf是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），梯形abcd是等腰梯形，cf=（bcad

13、）=1，dc=，由勾股定理得：df=1，dcf是等腰直角三角形；（3）共四种情况：dfbc，当pf=cf时，pcd是等腰三角形，即pf=1，pb=1；当p与f重合时，pcd是等腰三角形，pb=2；当pc=cd=（p在点c的左侧）时，pcd是等腰三角形，pb=3；当pc=cd=（p在点c的右侧）时，pcd是等腰三角形，pb=3+故共四种情况：pb=1，pb=2，pb=3，pb=3+（每个1分）13在梯形abcd中，adbc，ab=cd，且dead于d，ebc=cde,ecb=45求证：ab=be；延长be，交cd于f若ce=，tancde=，求bf的长13证明：延长de，交bc于gdead于d，

14、ade=90又adbc， dgc=bge=ade=90，而ecb=45, egc是等腰直角三角形，eg=cg 在beg和dcg中，begdcg(aas) be=cd=ab连结bdebc=cdeebc+bcd =cde+bcd=90，即bfc=90ce=，eg=cg=1又tancde=，dg=3begdcg，bg=dg=3cd=be=法一：，法二：经探索得，begbfc， abcdefg14如图，直角梯形中，的垂直平分线交于，交的延长线于 求证：(1)；(2)证明：(1) (2)连接af，ef是ab的中垂线由(1)知 即：二、有关“截长补短”题型1、在中，对角线延长线上一点且为等边三角形，、的平

15、分线相交于点，连接，连接。（1）若的面积为，求的长；（2）求证：。2.如图，在正方形abcd中，f是cd的中点，e是bc边上的一点，且af平分dae(1)若正方形abcd的边长为4,be=3,求ef的长？abcdfe(2)求证：ae=ec+cd2：解：（1）4分（2）证明：过f作fhae于haf平分dae，d=90，fhae， daf=eaf，fh=fd，在ahf与adf中，af为公共边，daf=eaf，fh=fdahfadf（hl）ah=ad，hf=df 又df=fc=fh，fe为公共边，fhefcehe=ceae=ah+he，ah=ad=cd，he=ce，3如图，直角梯形abcd中，adb

16、c，b=90，d=45（1）若ab=6cm，求梯形abcd的面积；（2）若e、f、g、h分别是梯形abcd的边ab、bc、cd、da上一点，且满足ef=gh，efh=fhg，求证：hd=be+bf分析：（1）连ac，过c作cmad于m，在rtabc中，利用三角函数求出bc，在rtcdm中，d=45，利用等腰直角三角形的性质得到dm=cm=ab=6，则ad=6+8=14，然后根据梯形的面积公式计算即可；（2）过g作gnad，则dn=gn，由adbc，得bfh=fhn，而efh=fhg，得到bfe=ghn，易证rtbefrtngh，则be=gn，bf=hn，经过代换即可得到结论解答：解：（1）连a

17、c，过c作cmad于m，如图，在rtabc中，ab=6，sinacb=，ac=10，bc=8，在rtcdm中，d=45，dm=cm=ab=6，ad=6+8=14，梯形abcd的面积=（8+14）6=66（cm2）；（2）证明：过g作gnad，如图，d=45，dng为等腰直角三角形，dn=gn，又adbc，bfh=fhn，而efh=fhg，bfe=ghn，ef=gh，rtbefrtngh，be=gn，bf=hn，dh=hn+dn=hn+ng=bf+be4、如上图，梯形abcd中，abcd，ad=dc=bc，dab=60，e是对角线ac延长线上一点，f是ad延长线上的一点，且ebab，efaf（1

18、）当ce=1时，求bce的面积；（2）求证：bd=ef+ce考点：梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理。专题：计算题。分析：（1）先证明bce=90，cbe=30，bce为直角三角形，又ce=1，继而求出be的长，再根据三角形的面积公式求解即可；（2）过e点作emdb于点m，四边形fdme是矩形，fe=dm，bme=bce=90，bec=mbe=60，bmeecb，bm=ce，继而可证明bd=dm+bm=ef+ce解答：（1）解：ad=cd，dac=dca，dcab，dca=cab，dcab，ad=bc，dab=cba=60，acb=180（cab+cba）=90，bce=180acb=90

19、，beab，abe=90，cbe=abeabc=30，在rtbce中，be=2ce=2，（5分）（2）证明：过e点作emdb于点m，四边形fdme是矩形，fe=dm，bme=bce=90，bec=mbe=60，bmeecb，bm=ce，bd=dm+bm=ef+ce（10分）5已知，如图，点e是ab上的点，连接ed，过d作于f. (1)若，求梯形abcd的周长.(2)求证：；5解： 在中： 由题得，四边形abfd是矩形 延长eb至g，使bg=cf，连接cg 6如图，正方形abcd的对角线相交于点o点e是线段do上一点，连结ce点f是oce的平分线上一点，且bfcf与co相交于点m点g是线段ce上

20、一点，且co=cgabdcoefgm24题图（1）若of=4，求fg的长；（2）求证：bf=og+cf6（1）解：cf平分oce，ocf=ecf（1分）又oc=cg，cf=cf，ocfgcf（3分）fg=of=4，即fg的长为4（4分）（2）证明：在bf上截取bh=cf，连结oh（5分）abcdegfmoh24题答图正方形abcd已知，acbd，dbc=45，boc=90，ocb=180bocdbc=45ocb=dbcob=oc（6分）bfcf，bfc=90obh=180bocomb=90omb，ocf=180bfcfmc=90fmc，且omb=fmc，obh=ocf（7分）obhocfoh=

