自动控制原理 第8章 离散控制系统.ppt

1、第8章 离散控制系统,本章重点内容： 离散控制系统概念 Z变换及其应用 离散控制系统数学描述 离散控制系统性能分析,8.1 引 言,含有在时间上离散的信号的控制系统就是离散系统。例如图8-1所示成分控制系统，由于色谱分析需要一定时间，因此色谱只能每隔一定时间采 样一次，控制器得 到的不是关于受控 对象的连续信息， 而是在时间上的离 散信息。,图8-1 色谱采样的成分控制系统,图8-2 计算机控制系统的基本组成,图8-3 计算机控制系统的工作流程示意图,图8-4 计算机控制系统的方块图,图8-5 采样环节的简化,图8-6 计算机控制系统方块图,图8-7 计算机控制多路控制系统,8.2 信号的采样

2、与复现,把连续信号变为脉冲或数字序列的过程叫做采样(sample)。实现采样的装置称为采样器，又名采样开关。反之，把采样后的离散信号恢复为连续信号(continuous-time signal)的过程称为信号的复现。,图8-8 信号的采样,图8-9 信号的采样,(8-1),(8-2),图 8-10 采样脉冲的调制过程,考虑到当 时， 这一事实，式(8-2)便简化为 式中， 表示脉冲产生的时刻(采样时刻)； 为kT时刻的脉冲强度。 必须指出，上述把窄脉冲信号当作理想脉冲信号处理是近似的，也是有条件的，即要求采样的持续时间要远小于采样周期T和系统中受控对象的最小时间常数。这一要求在一般的系统中都能

3、得到满足。,(8-3),8.2.2 采样定理 由图8-10可直观地看出，采样周期T越小(采样频率越高)，离散信号 越接近于连续信号 ；反之，若T过大(采样频率越低)，则 就不能准确地反映 的变化，即由 无法真实地复现连续信号 。为使离散信号 能不失真地恢复为连续信号 ，应采用多高的采样频率呢？这就是下述香农定理的内容。,(8-4),(8-5),(8-6),(8-7),图8-11 和 的频谱,(8-8),若把 送到具有图8-12所示特征的理想滤波器的输入端，则其输出就是原来的连续信号 。如果s2max，则就会出现图8-13所示的相邻频谱重叠的现象。,图8-12 理想滤波器特性,图8-13 时的频

4、谱,保持器是一种时域的外推装置，即按过去或现在时刻的采样值进行外推。通过把按常数、线性函数和抛物线函数外推的保持器分别称为零阶、一阶、二阶保持器。由于一阶和二阶保持器的结构复杂，而且在采样频率足够高的情况下，它们的性能并不比零阶保持器具有明显突出的优点。因此，这里只讨论零阶保持器，并用符号ZOH来表示。,图8-14 零阶保持器的输出特性,(8-9),(8-10),(8-11),图8-15 ZOH的幅频特性和相频特性,图 8-16 由ZOH恢复的 信号,8.3 z变换与z反变换,z变换是分析离散控制系统的一种常用方法，它是由拉氏变换演变而来的。和线性连续控制系统的传递函数一样，用z变换导出离散控

5、制系统的脉冲传递函数同样成为研究这种系统的一种非常有效的数学工具。,由于上式中的 是s的初等超越函数，它不便于直接计算，为此引入一个新的 变 量，于是式(8-11)就改写为 式(8-13)定义为离散信号 的z变换，并记为,(8-13),(8-14),必须注意， 表示对离散信号(discrete signal) 的z变换，它只表征连续信号在采样时刻的信息。由于习惯上的原因，人们也称 是 或的z变换。但其含义是指离散信号 的z变换。 与 一一对应，但是与 不是一一对应，只要在采样时刻函数值相等，z变换就相同。,图8-17 和 的采样值相同,下面介绍三种常用的求取z变换的方法。 1. 级数求和法 如

