2018最新电大高等数学基础复习题考试小抄【完整版】

最新电大小抄高等数学（1 ）学习辅导(一)第一章 函数理解函数的概念；掌握函数 )(xfy中符号 f ( )的含义；了解函数的两要素；会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等。两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性。若对任意 x，有 )(xff，则 )(f称为偶函数，偶函数的图形关于 y轴对称。若对任意 ，有 ，则 称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称。掌握奇偶函数的判别方法。掌握单调函数、有界函数及周期函数的图形特点。熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。基本初等函数是指以下几种类型：常数函数： cy幂函数： )(为 实 数x指数函数： 1,0a对数函数： loga三角函数： xcot,tncs,i反三角函数： xrrr了解复合函数、初等函数的概念，会把一个复合函数分解成较简单的函数。如函数 )1(arctn2exy可以分解 ， ， ， 。分解后的函数前三个都是基本初等函数，而第四个函数是常uye2vwarctn1数函数和幂函数的和。会列简单的应用问题的函数关系式。例题选解一、填空题设 ，则 fx() 。)0(1)(2xxf解：设 ，则 ，得tt tttf 2211)(故 。xf21)(函数 的定义域是 。xf5)ln(解：对函数的第一项，要求 且 ，即 且 ；对函数的第二项，要求 ，即020)2ln(2x305x。取公共部分，得函数定义域为 。5x 5,3),函数 的定义域为 ，则 的定义域是 。)(xf1,lxf解：要使 有意义，必须使 ，由此得 定义域为 。ln1)(lnfe,1函数 的定义域为 。392y解：要使 有意义，必须满足 且 ，即 成立，解不等式方程组，得出x092x3x3x最新电大小抄，故得出函数的定义域为 。3x或 ),3(,(设 ，则函数的图形关于 对称。2)(xaf解： 的定义域为 ，且有),()(2)() xfaxf xxxx 即 是偶函数，故图形关于 轴对称。y二、单项选择题下列各对函数中，（ ）是相同的。A. ； B. fxgx()ln,()ln2；xgxf)(,)(2C. lnln3； D. 11解：A 中两函数的对应关系不同, ， B, D 三个选项中的每对函数的定义域都不同，所以 A B, D 都不是2正确的选项；而选项 C 中的函数定义域相等，且对应关系相同，故选项 C 正确。设函数 fx()的定义域为 (,)，则函数 fx() 的图形关于（ ）对称。A.y x； B. x 轴； C.y 轴； D.坐标原点解：设 ，则对任意 有fF )()()()()()( xFfxfffxf 即 是奇函数，故图形关于原点对称。选项 D 正确。)(3设函数 的定义域是全体实数，则函数 是（ ）fx() xfA.单调减函数； B.有界函数；C.偶函数； D.周期函数解：A, B, D 三个选项都不一定满足。设 ，则对任意 有)()(xfxFx )()()()( xFfxfxfffF 即 是偶函数，故选项 C 正确。函数 （ ）)1,0()(axfA.是奇函数； B. 是偶函数；C.既奇函数又是偶函数； D.是非奇非偶函数。解：利用奇偶函数的定义进行验证。)(1)1()( xfaxaxxf 所以 B 正确。若函数 ，则 （ ）2)1(xf fA. ； B. ；2xC. ； D. 。)(1解：因为 2)(1222 xx所以 )()(xf则 ，故选项 B 正确。2第二章 极限与连续最新电大小抄知道数列极限的“ N”定义；了解函数极限的描述性定义。理解无穷小量的概念；了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系；知道无穷小量的比较。无穷小量的运算性质主要有：有限个无穷小量的代数和是无穷小量；有限个无穷小量的乘积是无穷小量；无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量。熟练掌握极限的计算方法：包括极限的四则运算法则，消去极限式中的不定因子，利用无穷小量的运算性质，有理化根式，两个重要极限，函数的连续性等方法。