关于对称美在高中数学教学中的相关应用

关于对称美在高中数学教学中的相关应用关于对称美在高中数学教学中的相关应用公主岭市第三高级中学数学组 郑彤德国教育学家魏尔曾说:美与对称性紧密相关.对称是最能给人以美感的一种形式,它是整体中各个部分之间的匀称和对等.在数学上常常表现为数式或图形的对称,命题或结构的对偶或对应.在数学解题过程中,若能积极挖掘问题中隐含的对称性,巧妙地利用对称性,可使复杂的问题变得条理清楚,脉络分明,能化难为易、化繁为简.下面举例说明,供同学们在学习中参考.一、巧用数式结构对称解题数式结构的对称,必将蕴含着解法(证法)的对称.从而,具有相同结构特征的数式具有同等的地位,处理的手法必将相同.从数学中的对称美的角度出发,常能优化解题思路和简化解题过程. 在数学解题方面,对称方法往往使问题解决的过程简捷明快.因对称和谐,它唤起人们探索的兴趣,人们长去研究它,数学方法是一门科学又是一门艺术,因此研究数学中的对称美与对称性原理解题是有价值的课题.关原理键词: 对称性数学美对偶式对称性.对称美及对称性原理在数学发现中的用途举例.利用对称性,预测问题结果当人们面临一个课题或解一道数学难题时,往往先对结果作一大致的估量或预测而不是先用于计算或论证,有些数学问题可以根据其对称性,先预测结果,再进行证明.例 1. 已知 x,y,zR,且 x+y+z=1 求函数f(x,y,z)=+ 的最大值分析直接求最大值,无从下手,观察变量 x,y,z可知:它们在条件及函数 f(x,y,z)中均具有对称性,可预测当 x=y=z= 时函数取最大值.此时,函数f(x,y,z)的值为从而 +只需进一步检测预测结果的正确性,将求最值题转化为证明题,降低了原题的难度.上不等式通过基本不等式 不难证得.运用对称性,诱发解题灵感有些数学问题,用对称的眼光去观察审视,通过形式的补美造成对称或采用对称变换调整元素之间的关系,往往能诱发解题灵感,简化解题过程.例 2. 若 a,b,c 表示三角形三边之长,求证:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)3abc分析本题关于 a,b,c 是对称的,这就启发我们将 3abc 移到左平分给三个加项,即需证:a2(b+c-a)-abc+b2(c+a-b)-abc+c2(a+b-c)-abc0由对称性,我们只需变换上式左边中的某一项,如a2(b+c-a)-abc=ab(a-c)+a2(c-a)=a(a-b)(c-a)于是, 左边其余两项显然为:b(b-c)(a-b),c(c-a)(b-c)又因为关于 a,b,c 对称,故不妨假设 abc此时, c(c-a)(b-c)0而 a(a-b)(c-a) +a(a-b)(c-a)=(a-b)c(a-b)-(a2-b2)=(a-b)2c-(a+b)0从而原不等式获证.洞察对称性,巧妙转化问题对于一些数学问题,若能洞察到问题所具有的对称性,往往可将题巧妙转化,使问题解题思路简捷化难为易避繁就简.例 3. 自点 A(-3,3)发出光线 h 射到 x 到轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0 相切,求光线 h 所在的直线方程分析 :本题解法颇多,若能运用对称的思想,巧妙转化问题,不难发现原命题即为:”求过点 A(-3,3)且与c(x-2)2+(y-2)2=1 对称的圆c相切的直线方程”如图,这样的转化不但明确了解题思路,而且简化了解题计算量关于对称美在高中数学教学中的相关应用公主岭市第三高级中学数学组 郑彤德国教育学家魏尔曾说:美与对称性紧密相关.对称是最能给人以美感的一种形式,它是整体中各个部分之间的匀称和对等.在数学上常常表现为数式或图形的对称,命题或结构的对偶或对应.在数学解题过程中,若能积极挖掘问题中隐含的对称性,巧妙地利用对称性,可使复杂的问题变得条理清楚,脉络分明,能化难为易、化繁为简.下面举例说明,供同学们在学习中参考.一、巧用数式结构对称解题数式结构的对称,必将蕴含着解法(证法)的对称.从而,具有相同结构特征的数式具有同等的地位,处理的手法必将相同.从数学中的对称美的角度出发,常能优化解题思路和简化解题过程. 在数学解题方面,对称方法往往使问题解决的过程简捷明快.因对称和谐,它唤起人们探索的兴趣,人们长去研究它,数学方法是一门科学又是一门艺术,因此研究数学中的对称美与对称性原理解题是有价值的课题.关原理键词: 对称性数学美对偶式对称性.对称美及对称性原理在数学发现中的用途举例.利用对称性,预测问题结果当人们面临一个课题或解一道数学难题时,往往先对结果作一大致的估量或预测而不是先用于计算或论证,有些数学问题可以根据其对称性,先预测结果,再进行证明.例 1. 已知 x,y,zR,且 x+y+z=1 求函数f(x,y,z)=+ 的最大值分析直接求最大值,无从下手,观察变量 x,y,z可知:它们在条件及函数 f(x,y,z)中均具有对称性,可预测当 x=y=z= 时函数取最大值.