坐标法解立体几何--习题及解析

1、坐标法解立体几何1空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量 都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；2空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标3空间向量的直角坐标运算律：（1）若，则， ，（2）若，则一个向量在直角坐标系中的坐

2、标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4模长公式：若，则，5夹角公式：异面直线所成的夹角：6两点间的距离公式：若，则，或 7、法向量直线的法向量：在直线上取一个定向量，则与垂直的非零向量叫直线的法向量平面的法向量：与平面垂直的非零向量叫平面的法向量构造直线或平面的法向量，在求空间角与距离时起到了桥梁的作用，在解题过程中只须求出而不必在图形中作出来在空间直角坐标系下，构造关于法向量坐标的三元一次方程组，得到直线（或平面）的法向量坐标的一般形式，再取特值. 其向上或向下的方向可根据竖坐标的符号来确定.一、平面的法向量例1 已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的法向量

3、解：设面ABC的法向量，则且，即=0，且=0，即2x+2y+z=0且4x+5y+3z=0，解得=z（，1，1）点评：一般情况下求法向量用待定系数法由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把的某个坐标设为1，再求另两个坐标平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量。二、空间里的垂直关系1、 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点 证明ADD1F；解：取D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，取正方体棱长为2，则A（2，0，0）、A1（2，0，2）、D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0） =（2

4、，0，0）（0，1，2）=0，ADD1F2、 如图，已知正三棱柱的棱长为2，底面边长为1，是的中点.在直线上求一点，使；解：以分别为轴、轴，垂直于的为轴建立空间直角坐标系，设，则有.3、在直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB=2，F为CE上的点，且BF平面ACE. （）求证：AE平面BCE； （）求证：平面BDF平面ABCD.证明：ABCD为正方形，AB，二面角DABE为直二面角，BC面AEB，以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，如图建立空间直角坐标系Oxyz，则A(0，1，0)，B(0,1,0)，C(0,

5、1,2)，D(0,1,2), E(1，0,0)，F为CE上的点，=(1,1,2),设=(-,，)， F（1-，），=(1-,),=(0,2,2),=( 1,1,0),BF平面ACE， =0且=0,解得，=1，=， E（1,0,0），F(，)，（）=（1,1,0），=（1,1，0）, =0, AEBE, BC面AEB, BCAE, AE平面BCE;（）面ABCD的法向量为=（1，0,0），设面BFD的法向量为=（，），=(,),=（0，2，2），=0且=0，取=1，则=1，=0，=(0，1，1)， =0， 平面BDF平面ABCD5平面ABCD平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且G是

6、EF的中点，求证平面AGC平面BGC；解：如图，以A为原点建立直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），G（a，a，0），F（a，0，0）证明： 设平面AGC的法向量为，设平面BGC的法向量为， 即 平面AGC平面BGC；三、空间里的平行关系1、在正方体AC1中，E为DD1的中点，求证：DB1/面A1C1E3、在正方体，E是棱的中点。在棱上是否存在一点F，使平面?证明你的结论。解：以A为坐标原点，如图建立坐标系，设正方形的棱长为2，则B(2,0,0),E(0,2,1),(0,0,2),(2,0,2)，=(2,2,1),=（2，0，2），设面的法向量为=（，），则

7、=0且=0，取=1，则=1，=，=（1，1）,假设在棱上存在一点F，使平面，设F(，2，2)（02）,则=（，2，2）， 则=0， 解得=1， 当F为中点时，平面.四、空间的角1、直三棱柱中，若，求异面直线与所成的角。如图建立空间坐标系，设异面直线与所成的角为，则，设AB=，易求点B坐标：（，点坐标：，），点A坐标：（0，0，0），点坐标：，），所以，），） 2、在四棱锥中，底面，直线与底面成60角，点分别是、的中点.（1）求异面直线DN与BC的夹角的余弦值；（2）求直线PA与面PBC所成的角正弦值；（3）求二面角PNC-D的大小的余弦值.解析：以D为原点，向量,的方向分别为，轴的正方向，建立

8、坐标系，设AD=1，则AB=2，底面，PAD为直线PA与面ABCD所成的角， PAD=， PD=， D(0,0,0), A(1,0,0), B(1,2,0),C(0,2,0), P(0,0, ),M(,0,),N(,1, )，(1)=( ，1，)，=(1,0，0)，异面直线DN与BC的夹角的余弦值为=.（2）=(1，0，)，=(1，2，)，设面PBC的法向量为=（，），直线PA与面PBC所成的角为，则=0且=0,取=2，则=0，=，=(0,2, )， =.(3)由（2）知面PBC的法向量为=(0,2, )，设面CDN的法向量为=（,）, =( ，1，),=(0,2,0)，=（0，0，）,=0且

9、=0，取=1，则=，=0，则=(，0，1)，=，又=30, =0, 二面角PNC-D的大小的余弦值为.【点评】（1）对异面直线夹角问题，先求出两条异面直线的方向向量分别为、，在求出、的夹角，设两异面直线的夹角，利用=求出异面直线的夹角，注意：异面直线夹角与向量夹角的关系；(2)对二面角的大小问题，先求出平面、的法向量、，再求出、的夹角，在内取一点A，在内取一点B，设二面角大小为，若与同号，则=，若与异号，则=，注意二面角大小与法向量夹角的关系.（3）对于线面夹角问题，求出线面夹角问题中，求出直线的方向向量和平面法向量，设线面角为，则直线方向向量在平面法向量方向上的投影的长度与直线方向向量的模之

10、比就是线面夹角的正弦值，即=.3、如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，.（1）求直线与平面所成的角的大小；（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值.解：如图建立空间坐标系，设直线与平面所成的角的大小为，平面 是平面BCD的一个法向量故 点A坐标：（0，0，）点B坐标：（0，0，0）点M坐标：（，）（注明：先作MOCD于O，过点C作CEBD于E，CGy轴于G，过点O作OFBD于F，OHy轴于H，再利用坐标定义求出点M坐标）于是，（0，0，） （2）易知平面BCD的一个法向量为=（0，0，1）设平面ACM的法向量，），由，可得=0，=0，而A（0，0，），M（，），C，）， ，所以消，得取，得，），平面与平面所成的二面角的正弦值为。4、如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点是棱的中点.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的平面角的余弦值. （1）证明：如图建立空间坐标系，设ADA（0，0，0），E（0，），