求极限有几种典型的类型（1 ） axaxakkxkx 21)(limli 22020 （2 ） 100102 )(lili00bxx （3 ） mnbaxbxbaammnnx 0110li熟练掌握两个重要极限：lisnx0m()xx1e （或 li()xx01e）重要极限的一般形式：lisn()()x0li()()fxfx1e （或 lim()(gxgx01e）利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的变换，将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则，如 31sinlm31sinl3sinl 000 xxxx 3122e)1(li)1(2li12lim)2(li xxxxx理解函数连续性的定义；会判断函数在一点的连续性；会求函数的连续区间；了解函数间断点的概念；会对函数的间断点进行分类。间断点的分类：已知点 是的间断点，0x若 在点 的左、右极限都存在，则 称为 的第一类间断点；)(f 0x)(f若 在点 的左、右极限有一个不存在，则 称为 的第二类间断点。x理解连续函数的和、差、积、商（分母不为 0）及复合仍是连续函数，初等函数在其定义域内连续的结论，知道闭区间上连续函数的几个结论。最新电大小抄典型例题解析一、填空题极限 limsnx021 。解： 01sinlm1il)sin(lisinl 00020 xxxxxx注意： （无穷小量乘以有界变量等于无穷小量）1，其中 =1 是第一个重要极限。1silmsilsilm000xxx xil0函数 的间断点是 。1in)(xf解：由 是分段函数， 是 的分段点，考虑函数在 处的连续性。0)(xf 0x因为 1(lisinl0xx所以函数 在 处是间断的，)(f又 在 和 都是连续的，故函数 的间断点是 。,),( )(xf0x设 ，则 f 。232f解： ，故)(xf 20184)() 2x函数 的单调增加区间是 。1ln2y二、单项选择题函数 在点 处（ ）fx()six0A.有定义且有极限； B.无定义但有极限；C.有定义但无极限； D.无定义且无极限解： 在点 处没有定义，但)(xf（无穷小量 有界变量=无穷小量）01sinlm0xx 故选项 B 正确。下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。A. e1x,()； B. si,()x；C. ln,1； D. x10,解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以 sinlmx而 A, C, D 三个选项中的极限都不为 0，故选项 B 正确。最新电大小抄三、计算应用题计算下列极限： 1243lim2xx xx)13(lim（4） 50)()(x xsin1l0解： 6)(21432 x=lim2x81li 4313e)1(lim)31(li)3(li)13(li xnxnxnn 题目所给极限式分子的最高次项为 155102)(x分母的最高次项为 ，由此得152x 38)(2li15xx（4）当 时，分子、分母的极限均为 0，所以不能用极限的除法法则。求解时先有理化根式在利用除法法则和第一0个重要极限计算。)1(3sinlm)1(3sin1lm3sin1l 000 xxxxx= 6123li 0x2.设函数0sin1)(xabxf问（1） 为何值时， 在 处有极限存在？ba,)(xf（2 ） 为何值时， 在 处连续？解：（1）要 在 处有极限存在，即要 成立。)(f0)(lim)(li00xffxx因为 bxxx )1sinlmli0所以，当 时，有 成立，即 时，函数在 处有极限存在，又因为函数在某点处有极1b)(li)(li00xffxx1b0x限与在该点处是否有定义无关，所以此时 可以取任意值。a（2 ）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是)(lim)(li 000 fffxx于是有 ，即 时函数在 处连续。ab11bx)(li0fx最新电大小抄第三章 导数与微分导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。在学习的时候要侧重以下几点：理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系。在点 处可导是指极限)(xf0 xffx)(lim00存在，且该点处的导数就是这个极限的值。导数的定义式还可写成极限 0)(li0fx函数 在点 处的导数 的几何意义是曲线 上点 处切线的斜率。)(xf0)(0xf xy)(,0xf曲线 y在点 ,(x处的切线方程为 )()(00ffy函数 )f在 0点可导，则在 0点连续。反之则不然，函数 在 点连续，在 0点不一定可导。了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法（1 ）导数的四则运算法则（2 ）复合函数求导法则（3 ）隐函数求导方法（4 ）对数求导方法（5 ）参数表示的函数的求导法正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法，例如函数 ，求 。