版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、3 高斯公式与斯托克斯公式,高斯公式与斯托克斯公式都是格林公式的 推广. 格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系; 高斯公式建立了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的第二型曲面积分之间的关系; 斯托克斯公式建立了空间曲面上的第二型曲面积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系.,返回,一、高斯公式,二、斯托克斯公式,一、高斯公式,续偏导数, 则,其中 S 取外侧.(1) 式称为高斯公式.,这些结果相加便得到高斯公式 (1).,先设V是一个 xy 型区域,即其边界曲面 S 由曲面,证明其余两式:,组成(图22-7), 其中,于是按三重积分的计算方,法,有,从
2、而得到,对于不是 xy 型区域的情形, 一般可用有限个光滑,积为零, 所以,曲面将它分割成若干个 xy 型区域来讨论.,例1 计算,其中 S 是边长为 a 的正立方体表面并取外侧.,解 应用高斯公式,于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域 V 的体,积的公式:,例2 计算,上侧.,解 由于曲面不是封闭的,不能直接应用高斯公式.,为了能使用高斯公式以方便计算,可补充一块平面,闭曲面.于是,而,因此,设,二、斯托克斯公式,先对双侧曲面 S 的侧与其边界曲线 L 的方向作如下,规定:设有人站在 S 上指定的一侧,若沿 L 行走,指,定的侧总在人的左方,则人前进的方向为边界线 L,的正向;若沿 L 行
3、走,指定的侧总在人的右方,则人,前进的方向为边界线 L 的负向.这个规定也称为右,手法则,如图 22-9 所示.,定理22.4 设光滑曲面 S 的边界 L 是按段光滑的连,续曲线.若函数 P, Q, R 在 S ( 连同 L ) 上连续,且有,一阶连续偏导数,则有斯托克斯公式如下:,其中 S 的侧与 L 的方向按右手法则确定.,证 先证,其中曲面 S 由方程 确定,它的正侧法线方,(3),公式有,所以,所以,因为,将 (3), (4), (5) 三式相加,即得公式 (2) .,光滑曲线把 S 分割为若干小块,使每一小块能用这,综合上述结果,便得到所要证明的(3)式.,为了便于记忆,斯托克斯公式
4、也常写成如下形式:,种形式来表示. 因而这时 (2) 式也能成立.,与各坐标面的交线,取图 22-8,所示的方向.,解 应用斯托克斯公式推得:,车胎状的环形区域则是非单连通的.,与平面曲线积分相仿,空间曲线积分与路线的无关,性也有下面相应的定理.,不经过 V 以外的点而连续收缩于属于 V 的一点.例,如:两同心球面所界定的区域仍是单连通的;而形如,区域 V 称为单连通的,如果 V 内任一封闭曲线皆可,注 上述之单连通,又称为“按曲面单连通”.其意,义是: 对于 V 内任一封闭曲线 L, 均能以 L 为边界,绷起一个位于 V 中的曲面.,与路线无关;,(i) 对于 内任一按段光滑的封闭曲线 L 有,(ii) 对于 内任一按段光滑的封闭曲线 L,曲线积分,个条件是等价的:,Q, R 在 上连续,且有一阶连续偏导数,则以下四,例5 验证曲线积分,与路线无关, 并求被积表达式的原函数,这个定理的证明与定理 21.12 相仿,这里不重复了.,在 内处处成立.,即,所以曲线积分与路线无关.现
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 外科感染病人的护理专家讲座
- 高考生物速胜解题技巧精讲精练(附高考生物试题专题归类)课件
- cnc检讨书模板范文
- 诊疗学实验诊疗学概论专家讲座
- OHSE管理和急救专题知识专家讲座
- 河北机械会展展厅规划方案
- 骨骼肌收缩特性和收缩形式的观测
- 人教版六年级下册数学期中测试卷【夺分金卷】
- 生产安全事故综合应急预案
- 如何进行校园安全管理
- 足球《接球-运球-射门》教案
- 兰州大学 数据结构 命题作业 二叉树(完整答案)
- 高中课堂教学评价手册评价手册
- XX律师事务所XX银行综合法律服务方案
- 【课题研究设计与论证报告】深度学习视角下幼儿园自主游戏支持策略的实践研究
- YY 9706.210-2021医用电气设备第2-10部分:神经和肌肉刺激器的基本安全和基本性能专用要求
- GB/T 2423.4-2008电工电子产品环境试验第2部分:试验方法试验Db:交变湿热(12h+12h循环)
- GB/T 11766-2008小米
- 2023年山东省春季高考财经类专业知识试题
- PPT-单元四选择结构程序设计
- 情绪万花筒课件-心理健康
评论
0/150
提交评论