电大高等数学基础复习小抄

.一、单项选择题1-1 下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等 C. ， 3ln)(xfxgln)(1-设函数 的定义域为 ，则函数 的图形关于（C ）对称C. 轴 )(xf ),()(xfy设函数 的定义域为 ，则函数 的图形关于（D ）对称 D. 坐标原点f.函数 的图形关于（ A ）对称(A) 坐标原点 2exy1-下列函数中为奇函数是（ B ）B. xycos下列函数中为奇函数是（A ）A. 3下列函数中为偶函数的是（ D ）D )1ln(22-1 下列极限存计算不正确的是（ D ）D. 0simxx2-2 当 时，变量（ C ）是无穷小量 C. 0x当 时，变量（ C ）是无穷小量 C 1ex.当 时，变量（D ）是无穷小量 D )ln(下列变量中，是无穷小量的为（ B ） B 03-1 设 在点 x=1 处可导，则 （ D ） D. )(xf hffh)21(lim0 )1(2f设 在 可导，则 （ D ） D 0 xx0 0x设 在 可导，则 （ D ） D. )(xf ffh2)(li0 )(f设 ，则 （ A ） A exx1)0 e3-2. 下列等式不成立的是（ D ） D. )(lnxd下列等式中正确的是（B ） B. 24-1 函数 的单调增加区间是（ D ）D. 14)(2xf ),(函数 在区间 内满足（A ） A. 先单调下降再单调上升 5y)6,(.函数 在区间（5，5）内满足（ A ）A 先单调下降再单调上升 62. 函数 在区间 内满足（D ）D. 单调上升,25-1 若 的一个原函数是 ，则 （D ） D. )(xf x1)(f 32x.若 是 的一个原函数，则下列等式成立的是（ A ）。 A F)(f )()(aFxdfxa5-2 若 ，则 （ B ） B. fcos)(fd)( cos下列等式成立的是（D ）D. )(d)(xffx（ B ） B. xfxd)(32 32（ D ） D f)(-3 若 ，则 （ B ） B. cxFf)()(xd1 cxF)(2补充： , 无穷积分收敛的是 函数 的图形关于 exdex)( d1 xf10)(.y 轴 对称。二、填空题函数 的定义域是 （3，+） )1ln(39)(2xxf函数 的定义域是 （2，3） （3，4 y4ln 函数 的定义域是 （5，2）xf)()若函数 ，则 1 0,21xf )(f2 若函数 ，在 处连续，则 e ,)()xkf k.函数 在 处连续，则 2 02sin)(xf函数 的间断点是 x=0 ,sin1y函数 的间断点是 x=3 。32x函数 的间断点是 x=0 ey13-曲线 在 处的切线斜率是 1/2 )(f)2,(曲线 在 处的切线斜率是 1/4 x曲线 在（0，2）处的切线斜率是 1 f.曲线 在 处的切线斜率是 3 1)(3),(3-2 曲线 在 处的切线方程是 y = 1 切线斜率是 0 xfsin曲线 y = sinx 在点 (0,0)处的切线方程为 y = x 切线斜率是 1 4 .函数 的单调减少区间是 （，0 ） )1l(2函数 的单调增加区间是 （0，+） exf.函数 的单调减少区间是 （，1 ） 2.函数 的单调增加区间是 （0，+） )(f函数 的单调减少区间是 （0，+） 2xey5-1 . ddx2 xdsin22sitan x +C )(tan若 ，则 9 sin 3x cxf3si)(f5-2 3 0 0 35d)21(i 123dxedxx1)ln(下列积分计算正确的是（ B ）A B C D 0)(1xex )(1ex12|1三、计算题（一）、计算极限（1 小题，11 分）.（1）利用极限的四则运算法则，主要是因式分解，消去零因子。（2）利用连续函数性质： 有定义，则极限)(0xf )(lim00xffx类型 1： 利用重要极限 ， ， 计算1sinlmx kxsnkxtanli1-1 求 解： x5sin6l0 56sil5si6l00xx1-2 求 解： 0tali3x x3tanli0 31tanlm10x1-3 求 解： =m .i类型 2： 因式分解并利用重要极限 ， 化简计算。1)(silax1)sin(laxax2-1 求 解： =)1sin(l21xx sinl21x 2)(.i)l1 x2-2 解： 2mx 1)(.)(sm)(i2 xx2-3 解： )3sin(4lx 2li3sinl)3sin(4l 333 xxx类型 3：因式分解并消去零因子，再计算极限3-1 解： =4586li24x 4586li24x )1(2lixxli4x3-2 3m1x 3335m17xx 3-3 解 4li2x 412lim)(2li4li2 xxxx其他： ， 0sinlsin1l020 xxx 1sinlsinl00xx， 546lim2x 1li2x54362limx 32lix（0807 考题）计算 解： =xsin8tal0xsin8tal048.sital0x（0801 考题. ）计算 解 x2li0 x2li021li0x（0707 考题.） = )1sin(3m1 4)31()sin(.1l x（二） 求函数的导数和微分（1 小题，11 分）（1）利用导数的四则运算法则 vu)( vu)(.（2）利用导数基本公式和复合函数求导公式x1)(ln 1)(aaxe ueu.)(xx2cs)(otanicssi xexex xxx sin).(cos)( cin2ocos isiin22 xxx eeeuos).(s)(sin.i 222 xxeeeusin).