xy2)1(y在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。如果我们把函数先进行变形，即212321)( xx再用导数的加法法则计算其导数，于是有23213xy这样计算不但简单而且不易出错。又例如函数 ，求 。32xy显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得 )2ln(31)l(2lnxxy两端求导得 )()1(xy整理后便可得 )2(6823x若函数由参数方程最新电大小抄)(tyx的形式给出，则有导数公式 )(dtx能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数。熟练掌握微分运算法则微分四则运算法则与导数四则运算法则类似 vud)(dv)0(2一阶微分形式的不变性 uyxyuxdd微分的计算可以归结为导数的计算，但要注意它们之间的不同之处，即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积。了解高阶导数的概念；会求显函数的二阶导数。函数的高阶高数即为函数的导数的导数。由此要求函数的二阶导数就要先求函数的一阶导数。要求函数的 阶导数就n要先求函数的 阶导数。1n第三章 导数与微分典型例题选解一、填空题设函数 在 邻近有定义，且 ，则 。)(xf01)0(,)(ff xf)(lim0解： )(limli00 xfxx故应填 1。曲线 在点（1，1）处切线的斜率是 。y解：由导数的几何意义知，曲线 在 处切线的斜率是 ，即为函数在该点处的导数，于是)(xf0)(0xf21)(,2233 xx故应填 。1设 fx()245，则 f() 。解： ，故 3724)( xxf故应填 3742二、单项选择题设函数 ，则 （ ）。2)(xf2)(lim2xfxA. ； B.2 ； C.4； D 不存在x2解：因为 ，且 ，)(li2ff2)(xf最新电大小抄所以 ，即 C 正确。42)(xf设 ，则 （ ）。1)(fA. ； B. ； C. ； D. xx121x21x解：先要求出 ，再求 。)(f)(f因为 ，由此得 ，所以xf12)(f即选项 D 正确。3设函数 ，则 （ ）)2(1)(xf )0(fA.0； B.1；C.2； D. 解：因为 ，其中的三项当 时为 0，)1()2(1)()()()( xxxf x所以 2010f故选项 C 正确。4曲线 yxe在点（ ）处的切线斜率等于 0。A. (,)； B. (,)； C. (,)1； D. (,)10解： ，令 得 。而 ，故选项 C 正确。10x)y5 sin2，则 （ ）。A. cox； B. cos2； C. 2xcos； D. 22xcos解： )(y故选项 C 正确。三、计算应用题设 xsin2ta，求 2dxy解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则 lncosi2x由此得 xyx d2)lsco(d2in22 设 ，其中 为可微函数，求 。)(exf(fy解 e) xf= ()( fxfx= )()(fx= effxxf求复合函数的导数时，要先搞清函数的复合构成，即复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要分清复合函数的复合层次，然后由外层开始，逐层使用复合函数求导公式，一层一层求导，关键是不要遗漏，最后化简。3.设函数 yx()由方程 yxeln确定，求 dyx。解：方法一：等式两端对 求导得 2eyxy整理得最新电大小抄xyxye22方法二：由一阶微分形式不变性和微分法则，原式两端求微分得左端 yyy de)(d)e(d右端 2)(d)(lnxyxy由此得 2ddeyxyx整理得 xyxed224.设函数 yx()由参数方程 ty21确定，求 dyx。解：由参数求导法 txyt12d5设 ，求 。xyarctn)1(2y解 1arctn21)(2 xxrtrt(第四章 导数的应用典型例题一 、 填 空 题1.函数 的单调增加区间是 .)1ln(2xy解： ，当 时 .故函数的单调增加区间是 .0y )0,(2.极限 .x1lim解：由洛必达法则 1li)(lnili 111 xx3.函数 的极小值点为 。e2xf解： ，令 ，解得驻点 ，又 时， ； 时， ，所以)()x 0)(f 0x0)(xf0)(xf是函数 的极小值点。0xe1xf最新电大小抄二、单选题1.函数 在区间 上是（ ）12xy2,A） 单调增加 B）单调减少 C）先单调增加再单调减少 D）先单调减少再单调增加解：选择 D，当 时， ；当 时， ；所以在区间 上函数 先单调减少再单调xy200)(xf0)(xf 2,12xy增加。2. 若