数学与应用数学毕业论文多元函数的极值及其实际应用

2007 级数学与应用数学专业论文第 1 页共 19 页1 绪论在一般的数学分析中，仅讨论了一元函数及二元函数的极值问题.但是，在生产和实际生活中，我们所要研究的极值问题，不仅仅依赖于一个或两个因素，而更多的是需要讨论三元及更多元函数的极值问题.例如，生产某种产品时，如何用料最省，怎样操作，可以生产最多产品等等，这些实际问题都可以通过函数极值来解决.有相似之处在企业进行诸如建筑、饲养、产品制造及其他大规模生产时，其利润随投资的变化关系一般可用二次函数表示.企业经营者经常依据这方面的知识预计企业发展和项目开发的前景.他们可通过投资和利润间的二次函数关系预测企业未来的效益，从而判断企业经济效益是否得到提高、企业是否有被兼并的危险、项目有无开发前景等问题.工程技术、自然科学及日常生活中的大量实际问题都可化为求函数的极大值和极小值问题.多元函数的极值及其实际应用第 2 页 共 19 页2 多元函数的概念2.1 二元函数的极值的定义 1在高等数学中, 常常会遇到求二元函数的极值的问题,设函数 在点,zfxy的某个领域内有定义, 对该邻域内异于 的点 ,如果都适合不等式0xy 0,xyxy,则称函数在点 取极大值 ; 如果都适合不等式0ffxy0,xy,则称函数在点 取极小值 .使函数取得极大(小)值的点称为极,大(小)值点.例如：（图1-1） 322zxyxy图1-12.2 多元函数的极值二元函数的极值是一个局部概念, 这一概念很容易推广至多元函数.若多元函数于点 的邻域内有定义, 并且当 时, 12,.nufpfx0P0,pP(或 ) ,则说函数 在点 有极大值(或极小值) ,点 称0P0fpfp0 0P为函数 的极值点 ,关于二元函数的极值点的求法,不少书中都有详细的探讨,并f给出了极值取得的必要条件和充分条件,但对于二元以上的多元函数的极值点的求法,原点是极大值2007 级数学与应用数学专业论文第 3 页共 19 页并未进行详细的讨论,本文将二元函数极值点判别法的有关结论推广到二元以上的多元函数中,以得到多元函数极值的判别法则.2.3 多元函数的极值的几个判定定理 1不少微积分的教材中,给出了关于二元函数取得极值的必要条件,即有下面的定理.定理1 设函数在点 在点 具有偏导数且取得极值,则它在该点的,zxy0y偏导数必为0,即 将此定理推广至一般的多元函数 ,即有定理2.00,xyff定理2 设函数 在点 的邻域内有定义,12,.nupx0012,nPx在点 具有偏导数 ,可微分的函数 仅在稳定点 即在偏导数是0的点 ufp0Pfp 0P能达到极值,所以函数 的极值点应当满足方程组 ( ) .f ixf1,.i证明: 在点 取得极值,则固定f0, 002,nxx 12,.nufpfx在点 取得极值, ,同理 .0110xP02,ixfPin另外在一些文献中又给出了极值的充分条件,即有下面的定理3.定理3 设函数 在点 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, ,zy0y又令 , 令 , , ,则0,xfy0yfxxf0,xyf0,yfx在 处是否取得极值的条件如下: 1) 时具有极值,且当 时有极大值,当 时有极小值;2ACB0AA2) 时没有极值;03) 时可能有极值, 也可能没有极值,还需另作讨论.2现将此定理推广至一般多元函数, 即有下面的定理4.定理4 设 , 在点 的某邻域内121212.,.iiiiiaaPi12,nfx 0P有直至 阶的连续偏导数,又设 是稳定点, ,记n0P10,.xfPi多元函数的极值及其实际应用第 4 页 共 19 页,20 00011,2.;,.,.,.,ij n nijx x xnafPinjafPafP1210nxafP,即: 2120 001,.,.,n nx xnf f,再记矩阵;ijijaPij, 121212.nnnaA 121212.,.nnnaaAin则: (1)若矩阵 的各阶顺序主子式 全大ijna 121212.,.iiiiiaaPi于零,就有 在点 取得极小值.ufp0P(2)若矩阵 的各阶顺序主子式ijnAa 121212.,.ninnaaqi全大于零,则 在点 取得极大值.