专升本高等数学测试题(答案)

1、最新 料推荐专升本高等数学测试题1. 函数 y1 sin x 是（ D）（ A） 奇函数；（ B） 偶函数；（ C） 单调增加函数；（D） 有界函数解析因为1sin x1，即 01 sin x2 ,所以函数 y 1sin x 为有界函数2.若 f (u) 可导，且 yf (ex ) ，则有（B）；（ A ） dyf (ex )dx ；（ B） dyf (ex )exdx ；（ C） dyf (ex )exdx ；（ D） dy f (ex ) exdx 解析yf (ex ) 可以看作由yf (u) 和 uex复合而成的复合函数由复合函数求导法yf(u) exf (u) ex ，所以dyy dx

2、f (ex )ex dx 3.e x dx =(B );0(A) 不收敛 ;(B)1;(C) ;(D)0.解析0e xdxe x01 104. y2 yy(x1)ex 的特解形式可设为（A）；(A) x2 (axb)e x ；(B)x(axb)ex ；(C) (a xbx(D) (ax b) x2) e；解析特征方程为r 22r10 ，特征根为r1 = r2 =1=1 是特征方程的特征重根，于是有 y px2 (axb)ex 5.x 2y 2 dxdy( C ) ，其中D： x2y2 4；1D(A)2 42 d r ；(B)2 4dr0dr d r0112 22 d r ；2 2(C)dr(D

3、)0dr d r011；解析此题考察直角坐标系下的二重积分转化为极坐标形式当xr cos时 ， dx dyrd r d ， 由 于 2y24D1 r2021x，表 示 为，yr sin， 故x 2y2 dxdyr r drd222 dr drDD011最新 料推荐6.函数 y =1arcsin( x1) 的定义域3x22解由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于 1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即3x0 ,3x3 ,3x 20 ,推得x11,0x4 ,2即 0 x3 , 因此，所给函数的定义域为0 ,3) .7. 求

4、极限 lim2x 2=x 22x解：原式 = lim( 2x2)( 2x2 )x2= limx2 21=.4(2x)( 2x2)1x 2（ 恒等变换 之后“ 能代就代 ”）xsint dt8. 求极限 lim1=x 11 cosx解： 此极限是“ 0 ”型未定型，由洛必达法则，得0xsint dtxsint dt)1(sinx11lim= lim1=lim sinlim ()x 11cosxx 1(1cosx)x 1x 1xxt,在点（ 1， 1）处切线的斜率9.曲线t 3y,解：由题意知：1 t ,t 1 ,1t 3,dyt 1(t 3 )t 13t 2t 13 ,dx(t )曲线在点（1，

5、 1）处切线的斜率为 310. 方程 y 2 yy0,的通解为2最新 料推荐解： 特征方程 r 22r10 ,特征根 r1r21 ,通解为 y(C1C 2 x)ex .11. 交错级数(1) n111)的敛散性为n1n(n（ 4）( 1) n 11=11),n 1n(n1)n 1 n(n而级数1收敛，故原级数绝对收敛 .1 n(nn1)12. lim (11x. （第二个重要极限 ）x2 )x1 ) x (11) x1 ) x1 ) x 1解一原式 = lim (1lim (1lim (1= ee 11，xxxx 0xxx12 ) (x2 ) (1) = e0解二原式 = lim (1x1xx

6、11ln(1 x)13. lim x2x 0 x型 ， 不 能 直 接 用 洛 必 达 法 则 ， 通 分 后 可 变 成 0 或解 所 求 极 限 为型 .0xln(1x)1111xln(1x)limlim1lim x22xx 0 xx2x 0x 0lim1x1lim11.x0 2x(1x)x0 2(1x)214.设 f ( x)xex，求 f ( x) .解： 令 yxe x,两边取对数得：ln yex ln x ,两边关于 x 求导数得：1yexln xexyxyy(exexln x)x即yx ex(e x ln xe x ) .x15.求 f ( x)x3+ 3x 2 在闭区间5,5

7、上的极大值与极小值，最大值与最小值.3最新 料推荐解： f ( x) 3x 26x ,令 f ( x) 0 ,得 x10, x22 ,f (x) 6x 6 ,f (0) 6 0 ,f ( 2)6 0 , f (x) 的极大值为f (2)4，极小值为 f (0)0 .f (5)50,f (5).2 0 0 比较 f (5), f (2), f (0),f (5) 的大小可知：f ( x) 最大值为200， 最小值为50 .16.求不定积分1dx .11x解： 令 1xt , 则 xt 21 ,dx2tdt ,于是原式 =2tdt = 2t11 dt = 2dtdt = 2t2 ln 1 t C1

8、t1t1t= 2 1 x 2 ln 11 x C .17.求定积分41x dx .0 1x解 :（ 1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限令tx， xt 2， dx2tdt ，当 x0时， t0 ，当 x4 时， t2 ，于是4x dx =21t2tdt =22t4dt10 1t 410 1x0t4t t 24ln 1244 ln 3.t018. 求方程 (exyex )dx(e x yey )d y0 的通解；解 整理得ex (ey1)dxey (ex1)dy ，用分离变量法，得e ydyexey1exdx ，1两边求不定积分，得ln(e y1)ln(e x1) ln C ，4最新 料

9、推荐于是所求方程的通解为ey1C，ex1即eyC11ex19. u exsin xy , 求u,u.x (0,1)y (1, 0)解： 因 uex sin xyex cos xyy ex (sin xy y cos xy) ,xuex cos xyx,yue0 (sin 0cos0)1,x (0 ,1)ue(cos 01)e .y (1,0)224y 2fx, y dx 的积分区域 D 并交换积分次序 .20.画出二次积分0dy24y20 y2,y解： D ：4 y 2y22x24的图形如右图，由图可知，D 也可表为0x4,O 2 4x0 y4 x x2 ,所以交换积分次序后，得4x04xx2f xydy.0 d,21.求平行于y 轴，且过点A (1, 5 ,1) 与 B (3 , 2 ,3) 的平面方程 .解一利用向量运算的方法。关键是求出平面的法向量n .因为平面平行于y 轴，所以 nj .又因为平面过点A 与B ，所以必有 nAB .于是，取 n = jAB ,ijk而 AB =2 ， 7， 4 ，所以n = 010= 4i2k ，274因此，由平面的点法式方程，得4( x1)0( y5)2( z 1)0，即2xz 3 0.解二 利用平面的一般式方程。设所求的平面方程为A