专项突破三 数列在高考中的热点题型

1、2021新亮剑高考总复习专项突破三第六章数列在高考中的热点题型2专项突破三数列在高考中的热点题型对近几年高考解答题题型分析,全国卷中的数列试题难度不大,主要考查等差、等比数列的通项与求和问题,有时结合函数、不等式等进行综合考查,涉及内容较为全面,试题题型常规、方法可循.3题型一与数列有关的比较大小问题例 1(2020 届辽宁五校联考)已知数列an满足 a1=1,an+1=,bn+1=(n- +2 1 )+ 1 ,nN*,b1=-.(1)求证:数列 1+ 1 是等比数列.(2)若数列bn是递增数列,求实数 的取值范围.解析4解析(1)因为数列an满足 an+1=, +2所以 1= 21+1=2

2、1+ 1 ,+1,即 +1 +1又 a1=1,所以 1 +1=2,1所以数列 1+ 1 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列.1(2)由(1)可得+1=2n,所以 bn=(n-1-) 1+ 1 =(n-1-)2 n-1(n2), -1因为 b1=- 符合上式,所以 bn=(n-1-)2 n-1(nN*).因为数列bn是递增数列,所以 bn+1bn,即(n-)2 n(n-1-)2 n-1,则 n+1,所以 2.即实数 的取值范围为(-,2).5方法总结：求解数列中的一些不等关系问题,利用数列的单调性比较大小,或者借助数列对应函数的单调性比较大小. 6题型 2与数列有关的恒成立问题例 2(202

3、0 届河南洛阳市检测)设 Sn 为正项数列an的前 n 项和,且满足2 +2an=4Sn+3.(1)求an的通项公式;(2)令 bn= 1,Tn=b1+b2+bn,若 Tn0,2 +2an=4Sn+3,令 n=1,得2+2a1=4S1+3,解得 a1=3,1当 n2 时,2+2an-1=4Sn-1+3,-1-得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,因为 an+an-10,所以 an-an-1-2=0,即 an-an-1=2,所以an是以 3 为首项,2 为公差的等差数列,所以 an=3+2(n-1)=2n+1.1=1 11(2)由(1)知 bn=- ,(2+1)(2+3)22+12+3

4、所以 Tn=11-11-111=1-11 =1-1+-.23 55 72+1 2+3232+36 4+6因为 10,所以 Tn1,所以 m1,即 m, + .14+66668方法总结：以数列为载体,考查不等式的恒成立问题,转化为函数的最值问题求解9题型 3与数列有关的不等式的证明例 3已知函数 f(x)=ax 的图象过点 1, 1 ,且点 -1, (nN*)在函数 f(x)=ax 的 22图象上.(1)求数列 的通项公式;1(2) 令 b =a若数列 的前 n 项和为 Sn,求证:Sn5.- a,nn+1n2解析10解析(1)由题意知 a=1,所以 f(x)= 1 ,22 2 1因为 f(x)的图象过点所以=所以 a = -1, ,.n 2 22 -12 -12 2(+1)2+1,(2)由得 b =(1)- =n222所以 Sn=31+5 1 +7 1 +(2n-1) 1+(2n+1) 1 ,22232 -1221Sn=3 1 +5 1 +(2n-3) 1+(2n-1) 1 +(2n+1) 1,22232 -122 +121 1-1 -(2n+1) 111 123+ +1 -(2n+1)1=3+241=5-2+5.2 -1得 S =3 +2- +n1-12222 +12 +12 +122222所以 Sn=5-2+55.21