若矩阵 有偶数阶主子式小于零,在ufp0PijnAa点 没有极值.0P证明:多元函数 , ,由已知ufp112nuxxxdfpfdffd, 1200100nxxxndfpfd1122 2nufff，其中2112 122n naxaxdxaadxXA ,将 看作是 元二次型,则由文献中二次型判定定理可知实二次,Xd 2u型是正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式全大于零,故当A的各阶顺序主子式 ip全大于零时, 是正定的 ,当 时, ,则 在2u2120ndxd 20dfP0f点 取得极小值,而由 是负定的充要条件就是 是正定的,于是当 的各阶顺序主0Pf fA2007 级数学与应用数学专业论文第 5 页共 19 页子式全大于零, 在点 取得极大值,若矩阵 有偶数阶顺序20,dfPfp0PijnAa主子式小于零, 既非半正定也非半负定,取值可正可负,在 点没有极值,定理得证.u 0P显然,定理3是定理4的特殊情况.2.4 定理的应用 112.4.1 多元函数的最大值与最小值例 1：在 坐标面上找出一点 ，使它到三点 、 、 距离XYP10,P21,30,P的平方和为最小.解：设 为所求之点， 为 到 、 、 三点距离的平方和，即1,Pxyl123， ， 所以2223l221Pxy231Pxy2xyy对 求偏导数，有 ，,XY62xl6yl即， 解方程组得驻点 ，由问题的实际意义，到三点距离平0xylo0y1,3方和最小的点一定存在， 可微，又只有一个驻点，因此 即为所求之点.l 1,32.4.2 研究下列多变量函数的极值例1, 求多元函数 的极值情况.2246uxyzxyz解: 由2(1)()(3)dd得稳定点 ,二阶偏导数 ，0()3xyzu01,2p1023,xaupa, 的各阶顺序主子式全大于 ,故 在点123213231aax02A u取得极小值 .0p04up例2, 求多元函数 的极值情况.321xyzxyz解:由多元函数的极值及其实际应用第 6 页 共 19 页得稳定点 及 , 231020uxyyuz0,1p24,1p, 在 处, ,2264udxdydxy1p121323, 0aaa的各阶顺序主子式 , , 全大1402A14024p3pA于零, 则在点 取得极小值 ,在点 处, 的各阶顺序主子式ufp11693u0不全大于零, 此时 ,当 而当22dzdyx 21,0udzydxd均大于 时, ,因此符号不定,故无极值, 或计算偶数阶顺序主子式小于dxyz0u因而无极值 .02.5 隐函数的极值概念和应用关于显函数的极值问题已有许多讨论. 本文利用显函数极值问题的一些结果给出了隐函数极值存在的条件,并举出了应用实例.2.5.1 引理及定理引理1 若函数 在 的邻域内存在二阶导数 ,且 , ,则fx0 0fx0fx(1) 当 时, 是函数 的极小值点; 0ffx(2) 当 时, 是函数 的极大值点.x0x引理2 2 若n 元函数 在驻点 的某个邻12,nufx 0012,npx域内具有二阶连续偏导数,在驻点 处作矩阵00,p11212 2120 nnnnxxxxxxffpff则2007 级数学与应用数学专业论文第 7 页共 19 页a) 当 为正定矩阵时, 元函数 在 处取得极小值;0Hpn12,nufx 0Pb) 当 为负定矩阵时, 元函数 在 处取得极大值; c) 当 是不定矩阵时, 元函数 在 处不取得极值.0 12,nfx 0定理1 设函数 在 的邻域内具有二阶连续偏导数 ,且,fxy0, , ,则当 时,由方程 0,fxy0,xf,yf0,xyf,0fxy确定的隐函数 在 处取得极大值;当 时,由方程 确定y00,xyf,f的隐函数 在 处取得极小值.x0证 由 ,得 ,又 , 所以,fy0xyxfyf223,x xxy yff f又因为 ,所以 . 