苏教九上数据的集中趋势和离散程度材料

.10 月第 2 周九年级教研-数据的集中趋势和离散程度一、 知识点梳理知识点1：表示数据集中趋势的代表平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。 12()nxxn=+中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。 众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。知识点2：表示数据离散程度的代表极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。极差=最大值最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。知识点3：方差的定义在一组数据 x1，x 2，x n 中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即S2= 来描述这组数据的离散程度，并把 S2叫做这组数据的方差。一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大；一组数据的方差越小，说明这组数据的离散程度越小。知识点4：标准差方差的算术平方根，即用 S= 来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。知识点5：方差与平均数的性质若 x1，x 2，x n 的方差是 S2，平均数是 ，则有x 1+b， x2+bxn+b 的方差为 S2，平均数是 +bax 1， ax2，ax n 的方差为 a2s2，平均数是 aax 1+b， ax2+b，ax n+b 的方差为 a2s2，平均数是 a +b二、 典型例题剖析1、数据 5,7,8,8,9 的众数是（ ）A.5 B.7 C.8 D.9【解析】.一组数据中的众数是指出现次数最多的数，8出现次数最多。【答案】选：C【点评】此题考查的是众数的定义，属于基础题。2、重庆农村医疗保险已经全面实施。某县七个村中享受了住院医疗费用报销的人数分别为：20,24,27,28,31,34,38，则这组数据的中位数是_解析：根据中位数的定义即可求出，答案：28点评：如果所给的数据没按大小顺序排列，第一步首先按大小顺序排列好，第二步，如果数据的个数是奇数个，中间的那位就是中位数，如果有偶数个，中间的两位的平均数是中位数。3、张老师想对同学们的打字能力进行测试，他将全班同学分成 5 组.经统计，这 5 个小组平均每分钟打字的个数如下：100，80，x，90，90.已知这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是 .解析： 显然众数是 90，所以平均数也是 90，故 100+80+x+90+90=905，得 x=90.答案：90.点评：本题考查众数、中位数与平均数，关键是理解众数、中位数与平均数的求法，特别是众数与中位数的求法，容易混淆.4、我市某一周每天的最高气温统计如下：27，28，29，29，30，29，28（单位：C 0） ，则这组数据的极差与众数分别是（A）2,28 (B)3,29 (C)2,27 (D) 3,28【解析】极差是数据中的最大值与最小值的差 30-27=3,众数是在数据中出现频率最多的数,在这数据中是 29,故选 B【答案】B【点评】本题考查极差与众数的概念,只要理解相关概念问题不难解决.5、一组数据1，0，3，5， x 的极差是 7，那么 x 的值可能有( )A.1 个 B.2 个 C.4 个 D.6 个【答案】B6、小华所在的九年级一班共有 50 名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学生的平均身高是 1.65 米，而小华的身高是 1.66 米，下列说法错误的是A1.65 米是该班学生身高的平均水平 来源:中教网*&%#B班上比小华高的学生人数不会超过 25 人C这组身高数据的中位数不一定是 1.65 米D这组身高数据的众数不一定是 1.65 米【解析】本题考查了一组数据中中位数、平均数、众数的概念及三者的取法，由平均数所反映的意义故 A 选项正确，由中位数与平均数的关系确定 C 选项正确，由众数与平均数的关系确定 D 选项正确，由于平均数受一组数据中的极大、小值的影响，故 B 选项错误【答案】B【点评】本题比较灵活的考查了一组数据中的三数（中位数、平均数、众数）及三者之间的关系，难度中等.7、从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对使用寿命进行跟踪调查，结果如下：（单位：年）甲：3、4、5、6、8、8、8、10乙：4、6、6、6、8、9、12、13丙：3、3、4、7、9、10、11、12三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年。请根据结果判断厂家在广告中分别运用平均数、众数、中位数中的哪一种表示集中趋势的特征数。甲： 乙： 丙： 解：众数、平均数、中位数8、甲、乙两名射击运动员在一次训练中，每人各打 10 发子弹，根据命中环数求得方差分别为 S 甲 20.6，S 乙 20.8，则运动员 的成绩比较稳定.【解析】据方差的意义可作出判断方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定根据方差分别为 S 甲 20.6，S 乙 20.8，可找到最稳定的【答案】S 甲 20.6S 乙 20.8，甲的成绩比较稳定.