高中数学讲义微专题53《求数列的通项公式》讲义_第1页
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文档简介

1、微专题53 求数列的通项公式一、基础知识求通项公式的方法1、累加(累乘法)(1)累加法:如果递推公式形式为:,则可利用累加法求通项公式 等号右边为关于的表达式,且能够进行求和 的系数相同,且为作差的形式例:数列满足:,且,求解: 累加可得: (2)累乘法:如果递推公式形式为:,则可利用累加法求通项公式例:已知数列满足:,且,求解: 2、构造辅助数列:通过对递推公式进行变形,变形为相邻项同构的特点,进而将相同的结构视为一个整体,即构造出辅助数列。通过求出辅助数列的通项公式,便可算出原数列的通项公式(1)形如的形式:通常可构造出等比数列,进而求出通项公式。例:数列中,求数列的通项公式思路:观察到与

2、有近似3倍的关系,所以考虑向等比数列方向构造,通过对与分别加上同一个常数,使之具备等比关系,考虑利用待定系数法求出解:设即对比,可得是公比为的等比数列 (2)形如,此类问题可先处理,两边同时除以,得,进而构造成,设,从而变成,从而将问题转化为第(1)个问题例:在数列中,解:是公差为2的等差数列小结:对于以上两个问题,还有一个通用的方法:对于形如(其中为关于的表达式),可两边同时除以,。设,即,进而只要可进行求和,便可用累加的方法求出,进而求出。以(1)中的例题为例: 设,则 (3)形如:,可以考虑两边同时除以,转化为的形式,进而可设,递推公式变为,转变为上面的类型求解例:已知在数列中,且解:

3、累加可得:(4)形如,即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数,则可根据两边项的系数对中间项进行拆分,构造为:的形式,将,进而可转化为上面所述类型进行求解例:已知数列中,且,求解:设,则,且为公差是4的等差数列 4、题目中出现关于的等式:一方面可通过特殊值法(令)求出首项,另一方面可考虑将等式转化为纯或纯的递推式,然后再求出的通项公式。例:已知数列各项均为正数,求解:两式相减,可得: 是公差为1的等差数列在中,令,可得5、构造相减:当所给递推公式无法直接进行变形,则可考虑根据递推公式的形式再构造出下一组相邻项的递推公式,通过两式相减可构造出新的递推公式,再尝试解决。尤其是处理递推公式一侧有求和

4、特征的问题,这种做法可构造出更为简单的递推公式。(详见例5,例8)以上面的一个例子为例:数列中,求数列的通项公式解: 可得: 是公比为的等比数列 累加后可得: 6、先通过数列前几项找到数列特点,从而猜出通项公式,再利用数学归纳法证明(详见数学归纳法)例1:在数列中,求数列的通项公式思路:观察递推公式中的特点,两边同时除以可得,进而可将视为一个整体,利用累加法即可得到的表达式,从而求出解:即则有 累加可得:即例2:已知在数列中,则的通项公式为_思路:在本题中很难直接消去,所以考虑用进行表示,求出之后再解出解: 当时,整理可得: 为公差为2的等差数列 点评:在同时存在的等式中, 例3:数列满足,则

5、_思路:只从所给递推公式很难进行变形,所以考虑再构造一个递推公式并寻找关系:即,两式相减可得:,从而可得在中,奇数项和偶数项分别可构成公差为2的等差数列,所以答案:例4:已知数列满足:,且,则数列的通项公式为_思路:观察到递推公式的分子只有,所以考虑两边同取倒数,再进行变形:,从而找到同构特点,并设为辅助数列:,求出通项公式后即可解出解: 设,则,而 为公比是的等比数列 即例5:已知数列为正项数列,且,求解: 可得:,在已知等式中令,可得: ,满足上式 两式相减可得: , 为公差是2的等差数列,由可解得:例6:已知数列的各项均为正数,且,求思路:所给为的关系,先会想到转为递推公式,两式相减可得

6、:,很难再往下进行。从而考虑化为的递推式:时,从而为公差是1的等差数列,可求出,进而求出解:,当,有 为公差是1的等差数列 在中,令可得:可解得 小炼有话说:在处理的式子时,两种处理方向如果一个没有进展,则立刻尝试另一个方向。本题虽然表面来看消去方便,但通过运算发现递推公式无法再进行处理。所以立刻调转方向,去得到的式子,迂回一下再求出例7:已知数列满足,求的通项公式解:是公差为的等差数列例8:设数列中,则数列的通项公式为_思路:题目中所给的是的递推公式,若要求得,则考虑以作为桥梁得到关于的递推公式:,代入可得:,所以可得为等比数列,且,从而可得:答案:例9:在数列中,求数列的通项解: 例10:设数列满足:,且对于其中任意三个连续的项,都有:,求通项公式思路:由已知条件可得:,观察发现的系数和与相等,所以可将拆为和,从而与配对,将原递推公式转化为:,进而可将视为一个整体,设为,则符合累乘的特点。累乘后可得:,再进行累加即可得到通项公式解: 设,即 即 思路二:本题还可以从递推公式中的“同构入手”,构造辅助数列,此三项具备同构特点,故设,则递推公式变为:,所以为等差数列,其公差可由计算,从

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