6、果已知连续函数 在各采样时刻的采样值 ，就可以按式(8-14)写出其z变换的级数展开式。由于该级数具有无穷多项，如果不把它写为闭合形式，则难于应用。不过，在一定的条件下，常用函数z变换的级数展开式都能写为闭合形式。,(8-15),(8-16),2. 部分分式法,设 的拉氏变换为 将上式展开为部分分式和的形式，即,例8-4 求 。 解：因为 又 所以 (8-19),3. 留数(residue)计算法,设 的拉氏变换为 ，且其为真有理分式，令 为 的极点，则 的z变换可通过计算下列的留数求得，即 (8-20) 式中， 为 在上 的留数。,(8-22),(8-23),(8-24),(8-25),证明

7、：由z变换的定义得,(8-26),(8-27),5. 复数位移定理 设 ，则 证明：由z变换的定义得 令 ，则上式改写为,(8-28),6. 卷积和定理 设 、 和 的z变换分别为 、 和 ，且当 时， 。已知 则,(8-29),8.3.3 z反变换,上述把采样信号 变换为 的过程称为z变换；反之，把 变换为 的过程叫做z的反变换(inverse z-transform)，并记为 显然，由z反变换求得的时间函数是离散的，而不是连续函数。 常用的z反变换求法有三种。,(8-30),2. 部分分式法 用部分分式法求z反变换，与用部分分式法求拉氏变换的思路相类似。由于 的分子中通常含有因子z，为方便

8、起见，通常先把 除以z，然后再将 展开为部分分式。 对于式(8-30)所示的 ，用部分分式法取z反变换的步骤是： (1) 将 分母的多项式分解为因式。 (2) 把 展开为部分分式，使所求部分分式的各项能在表8-1中查到相应的 。,(8-31),解： 即,WORDS AND PHRASES 离散信号discrete-time signal z变换Z-transform 留数residue z反变换inverse Z-transform,8.4 脉冲传递函数,离散系统的输入和输出都是脉冲序列，离散系统的传递函数叫做脉冲传递函数，它的作用是将系统的输入脉冲序列转换为输出脉冲序列。与线性连续系统传递函

9、数的定义相类似，离散系统脉冲传递函数的定义是：在零初始条件下，输出离散时间信号的z变换 与输入离散时间信号的z变换 之比，即,对应于式(8-32)的框图如图8-19所示。如果已知 和 ，根据式(8-32)就可以求得系统输出的脉冲序列(pulse train)为 由上式可知，求 的关键在于如何求取系统的脉冲传递函数 。,(8-32),由于连续对象G(s)的脉冲响应是时间t的连续函数，而z变换只能表示连续时间函数在采样时刻的采样值，因而在求取连续对象G(s)脉冲传递函数时，应取G(s)输出的脉冲序列作为输出量。为此，在系统的输出端可虚拟一个用虚线表示的同步采样开关，如图8-19所示。,图8-19

10、脉冲传递函数,根据叠加原理(superposition theorem)，系统的输出为下列的脉冲响应之和 式中，g(t)为系统的单位理想脉冲响应函数，在t=kT时刻，系统的输出为,(8-33),式中，C(z)、R(z)和G(z)分别为 、 和 的z变换。由此可知，离散系统的脉冲传递函数就是系统单位脉冲响应函数采样值的z变换，即 当已知图8-19中的传递函数时G(s)，先用拉氏变换求出系统的单位脉冲响应g(t)，然后对g(t)进行z变换，就得到系统的脉冲传递函数G(z)。,(8-34),8.4.1 串联环节的脉冲传递函数 先介绍离散函数的拉氏变换的两个性质。 性质1:若 则 性质2： 这两个性质

11、是用于求离散系统脉冲传递函数的重要工具。当环节串联时，环节之间有、无采样开关存在，其等效的脉冲传递函数是不同的。,图8-20 串联环节的两种连接形式,根据脉冲传递函数的定义得 因而有,(8-35),上式表示，当两个串联环节之间有采样开关时，其等效的脉冲传递函数就等于这两个环节脉冲传递函数的乘积。这个结论可推广到个环节相串联且相邻两环节间都有采样开关的场合。 对于图8-20(b)所示的连续形式，就不能用上面得出的结论。根据脉冲传递函数的定义，这种连接形式的等效脉冲传递函数为,(8-36),上式中， 表示 乘积的z变换。通常 。 例8-11 设图8-20中 ， ， 试求上述两种连接形式的脉冲传递函