【点评】本题考查方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定三、 课堂检测1、一组数据 4，3，6，9，6，5 的中位数和众数分别是A5 和 5.5 B5.5 和 6 C5 和 6 D6 和 6【解析】把数据从小到大重新排列为 3，4，5，6，6，9，最中间的两个数 5 和 6 的平均数为 5.5，其中出现次最多的数是 6，所以这组数据的中位数和众数分别是 5.5 和 6【答案】B【点评】众数就是出现次数最多的数，易求，但不可将频数（即出现的次数）当作众数而求一组数据的中位数时，必须先将这组数按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数为奇数，最中间的一个数据是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数，那么最中间两个数据的平均数是这组数据的中位数2、一组数据 X 、X X 的极差是 8，则另一组数据 2X +1、2X +1，2X +1 的极差是（ 12n 12n）A8 B.16 C.9 D.173、已知一组数据 的众数为 4，则这组数据的平均数为（ ）5,3aA. B. C. D. 5621 世纪教育网【解析】由数据 的众数为 4，可得 a 为 4,再求这组数据 3，4，4，5 的平均数为5,3a4。【答案】选 B。【点评】此题考查众数和平均数的概念。4、6 个数据的平均数为 10，其中的一个为 5，那么其余 5 个数的平均数是（ ）5、已知，一组数据 x1,x2,，x n的平均数是 10，方差是 2，数据 x1+3,x2+3,，x n+3 的平均数是 方差是 ，数据 2x1,2x2,，2x n的平均数是 方差是 ，数据 2x1+3,2x2+3,，2x n+3 的平均数是 方差是 ，6 、下列说法正确的是【 】A、两名同学 5 次成绩的平均分相同，则方差较大的同学 成绩更稳定。B、某班选出两名同学参加校演讲比赛，结果一定是一名男生和一名女生C、学校气象小组预报明天下雨的概率为 0.8，则明天下雨的可能性较大.D、为了解我市学校“阳光体育”活动开展情况，必须采用普查的方法【答 案】C。7、下列说法正确的是（ ）A两组数据的极差相等，则方差也相等 B数据的方差越大，说明数据的波动越小C数据的标准差越小，说明数据越稳定 D数据的平均数越大，则数据的方差越大8、样本数据 3，6， , 4，2 的平均数是 3，则这个样本的方差是 。a9、数据 , , ， 的平均数为 ，标准差为 5，那么各个数据与 之差的平方和为1x2xmm_。10、已知数据 1，2，3，4，5 的方差为 2，则 11，12，13，14，15 的方差为_ ，标准差为_ 。11、甲乙两人在相同的条件下各射靶10次，他们的环数.的方差是S甲2=2.4，S乙2=3.2，则射击稳定性是（）A甲高B乙高C两人一样.多D不能确定12、若一组数据 ， ， 的方差是 5，则一组新数据 ， ， 的方差1a2na12a2na是A5 B10 C20 D5013、甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人 10 次射击的平均成绩恰好都是 9.4 环，方差分别是 S2 甲 2=0.90，S 乙 2=1.22，S 丙 2=0.43，S 丁 2=1.68，在本次射击测试中，成绩最稳定的是A甲 B乙 C丙 D 丁【解析】本题考查了方差的概念及意义.掌握方差的意义是关键.比较甲、乙、丙的方差大小即可【答案】由于 S 丁 2 S 乙 2 S 甲 2 S 丙 2，丙的方差最小，所以成绩最稳定的是丙，故选C【点评】考查一组数据的稳定程度其实质就是比较它们的方差、标准差或极差平均数相同或相差不大时，方差越小，这组数据就越稳定14（2014淮安）小华同学某体育项目 7 次测试成绩如下（单位：分）：9，7，10，8，10，9，10这组数据的中位数和众数分别为（ ）A8，10 B10，9 C8，9 D9，10众数；中位数.根据中位数和众数的定义分别进行解答即可解：把这组数据从小到大排列：7，8，9，9，10，10，10，最中间的数是 9，则中位数是 9；10 出现了 3 次，出现的次数最多，则众数是 10；故选 D此题考查了中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数） ，叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数15、从甲、乙两种棉花中各抽取10株，测得它们株高分别如下（单位：cm）甲：25，41，40，37，22，14，19，39，21，42；乙：27，16，44，27，44，16，40，40，16，40。（1）哪种棉花长得较高？.（2）哪种棉花长得较齐？解：（1） （25+41+40+37+22+14+19+39+21+42 ）=30（27+16+44+27+44+16+40+40+16+40）=31 乙种棉花长得高（2） 甲种棉花长得整齐某班四个小组的人数如下：10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数。解：平均数是中位数一定是四个数据中的两个数据的平均数（1）当 x8时，（2）当8x10时， （舍去）（3）当 x10时， x=12，此时中位数为1016、为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他的电脑知识进行了10次测试，成绩如下：（单位：分）甲的成绩 76 84 90 86 81 87 8