此时,函数f(x,y,z)的值为从而 +只需进一步检测预测结果的正确性,将求最值题转化为证明题,降低了原题的难度.上不等式通过基本不等式 不难证得.运用对称性,诱发解题灵感有些数学问题,用对称的眼光去观察审视,通过形式的补美造成对称或采用对称变换调整元素之间的关系,往往能诱发解题灵感,简化解题过程.例 2. 若 a,b,c 表示三角形三边之长,求证:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)3abc分析本题关于 a,b,c 是对称的,这就启发我们将 3abc 移到左平分给三个加项,即需证:a2(b+c-a)-abc+b2(c+a-b)-abc+c2(a+b-c)-abc0由对称性,我们只需变换上式左边中的某一项,如a2(b+c-a)-abc=ab(a-c)+a2(c-a)=a(a-b)(c-a)于是, 左边其余两项显然为:b(b-c)(a-b),c(c-a)(b-c)又因为关于 a,b,c 对称,故不妨假设 abc此时, c(c-a)(b-c)0而 a(a-b)(c-a) +a(a-b)(c-a)=(a-b)c(a-b)-(a2-b2)=(a-b)2c-(a+b)0从而原不等式获证.洞察对称性,巧妙转化问题对于一些数学问题,若能洞察到问题所具有的对称性,往往可将题巧妙转化,使问题解题思路简捷化难为易避繁就简.例 3. 自点 A(-3,3)发出光线 h 射到 x 到轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0 相切,求光线 h 所在的直线方程分析 :本题解法颇多,若能运用对称的思想,巧妙转化问题,不难发现原命题即为:”求过点 A(-3,3)且与c(x-2)2+(y-2)2=1 对称的圆c相切的直线方程”如图,这样的转化不但明确了解题思路,而且简化了解题计算量关于对称美在高中数学教学中的相关应用公主岭市第三高级中学数学组 郑彤德国教育学家魏尔曾说:美与对称性紧密相关.对称是最能给人以美感的一种形式,它是整体中各个部分之间的匀称和对等.在数学上常常表现为数式或图形的对称,命题或结构的对偶或对应.在数学解题过程中,若能积极挖掘问题中隐含的对称性,巧妙地利用对称性,可使复杂的问题变得条理清楚,脉络分明,能化难为易、化繁为简.下面举例说明,供同学们在学习中参考.一、巧用数式结构对称解题数式结构的对称,必将蕴含着解法(证法)的对称.从而,具有相同结构特征的数式具有同等的地位,处理的手法必将相同.从数学中的对称美的角度出发,常能优化解题思路和简化解题过程. 在数学解题方面,对称方法往往使问题解决的过程简捷明快.因对称和谐,它唤起人们探索的兴趣,人们长去研究它,数学方法是一门科学又是一门艺术,因此研究数学中的对称美与对称性原理解题是有价值的课题.关原理键词: 对称性数学美对偶式对称性.对称美及对称性原理在数学发现中的用途举例.利用对称性,预测问题结果当人们面临一个课题或解一道数学难题时,往往先对结果作一大致的估量或预测而不是先用于计算或论证,有些数学问题可以根据其对称性,先预测结果,再进行证明.例 1. 已知 x,y,zR,且 x+y+z=1 求函数f(x,y,z)=+ 的最大值分析直接求最大值,无从下手,观察变量 x,y,z可知:它们在条件及函数 f(x,y,z)中均具有对称性,可预测当 x=y=z= 时函数取最大值.此时,函数f(x,y,z)的值为从而 +只需进一步检测预测结果的正确性,将求最值题转化为证明题,降低了原题的难度.上不等式通过基本不等式 不难证得.运用对称性,诱发解题灵感有些数学问题,用对称的眼光去观察审视,通过形式的补美造成对称或采用对称变换调整元素之间的关系,往往能诱发解题灵感,简化解题过程.例 2. 若 a,b,c 表示三角形三边之长,求证:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)3abc分析本题关于 a,b,c 是对称的,这就启发我们将 3abc 移到左平分给三个加项,即需证:a2(b+c-a)-abc+b2(c+a-b)-abc+c2(a+b-c)-abc0由对称性,我们只需变换上式左边中的某一项,如a2(b+c-a)-abc=ab(a-c)+a2(c-a)=a(a-b)(c-a)于是, 左边其余两项显然为:b(b-c)(a-b),c(c-a)(b-c)又因为关于 a,b,c 对称,故不妨假设 abc此时, c(c-a)(b-c)0而 a(a-b)(c-a) +a(a-b)(c-a)=(a-b)c(a-b)-(a2-b2)=(a-b)2c-(a+b)0从而原不等式获证.洞察对称性,巧妙转化问题对于一些数学问题,若能洞察到问题所具有的对称性,往往可将题巧妙转化,使