21、of，boh=cof（8分）boh+hom=boc=90，cof+hom=90，即hof=90ohf=ofh=（180hof）=45ofc=ofh+bfc=135ocfgcf，gfc=ofc=135，ofg=360gfcofc=90fgo=fog=（180ofg）=45gof=ofh，hof=ofgogfh，ohfg，四边形ohfg是平行四边形og=fh（9分）bf=fh+bh，bf=og+cf7、如图，在正方形中，点是的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，过点作交于点，连接。（1）若，求的长；（2）求证：。 8.如图，在梯形abcd中，adbc，abc=90，dgbc于g,bhdc于h，

22、ch=dh，点e在ab上，点f在bc上，并且efdc。(1)若ad=3，cg=2，求cd;(2)若cf=ad+bf，求证：ef=cd.8. (1)解：连接bd 1分 adbc, abc=90, dgbc四边形abgd是矩形ab=dg bg=ad=3bc=3+2=5bhdc，ch=dh，bd=bc=5在rtabd中，ab=dg=4在rtcdg中,cd= 5分 (2)证明：延长fe、da相交于m 6分 efdc, adcf四边形cdmf是平行四边形cf=md cf=ad+bf, md=ad+am am=bf ambf m=bfe又 aem=bef aembef 8分 me=ef=mf 四边形cdm

23、f是平行四边形 mf=cd ef=cd9、正方形abcd中，点e在cd延长线上，点f在bc延长线上，eaf=45。请问现在ef、de、bf又有什么数量关系？变形a解：（简单思路）解：数量关系为：ef= bf-de.理由如下：在bc上截取bg，使得bg=df，连接ag。由四边形abcd是正方形得ade=abg=90，ad=ab又de=bgadeabg（sas）ead=gab， ae=ag，由四边形abcd是正方形得dab=90=dag+gab=dag+ead=gaegaf=gae-eaf=90-45=45gaf=eaf=45又ag=ae af=afeafgaf（sas） ef=gf=bf-bg=

24、bf-de10、如图，在等腰梯形abcd中，adbc，ab=cd，bgcd于点g（1）若点p在bc上，过点p作peab于e，pfcd于f，求证：pe+pf=bg（2）若ad=4，bc=6，ab=2，求bg的长解：（1）作pmbg于mbgcd，pfcd，pmbg，四边形pmgf为矩形，pf=mgabcd是等腰梯形，abc=cpmbg，cdbg，pmcdmpb=c=ebp又bep=pmb=90，bp=pb，beppmb，pe=bmpe+pf=bm+mg=bg；（2）过点d作dnab交bc于点n则abnd是平行四边形，dn=ab=dc=4bc=6，ad=4，nc=4dnc是等边三角形，c=60bg=

25、bcsin60=632=3311、正方形abcd中，点e在dc延长线上，点f在cb延长线上，eaf=45。请问现在ef、de、bf又有什么数量关系？12、已知梯形abcd中，adbc，ab=bc=dc，点e、f分别在ad、ab上，且fce=1/2bcd（1）求证：bf=ef-ed；（2）连接ac，若b=80，dec=70，求acf的度数 （1）证明：fc=fc，ec=ec，ecf=bcf+dce=ecf，fcefce，ef=ef=df+ed，bf=ef-ed；（2）解：ab=bc，b=80，acb=50，由（1）得fec=dec=70，ecb=70，而b=bcd=80，dce=10，bcf=3

26、0，acf=bca-bcf=2013.如图，p为正方形abcd边bc上任一点，bgap于点g，在ap的延长线上取点e，使ag=ge，连接be，ce（1）求证：be=bc；（2）cbe的平分线交ae于n点，连接dn，求证： ；（3）若正方形的边长为2，当p点为bc的中点时，请直接写出ce的长为 （1）证明：bgap，ag=ge，bg垂直平分线段ae，ab=be，在正方形abcd中，ab=bc，be=bc；（2）证明：ab=be，bag=beg，bgap，abc=90，bag=pbg=beg，bn为cbe的平分线，ebn=cbn，pbg+cbn=ebn+beg，即bng=ngb=45，bng是等腰

27、直角三角形，bn= gn，连接cn、ac，则cne=2（ebn+beg）=90，又adc=90，a、d、c、n四点共圆，cnd=cad=45，and=45，过d作dmae于点m，则dnm为等腰直角三角形，dn= dm，dam+adm=90，dam+bag=90，adm=bag，在abg和dam中，abgdam（aas），ag=dm，bn+dn= gn+ ag= （gn+ag）= an；（3）根据勾股定理，ap= = = ，bg= = ，bp=pc，bgp=cnp=90，bpgcnp（aas），cn=bg，ce= cn= = 14、正方形abcd中，对角线ac与bd交于o，点e在bd上，ae平分dac。求证：ac/2=ad-eo（2）解：（简单思路）过e作egad于g四边形abcd是正方形adc=90，bd平分adc，acbdadb=adc/2=45ae平分dac，eoac，egadeao=eag，dge=aoe=age=90又ae=ae，aeoaeg（aas）ag=ao，eo=eg又adb=45，dge=90dge为等腰直角三角形dg=eg=eo ad-dg=ad-eo=ag=ao=ac/215如图，正