等比数列--2013届高考文科数学第一轮考点总复习.ppt

1、1,第三章,数列,2,3.3 等比数列,3,一、等比数列的判定与证明方法 1.定义法:_. 2.等比中项法:_. 3.通项公式法：_. 二、等比数列的通项公式 1.原形结构式：an=_. 2.变形结构式：an=am_.(nm),(常数)，nN*,an2=an-1an+1,n2,nN*,nN*,a1qn-1，nN*,qn-m,4,三、等比数列的前n项和公式 若等比数列an的首项为a1，公比为q， 则Sn=_=_. 四、等比数列的常用性质 1.等比数列an中，m、n、p、qN*，若m+n=p+q，则aman_apaq.(填“”，“=”，“”),=,5,2.等比数列an中，Sn为其前n项和，q为公比

2、，当n为偶数时，S偶=S奇_. 3.公比不为1的等比数列an中，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k_. 五、若a，c同号，则a，c的等比中项为11 _ . 六、等比数列中的解题技巧与经验 1.若an是等比数列，且an0(nN*)，则logaan是 12 _数列，反之亦然.,q,成等比数列,等差数列,6,2.三个数成等比数列可设这三个数为13 _，四个正数成等比数列可设这四个数为14 _. 盘点指南： (常数),nN*;an2=an-1an+1,n2,nN*; nN*; a1qn-1,nN*;qn-m; =;q;成等比数列；11 ; 12 等差数列；13 , a,aq; 14 ,aq,aq3,a

3、,aq,aq,aq3,7,c,8,9,2.已知等比数列an的公比为正数，且a3a9=2a52，a2=1,则a1=( ) 解：设公比为q,由已知得a1q2a1q8=2(a1q4)2,故q2=2. 又因为等比数列an的公比为正数， 所以 故 故选B.,B,10,3. 已知an是等比数列，a2=2,a5= ，则a1a2+a2a3+anan+1=( ) A. 16(1-4-n) B. 6(1-2-n) C. (1-4-n) D. (1-2-n) 解：设数列an的公比为q. 由an是等比数列， 知anan+1也是等比数列且公比为q2. 又a2=2,a5= ，所以a5a2=q3= ，所以q= ,则a1=4

4、. 所以a1a2+a2a3+anan+1= = (1-4-n).故选C.,C,11,1. 已知等比数列an中,a1+an=66,a2an-1=128, Sn=126，求项数n和公比q的值. 解:因为an是等比数列,所以a1an=a2an-1， 所以 解得 或 若a1=2，an=64，则2qn-1=64,所以qn=32q.,题型1 a1，q，n，Sn，an中“知三求二”,第一课时,12,由 解得q=2，于是n=6; 若a1=64，an=2，则64qn-1=2,所以qn= q. 由 解得q= ，n=6. 点评：首项和公比是等比数列中的两个基 本量，求这两个基本量的方法一是利用方程的思想得基本量的方

5、程(组)，然后求解即可；二是利用 求q,利用an=amqn-m求通项公式.,13,在等比数列an中，a3-a1=8，a6-a4=216，Sn=40，求公比q，a1及n. 解：显然公比q1，由已知可得： 解得,14,2. (1)已知数列cn，其中cn=2n+3n，且数列cn+1-pcn为等比数列，求常数p; (2)证明：(1)中数列cn不是等比数列. 解：(1)解法1：因为cn+1-pcn是等比数列， 故有(cn+1-pcn)2=(cn+2-pcn+1)(cn-pcn-1). 将cn=2n+3n代入上式， 得2n+1+3n+1-p(2n+3n)2=2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)2n

6、+3n-p(2n-1+3n-1)，,题型2 等比数列中的证明问题,15,即(2-p)2n+(3-p)3n2=(2-p)2n+1+(3-p)3n+1(2-p)2n-1+(3-p)3n-1， 整理得 (2-p)(3-p)2n3n=0，解得p=2或p=3. 解法2：因为cn+1-pcn是等比数列， 故存在非零常数q使得 对n2都成立. 将cn=2n+3n代入化简得(4-2p-2q+pq)2n-1+(9-3p-3q+pq)3n-1=0, 所以 解得p=3或p=2.,16,解法3：cn+1-pcn=2n+1+3n+1-p2n-p3n， 故c2-pc1=13-5p， c3-pc2=35-13p， c4-p

7、c3=97-35p. 由题意可知(35-13p)2=(13-5p)(97-35p)， 解得p=3或p=2. 当p=2时，cn+1-pcn=3n，符合题意; 当p=3时，cn+1-pcn=-2n，也符合题意. 从而p=3或p=2.,17,(2)要证cn不是等比数列只需证c22c1c3. 事实上，c22=(22+32)2=169, c1c3=(2+3)(23+33)=175, 因此，c22c1c3,故cn不是等比数列. 点评：判断一个数列是等比数列或处理相关问题,基本解法是定义法和等比中项法,如(1)中的解法1和解法2,解法3用了特殊值探路,一般化证明的思路,符合人们认识问题的一般规律,也是一种一

8、般解法.(2)中否定一个命题只需要举一个反例就够了,若在证明过程中采用否定cn2cn-1cn+1的形式，就会使问题复杂化.,18,设数列an的前n项和为Sn，已知数列Sn是等比数列，且公比q1，试判断an是否为等比数列. 解：由已知Sn=S1qn-1=a1qn-1. 所以,当n2时,an=Sn-Sn-1=a1qn-2(q-1)， 所以 又 所以数列an不是等比数列.,19,已知数列an为正项等比数列，它的前n项和为80，其中数值最大的项为54，前2n项的和为6560，试求此数列的首项a1和公比q. 解：因为S2n2Sn，所以q1. 依题设，有 得1+qn=82，即qn=81. 所以q1，故前n项中an最大.,20,将qn=81代入，得a1=q-1. 又an=a1qn-1=54，所以81a1=54q.