00,xff000, , ,xxxyyyff由引理1知,当 时,即当 时, 在点 处取得极小值;0,xyf0,xyfyx0当 时,即当 时, 在点 处取得极大值.0,xyf 0,xyf0定理2 设函数 在点 的邻域内具有一阶、二阶12,nf 12,onpx连续偏导数, 且 , , 00,ixy 0012,nfxy. 由方程 所确定的 元函数 ,12,ynfxy 12,nfxy 12nx则当a) 当 为正定矩阵时 , 在 处取得极小值;0ijnHph12,nx 0pb) 当 为负定矩阵时 , 在 处取得极大值;ij yc) 当 为不定矩阵时 , 在 处不取得极值.0ijn 12,nx 0多元函数的极值及其实际应用第 8 页 共 19 页其中 0012,12,ixnijyfxyhijn 证 由 ,得 . 又 ,所以 在 中对 12,nf 0iixyxfyfiixxyfj求偏导数得因为 , 2ijiijiijxyxyxxyfff 0012,.,1,2.ixnfxyin. 所以0012,.,nf所以 . 由n 元显函数00120,.ixnypfxyi00012,.,ijxnypfxyxij极值存在的条件即引理2 知, a) 当 为正定矩阵时 , 在 处取得极小值;0ijnHh12,nyx 0b) 当 为负定矩阵时 , 在 处取得极大值;ijp pc) 当 为不定矩阵时 , 在 处取得极值. 0ijn 12,nyx 0其中 0012,.,.ixnijyfxhij2.5.2 多变量函数的极值举例例1 求由方程 所确定的隐函数 的极221180xyx12,yfx值.解 令 , 由221211, 8Fyy得驻点 ,而1221148080xyx 126,0,017pp, ,所以121120,4xxFF125,5yyF. 1 2405,0115HpHp2007 级数学与应用数学专业论文第 9 页共 19 页而 为负定矩阵, 为正定矩阵,由定理 2知函数 在 1Hp2Hp12,yfx016,7p处取得极大值 ;在 处取得极小值 .对某些条168,07yf02,2,f件极值的问题亦可转化为隐函数的极值问题来解决.例 2 求 在条件 下的极值.44123123,fxx123x解: 将 代入 的表达式, 得 . 123f4412,fx令 . 4848121212,Fxfxfx解得:.123474382121287441120xfxf得驻点 . 34,3,1,13pp而 1246428115xFfx22824811256,xFfx.所以 1237372216,41f 1xp126xFp, ,且 . 即2xp1.fp1362H30,0是正定矩阵.所以 在点 处取得极小值3. 1H4121241,fxx01,p又由 得 ,所以在条件 下,与 对应的点为123x32301,.所以原函数 在条件 下,在点 处,p441231fxx23x1,p取得极小值,且 .同理可知函数 在点,f 123,f处均取得极小值且极小值为3.111234, ,p多元函数的极值及其实际应用第 10 页 共 19 页3 多元函数极值实际应用3.1 最大值和最小值问题如果 在有界闭区域 上连续,则 在 上必定能取得最大值和最小值. ,fxyD,fxyD这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在 的内部,也可能在D的边界上. 我们假定, 函数在 上连续、在 内可微分且只有有限个驻点, 这时如果函数在 的内部取D D得最大值(最小值), 那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值).因此,求最大值和最小值的一般方法是: 将函数 在 内的所有驻点处的函数值及在 的边,fxy界上的最大值和最小值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.在通常遇到的实际问题中,如果根据问题的性质,知道函数 的最大值(最小值)一定在 的,fxyD内部取得,而函数在 内只有一个驻点,那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数D在 上的最大值( 最小值). fxy3.2 多元函数极值的实际应用的思路 83.2.1 实际问题的提出在学习导数应用时, 我