(sin)(co2i22类型 1： 加减法与乘法混合运算的求导，先加减求导，后乘法求导；括号求导最后计算 。1-1 xy)3(解： 322xee1322xxe132xe1-2 xylncot解： lncs)(lnl)(cs)l()( 22221-3 设 ，求 exltay解： xexxexyx 1ta1)(tatn)()( 2类型 2： 加减法与复合函数混合运算的求导，先加减求导，后复合求导2-1 ，求 解：xlnsi2yycos2)(ln(si 222-2 ，求 ecoy解： 222 ei).(co).(sin)(si)( xxex xxx 2-3 ，求 ， 解：5lnyy 5455lnln类型 3： 乘积与复合函数混合运算的求导，先乘积求导，后复合求导，求 。 解：xeycos2 xexexex sinco2)(coss)( 222 其他： ，求 。y解： 2).(.)(coln)s() xxxx 2ilnxx0807.设 ，求 解：2sineyy 2si2sin cosieey0801.设 ，求 解：2 222)()(xx0707.设 ，求 解：sinx xx.isinsin 0701.设 ，求 解：xyecoly xey e1).()(l（三）积分计算：（2 小题，共 22 分）.凑微分类型 1： )1(d2xx计算 解：xdcos2 cxd1sin)(coscos20707.计算 解： 1sin2 xo)(i1in20701 计算 解： xde2 1de21xcx1e凑微分类型 2： dx 1.计算 解： xdcos cxdxxsin2coscos0807.计算 解：in oin2din0801.计算 解： xed cexexex凑微分类型 3： ， dln1 )ln(d1a计算 解：xdln1 cxux|llxl.计算 解： e12e1e1 )n2()d(d2 25)ln2(11ex5 定积分计算题，分部积分法类型 1： cxaxdaxaxdaxd aaa 12111 )(lnlnlnln计算 解： ， e1 24241)ln2(ln21lxd exxe 0)l(lne1 e计算 解： ， e2dxa cxxdx 1ln)1(lnl2e2)(e1e1 计算 解： ，dxe1ln2a cxxdx 4ln2lnl=e1 421)(21 ee0807 e1lnxd 9)94ln3( xl3233e12 ex.0707 e13e12nxdllx 912)91ln(333ex类型 2 caeaax2)xxdee21010 4104(2xxxx1)1exxxdede210102 4130)4( 222exx（0801 考题） )(de10x类型 3： caxaaxaxd sin1cocoscssin 2xdxsin1in1ico20sinxd 02)sico(s20xx20co 1)in(i20 cxxdxx 2sin4co2cos21sdsin20 40)i1(20 2 2200 011cossin|sincos|4xdxxdx .四、应用题（1 题，16 分）类型 1： 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：如图所示，圆柱体高 与底半径 满足 hr22rh圆柱体的体积公式为 lV)(2求导并令 0)3(2l得 ，并由此解出 hlr6即当底半径 ，高 时，圆柱体的体积最大lr36h3类型 2：已知体积或容积，求表面积最小时的尺寸。2-1（0801 考题） 某制罐厂要生产一种体积为 V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：设容器的底半径为 ，高为 ，则其容积rh22.,.rhr表面积为 rS22， 由 得 ，此时 。24rV 03V34Vrh由实际问题可知，当底半径 与高 时可使用料最省。32r一体积为 V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解： 本题的解法和结果与 2-1 完全相同。生产一种体积为 V 的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：设容器的底半径为 ，高为 ，则无盖圆柱形容器表面积为 ，令 rh rVrhS22， 得 ，02S rVr,3由实际问题可知，当底半径 与高 时可使用料最省。3h2-2 欲做一个底为正方形，容积为 32 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？（0707 考题）解： 设底边的边长为 ，高为 ，用材料为 ，由已知 ， ，xhy322Vhx2xh表面积 ，Vy422令 ，得 ， 此时 =2042xV63x,4x2由实际问题可知， 是函数的极小值点，所以当 ， 时用料最省。h欲做一个底为正方形，容积为 62.5 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解： 本题的解法与 2-2 同，只需把 V=62.5 代入即可。类型 3 求 求曲线 上的点，使其到点 的距离最短kxy2 )0,(aA曲线 上的点到点 的距离平方为),( kxayaxL22)()(， 0)(aLkx2l.3-1 在抛物线 上求一点，使其与 轴上的点 的距离最短 xy42x)0,3(A解：设所求点 P（x，y），则满足 ，点 P 到点 A 的距离之平方为y42L)3()3(2令 ，解得 是唯一驻点，易知 是函数的极小值点，0 11x当 时， 或 ，所以满足条件的有两个点（1，2）和（1，2）13-2 求曲线 上的点，使其到点 的距离最短xy2),(A解：曲线 上的点到点 A（