初中几何三角形五心及定理性质_第1页
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文档简介

1、最新资料推荐初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理,外心定理,垂心定理,内心定理,旁心定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。 三中线交于一点可用燕尾定理证明,十分简单。(重心原是一个物理概念,对于等厚度的质量均匀的三角形薄片,其重心恰为此三角形三条中线的交点,重心因而得名)重心的性质:1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为21。2、重心和三角形任意两个顶点组成的3 个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。3、重心到三角形3 个顶点距离的平方和最小。4、在平面

2、直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数,即其重心坐标为( X1+X2+X3 )/3,( Y1+Y2+Y3 )/3)。5. 以重心为起点,以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。外心定理1最新资料推荐三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心。外心的性质:1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为该三角形的外心。2、若 O 是 ABC 的外心,则 BOC=2 A( A 为锐角或直角)或 BOC=360 -2A( A 为钝角)。3、当三角形为锐角三角形时, 外心在三角形内部; 当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部;当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合。5、外心到

3、三顶点的距离相等垂心定理图 1图 2三角形的三条高(所在直线)交于一点,该点叫做三角形的垂心。2最新资料推荐垂心的性质:1、三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7 个点可以得到 6 个四点圆。2、三角形外心O、重心 G 和垂心 H 三点共线,且 OG GH=1 2。(此直线称为三角形的欧拉线(Euler line )3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2 倍。4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。推论:1. 若 D 、 E 、 F 分别是ABC 三边的高的垂足,则1 = 2 。(图 1)2. 三角形的垂心是其垂足三角形的内心。 (图 1)3. 若 D 、 E 、 F 分别是AB

4、C 三边的高的垂足,则1 = 2 。(图 2)定理证明已知:ABC中,AD、BE 是两条高, AD、BE 相交于点 O,连接 CO 并延长交 AB 于点 F ,求证: CFAB证明:连接 DE ADB= AEB=90 度 A、B、D、E 四点共圆 ADE= ABE3最新资料推荐又 ODC= OEC=90 度 O、D、C、E 四点共圆 ACF= ADE= ABE又 ABE+ BAC=90 度 ACF+ BAC=90 度 CFAB因此,垂心定理成立内心定理三角形内切圆的圆心,叫做三角形的内心。内心的性质:1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。2、直角三角形的内心到边的距离等于两

5、直角边的和与斜边的差的二分之一。3、P 为ABC所在空间中任意一点, 点 0 是ABC内心的充要条件是: 向量P0=(a 向量 PA+b向量 PB+c向量 PC)/(a+b+c).4、O 为三角形的内心, A、B、C 分别为三角形的三个顶点,延长AO 交 BC边于 N,则有 AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC4最新资料推荐5、(欧拉定理 )ABC 中, R 和 r 分别为外接圆为和内切圆的半径,O 和 I 分别为其外心和内心,则OI2=R2-2Rr 6、(内角平分线分三边长度关系) ABC 中,0 为内心, A 、B、 C 的内角平分线分别交 BC、AC、AB于 Q、P、

6、R, 则 BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.7、内心到三角形三边距离相等。旁心定理三角形的旁切圆 (与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆)的圆心,叫做三角形的旁心。旁心的性质:1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心。旁心一定在三角形外。2、任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心。3、旁心到三角形三边的距离相等。5最新资料推荐如图,点 M 就是 ABC 的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心,而且一定在三角形外。附:三角形的中心:只有正三角形才有中心,这时重心,内心,外心,垂心,四心合一。巧记诗歌三角形五心歌(重外垂内旁)三角形有五颗心,重外垂内和旁心,五心性质很重要,认真掌握莫记混重 心三条中线定相交,交点位置真奇巧,交点命名为 “重心 ”,重心性质要明了,重心分割中线段,数段之比听分晓;长短之比二比一,灵活运用掌握好外 心三角形有六元素,三个内角有三边作三边的中垂线,三线相交共一点此点定义为外心,用它可作外接圆内心外心莫记混,内切外接是关键垂 心三角形上作三高,三高必于垂心交高线分割三角形,出现直角三对整,直角

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