2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第08单元第2节一元二次不等式及其解法.ppt

1、第二节 一元二次不等式及其解法,基础梳理,1. 一元二次不等式的定义 只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一 元二次不等式.,2. 一元二次不等式的解集如下表,3. 分式不等式与一元二次不等式的关系,设a0; 0等价于（x-a）(x-b)0; (x-a)(x-b)0; 0等价于 x-b0; (x-a)(x-b)0 0等价于 x-b0.,分式不等式解法的实质是转化，把分式不等式转化为整式不等式来求解，需要注意分式有意义即分母不为零，也可将分式不等式转化为两个不等式组的并集，继而求出其解集.,典例分析,题型一 一元二次不等式的解法,【例1】解下列不等式. (1)-x2+2x- 0

2、； (2)8x-116x2.,分析 可根据二次函数、方程和不等式的关系求解，也可利用二次函数图象求解，还可对不等式左边（右边为0)进行因式分解，然后求解.,解 (1)两边同乘以-3，得3x2-6x+20,且方程3x2-6x+2=0的根是 x1=1- ,x2=1+ , 所以原不等式的解集是x|1- x1+ ,(2)方法一：原不等式即为16x2-8x+10, 其相应方程为16x2-8x+1=0, =(-8)2-416=0, 上述方程有两相等实根x=14, 结合二次函数y=16x2-8x+1的图象知，原不等式的解集为R.,方法二：8x-116x216x2-8x+10(4x-1)20, xR,不等式的

3、解集为R.,举一反三,学后反思 一般地，对于a0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解.,1. 设mR,解关于x的不等式,解析： 分类讨论： (1)当m=0时，不等式恒成立，不等式的解集为R; (2)当m0时，原不等式化为(mx+2)(mx-1)0， 解得,(3)当m0时，原不等式化为(mx+2)(mx-1)0， 解得 综上,当m=0时，不等式的解集为R; 当m0时，不等式的解集为 ( , ); 当m0时，不等式的解集为( , ).,题型二 三个二次问题,【例2】函数f(x)=x2+ax+3.,(1)当xR时，f(x)a恒成立,求a的取值范围； (2)当x-2

4、,2时，f(x)a恒成立，求a的取值范围.,分析 设g（x）=f(x)-a=x2+ax+3-a,f(x)a恒成立问题转化为g(x)0恒成立问题：,（1）中xR时,g(x)0恒成立，即g(x)的图象不在x轴下方， 故0;(2)中求当x-2,2时，g(x)0恒成立，并不能说明 抛物线恒在x轴上方，怎样解呢？,解 （1）xR时，有x2+ax+3-a0恒成立，则有 =a2-4(3-a)0,即a2+4a-120,-6a2. (2)方法一：当x-2,2时，g(x)=x2+ax+3-a0,分如下三种情况讨论：,如图1，当g(x)的图象恒在x轴上方，满足条件时，有 =a2-4(3-a)0,即-6a2.,如图2

5、，g(x)的图象与x轴有交点，但在x-2,+)时，g(x)0,即 0, a2-4(3-a)0, a2或a-6, x=- 4 g(-2)0, 4-2a+3-a0 a , 解得a.,如图3,g(x)的图象与x轴有交点,但在x(-,2时,g(x)0, 即 0, a2-4(3-a)0 a2或a-6, x=- 2 即 - 2, a-4, g(2)0, 4+2a+3-a0 a-7 解得-7a-6. 综合得a-7,2.,方法二:f(x)=x2+ax+3a,只要f(x)的最小值大于或等于a即可. f(x)=x2+ax+3=(x+ )2+ . 当-2- 2,即-4a4时,f(x)min=3- . 令3- a-6