12、数 解：对图8-20(a)，它的脉冲传递函数为,例8-12 求图8-21(a)所示的系统的脉冲传递函数，图中 为零阶保持器(zero-order hold)。 解：根据脉冲传递函数的定义，图8-21(a)对应z变换的框图如图8-21(b)所示，其脉冲传递函数由下式给出 令 ，则,图 8-21 具有ZOH的脉冲传递函数,(8-37),(8-38),图8-22 常见的离散控制系统,(8-40),(8-41),对于单位反馈控制系统，上述两式分别简化为 图8-23是一个具有数字控制器的离散系统，它的闭环传递函数导求过程与上述的完全相类似，现叙述如下。,(8-42),(8-43),图8-23 具有数字控

13、制器的离散系统,(8-42),闭环脉冲传递函数 有些离散系统不能显式地写出闭环脉冲传递函数，只能写出它的输出离散信号的z变换式。下面以图8-24所示的系统为例来说明,图8-24 离散系统,由图8-24得 对上式等号两边同取采样值，则得 或写作,图8-25 具有ZOH的离散控制系统,解：该系统的开环脉冲传递函数为 据此求得系统的闭环脉冲传递函数为,例8-14 求图8-25所示系统的单位阶跃响应 。图中 ， ， 。 解：把 ， ， 代入上例所求的表达式 中，求得 则相应的闭环脉冲传递函数为,(8-45),取z的反变换，于是得 图8-26为该系统的单位阶跃响应曲线，由图可知，该系统的单位阶跃响应呈衰

14、减振荡形式，其最大的超调量约为40%，调整时间ts约为12s。,图8-26 图8-25所示系统的单位阶跃响应曲线,WORDS AND PHRASES 脉冲序列pulse train 叠加原理superposition theorem 零阶保持器zero-order hold,8.5 差 分 方 程,由于离散系统的输入和输出在时间上是离散的，因而这种系统就不能用时间的微分来描述，而用变量的前后序列之差来表征，这就引出了与微分相似的差分(difference)概念。,8.5.1 差分的定义,设连续函数f(t)经采样后为f(kT)，由于T为常量，为使表示简单，把f(kT)简写作f(k)，省略T不写。

15、一阶前向差分(forward difference)定义为,8.5.2 差分方程,图8-27为一阶连续控制系统。由图得 于是有,图8-27 一阶连续控制系统,(8-46),(8-47),8.5.3 用z变换法求解差分方程,用z变换法求解差分方程，与用拉氏变换求解微分方程一样方便。用z变换法求解差分方程的实质是把以kT为变量的差分方程变成以z为变量的代数方程，求解后再进行z反变换。,例8-15 求解下式所示的差分方程： 已知 解：对上式取z变换，并利用z变换移位性质，得 代入初始条件，经整理后为,8.5.4 用迭代法求解差分方程,由于系统的输入、输出量在差分方程式中均以脉冲序列形式表示，因而这种

16、方程适合用迭代法求解。这种求解若在数字计算机上进行，则更为简便、快速。用此方法求解，仅占用计算机有限的内存量，并且只进行简单的四则运算。必须指出，用迭代法求解差分方程，一般难以得到解的闭合形式。,例8-17 试用迭代法求解式(8-47)。 解： ， ，,例8-18 离散系统的闭环脉冲传递函数为 求该系统的单位阶跃响应。 解：把闭环脉冲传递函数改写为 取上式的z变换，得,8.6 离散控制系统的性能分析,和线性连续控制系统一样，离散控制系统也有稳定、瞬态响应和稳态误差等性能问题。对于这些性能的分析，所涉及的基本概念和方法与连续控制系统基本相同。,8.6.1 离散控制系统的稳定性分析,离散控制系统的