6、a2,再结合-4a4,得 -4a2. 当- 2,即a4时,f(x)min=f(-2)=7-2a. 令7-2aa时,则a ,a. 由,得-7a2. 即当a-7,2时，在x-2,2时，有f(x)a恒成立.,学后反思 (1)f(x)=ax2+bx+c0(a0)对xR恒成立时， a0 只要求满足 0 即可.另外： ax2+bx+c0(a0)恒成立 a0, 0; ax2+bx+c0(a0)恒成立 a0, 0; ax2+bx+c0(a0)恒成立 a0, 0. (2) 区别“f(x)0对xR恒成立”与“f(x)0对xm,n恒成立”的不同.f(x)0对xm,n恒成立，即f(x)在m,n上的最小值f(x)min

7、0,举一反三 2. 不等式 对于xR恒成立，则a的取值范围是.,解析： (1)当a=2时，不等式恒成立； (2)由 解得-2a2. 综上,-2a2.,答案：(-2,2,题型三 一元二次不等式的实际应用,【例3】(14分)国家原计划以2400元/t的价格收购某种农产品m t,按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳8元（称作税率为8个百分点，即8%）.为了减轻农民负担,制定积极的收购政策.根据市场规律,税率降低x个百分点,收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.,分析 理解题意,巧设未知数,正确将不等关系转化成不等式是解题关键.,解 设税

8、率调低后的税收总收入为y元, .1 则y=2 400m(1+2x%)(8-x)% = (x2+42x-400)(0x8). .4 依题意,得y2 400m8%78%, 即 (x2+42x-400)2400m8%78%. .7 整理得x2+42x-880,解得-44x2. .10 根据x的实际意义,知0x8,所以0x2为所求. .13 故x的取值范围是(0,2. 14,学后反思 解不等式应用题，可分以下几步： (1)认真审题，抓住问题的关键词，找准不等关系; (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系，使其数字化; (3)求解不等式; (4)还原实际问题.,举一反三,3. 已知汽车从刹车到停车所滑

9、行的距离（m）与时速（km/h）的平方及汽车总质量成正比例.设某辆卡车不装货物以时速50 km/h行驶时,从刹车到停车走了20 m.如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时,发现前面20 m处有障碍物,这时为了能在离障碍物5 m以外处停车,最大限制时速应是多少(结果只保留整数部分,设卡车司机发现障碍物到刹车需经过1 s)?,解析：设卡车从刹车到停车滑行距离为s m,时速为v km/h,卡车 总质量为t,则有s=kv2t(k为常数).设卡车空载时的总质量为t0, 则20=k502t0,解得k= = . 设卡车的限速为x km/h（x0),易知1 s走了 = (m),由 题意得 x22t0+ 15,

10、即 ，解得0x23. 所以卡车的最大限速为23 km/h.,易错警示,【例】解关于x的不等式ax2-(a+1)x+10.,错解 ax2-（a+1）x+11,即01或a0时,不等式解集为x| x1.,错解分析 上述错解有如下错误：应首先对二次项x2的系数a的正负进行讨论.讨论时漏掉了a=0和a0两种情况,在比较 与1的大小时,又忽视了 =1这种情况.此外应注意如下错误:步骤要规范完整,分类讨论的试题要有总结性的语言,如“综上所述，有”；再有，由于关于x的不等式是按a的取值分类讨论的,故最后结论不应取并集,应分别叙述;若是按x分类讨论的,则最后应取并集,故何时取交集、并集还是分别说明应引起重视.,

11、正解 若a=0,原不等式-x+11; 若a0 x1; 若a0，原不等式x- (x-1)1时，式（*） 1; 当a=0时，不等式解集为x|x1; 当01时，不等式解集为x|1ax1.,考点演练,解析： 由题意知a0,可设 而a0, -4a0.,10. (2009北京西城区模拟)已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)0的解集为（1,2）,若f(x)的最大值小于1，求a的取值范围.,11. (2010厦门质检)若不等式 对满足-2m2 的所有m都成立，求实数x的取值范围.,解析: 设 要使f(m)0在-2m2上恒成立，只需 即 或 ,12.(2009南京模拟)已知不等式ax2-3x+64的解集为x|xb. (1)求a,b; (2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc0.,解析：(1)因为不等式ax2-3x+64的解集为x|xb,所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x