17、稳定性由其特征方程式的根在z平面上的位置决定。设系统的输入、输出关系为 式中， 为系统的脉冲传递函数，它一般为z的有理分式(rational fraction)。令 ，即 ，则得,(8-50),(8-51),式中，z为闭环脉冲传递函数的极点。对上式取z反变换，得 由上式可知，若 ，i=1,2,n，即系统的所有极点均位于z平面上以坐标原点为圆心的单位圆内。在这种情况下，系统的单位脉冲响应最终将衰减到零，即有,(8-52),由此得出离散控制系统稳定的充要条件是：系统闭环脉冲传递函数的所有极点均位于z平面上的单位圆内。 1. s平面与z平面间的映射关系 上述的结论也可以从s平面与z平面之间的映射关系

18、中得到。因为 ， 则得 ，,在s左半平面内，由于，因而z的量值在0和1之间变化。s平面的虚轴，即，则，相应于z平面上单位圆的圆周。不难看出，当轴上的一个代表点 由移动到时，则其在z平面 上的映射为、从逆时针变化到，恰好是一个单位圆的周期。同 理，当代表点从轴上的移动 到时，其相应点在z平面上又以逆时 针方向沿着单位圆走了一周。,由此得出，当代表点的值每增减一个 量，则其在z平面上的映射都是相互重叠的单位圆。在s左半平面内，由于，因而，s的左半平面对应于单位圆的内部。在s右半平面内，由于，因而 s的右半平面对应于单位圆的外部。,由上述的分析可以清楚地看出，s左半平面上每一条宽度为 的条形带都映射

19、到z平面上的单位圆内，如图8-29所示。,图8-29 s平面与z平面间的映射关系,2. 劳斯稳定判据(routh-hurwitz criterion) 由于离散控制系统的特征方程式是以z为变量的代数方程，即为s的超越方程，因而就不能直接应用劳斯判据。为此需要寻求一种新的变换，以使z平面上的单位圆的圆周变换为另一复变量平面上的虚轴；z平面上单位圆的内域变换为的左半平面，单位圆的外域变换为的右半平面。这种变换如能实现，则在连续控制系统中用于判别系统稳定性的方法，如劳斯判据、乃氏判据都可推广并应用于离散控制系统。,下面仅介绍劳斯在离散控制系统中的应用。 实现上述要求的一种常用的变换是双线性变换，即变

20、换。令 或 令、，则由式(8-53)得,(8-53),(8-54),经过变换后，离散系统特征方程式的一般形式为 对于式(8-55)，可以应用劳斯判据判别特征方程式的根在w平面上的分布，即判别对应的离散系统是否稳定。,(8-55),解：系统的开环脉冲传递函数为 对应的闭环特征方程式为 令，s代入上式，经整理后得,排劳斯表 为使系统稳定，要求劳斯表中第一列的系数均为正值，于是有 即 如果去掉系统中的采样开关，使其变为连续控制系统，则无论K为何正值，系统总是稳定的。由此可知，采样具有降低系统稳定性的作用。,(8-56),为使讨论简单，假设无重极点，则上式可改写为 即 取上式的z反变换，得 式中，pi

21、为闭环极点；A0为系统响应的稳定分量；为相应的瞬态分量。,(8-57),图8-32 实轴 上单极点的单 脉冲响应,2. 共轭极点 设一对共轭极点为和，用极坐标表示为 ， 共轭极点对的单脉冲响应如图8-33所示。,图8-33 共轭 极点对的单 脉冲响应,由式(8-57)得产生的瞬态分量为 因为是实数，所以它应该是两个共轭复数相加的结果，即 与式(8-58)对比可知，系数和应是共轭的。令，代入上式得,(8-58),(8-59),由s平面和z平面之间的映射关系得出，s平面虚轴左方的等线，在z平面上的映射是一半径为，圆心在坐标原点的圆。随着s平面上的等线距虚轴越远，则其在z平面上映射的半径也就越小。当时，。由此可知，离散控制系统的闭环极点位于z平面的原点处，这就相当于连续控制系统的极点都位于s左半平面的无穷远处。,(8-60),(8-62),(8-61),对式(8-62)取z反变换，求得该系统的脉冲响应序列为 上式表明，一个n阶稳定系统的脉冲响应序列共有n个脉冲。也就是说，如果在典型输入信号作用下，则系统的瞬态响应过程将在有限个采样周期内结束。由于这种系统瞬态响应的时间最短，因此称为最小时