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关于数学建模总结关于数学建模总结一 经过这段时间的学习，了解了更多的关于这门学科的知识，可以说是见识了很多很多，作为一个数学系的学生，一直都有一个疑问，数学的应用在那里。对了，就在这里，在这里，我看到了很多，也学到了很多，关于各个学科，各个领域，都少不了数学，都是用建模的思想，来解决实际问题，很神奇。数学建模给了我很多的感触：它所教给我们的不单是一些数学方面的知识，更多的其实是综合能力的培养、锻炼与提高。它培养了我们全面、多角度考虑问题的能力，使我们的逻辑推理能力和量化分析能力得到很好的锻炼和提高。它还让我了解了多种数学软件，以及运用数学软件对模型进行求解。数学模型主要是将现实对象的信息加以翻译，归纳的产物。通过对数学模型的假设、求解、验证，得到数学上的解答，再经过翻译回到现实对象，给出分析、决策的结果。其实，数学建模对我们来说并不陌生，在我们的日常生活和工作中，经常会用到有关建模的概念。例如，我们平时出远门，会考虑一下出行的路线，以达到既快速又经济的目的；一些厂长经理为了获得更大的利润，往往会策划出一个合理安排生产和销售的最优方案这些问题和建模都有着很大的联系。而在学习数学建模训练以前，我们面对这些问题时，解决它的方法往往是一种习惯性的思维方式，只知道该这样做，却不很清楚为什么会这样做，现在，我们这种陈旧的思考方式己经在被数学建模训练中培养出的多角度、层次分明、从本质上区分问题的新颖多维的思考方式所替代。这种凝聚了许多优秀方法为一体的思考方式一旦被你把握，它就转化成了你自身的素质，不仅在你以后的学习工作中继续发挥作用，也为你的成长道路印下了闪亮的一页。数学建模所要解决的问题决不是单一学科问题，它除了要求我们有扎实的数学知识外，还需要我们不停地去学习和查阅资料，除了我们要学习许多数学分支问题外，还要了解工厂生产、经济投资、保险事业等方面的知识，这些知识决不是任何专业中都能涉猎得到的。它能极大地拓宽和丰富我们的内涵，让我们感到了知识的重要性，也领悟到了“学习是不断发现真理的过程”这句话的真谛所在，这些知识必将为我们将来的学习工作打下坚实的基础。从现在我们的学习来看，我们都是直接受益者。就拿数学建模比赛写的论文来说。原本以为这是一件很简单的事，但做起来才发觉事情并没有想象中的简单。因为要解决问题，凭我们现有的知识根本不够。于是，自己必须要充分利用图书馆和网络的作用，查阅各种有关资料，以尽量获得比较全面的知识和信息。在这过程中，对自己眼界的开阔，知识的扩展无疑大有好处，各学科的交叉渗透更有利于自己提高解决复杂问题的能力。毫不夸张的说，建模过程挖掘了我们的潜能，使我们对自己的能力有了新的认识，特别是自学能力得到了极大的提高，而且思想的交锋也迸发出了智慧的火花，从而增加了继续深入学习数学的主动性和积极性。再次，数学建模也培养了我们的概括力和想象力，也就是要一眼就能抓住问题的本质所在。我们只有先对实际问题进行概括归纳，同时在允许的情况下尽量忽略各种次要因素，紧紧抓住问题的本质方面，使问题尽可能简单化，这样才能解决问题。其实，在我们做论文之前，考虑到的因素有很多，如果把这一系列因数都考虑的话，将会花费更多的时间和精神。因此，在我们考虑一些因素并不是本质问题的时候，我就将这些因数做了假设以及在模型的推广时才考虑。这就使模型更加合理和理想。数学建模还能增强我们的抽象能力以及想象力。对实际问题再进行“翻译” ，即进行抽象，要用我们熟悉的数学语言、数学符号和数学公式将它们准确的表达出来。下面用一个具体的实例，来介绍建模的具体应用：传染病问题的研究一模型假设1.在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。总人口数 N(t)不变，人口始终保持一个常数 N。人群分为以下三类：易感染者(Susceptibles)，其数量比例记为 s(t)，表示 t 时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为 i(t)，表示 t 时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者(Recovered)，其数量比例记为 r(t)，表示 t 时刻已从染病者中移出的人数占总人数的比例。2.病人的日接触率为常数 ，日治愈率为常数 ，显然平均传染期为 1，传染期接触数为 =。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。二模型构成在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：在假设 1s(t) + i(t) + r(t) = 1对于病愈免疫的移出者的数量应为NdrNi dt不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为 s0，i0，r0=0. SIR 基础模型用微分方程组表示如下：didtsiidssidtdrdtis(t) ， i(t)的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计 s(t) ， i(t)的一般变化规律。三数值计算在方程中设 =1，=，i= ，s=，用 MATLAB 软件编程：function y=ill(t,x)a=1;b=;y=;ts=0:50;x0=;=ode45(ill,ts,x0);四相轨线分析我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解 i,s 的性质。D = | s0，i0 ， s + i 1在方程中消去 dt 并注意到 的定义，可得di11i|ss0i0 dss所以：diis111ds di1ds i0s0ss利用积分特性容易求出方程(5)的解为：i(s0i0)s1lns s0在定义域 D 内,(6)式表示的曲线即为相轨线,如图 3 所示.其中箭头表示了随着时间 t 的增加s(t)和 i(t)的变化趋向下面根据(3),(17)式和图 9 分析 s(t),i(t)和 r(t)的变化情况(t时它们的极限值分别记作 s, i 和 r).1. 不论初始条件 s0,i0 如何,病人消失将消失,即：i002.最终未被感染的健康者的比例是 ,在(7)式中令 i=0得到, 是方程s0i0s1lns0 s0在(0,1/)内的根.在图形上 是相轨线与 s 轴在(0,1/)内交点的横坐标3.若 s01/,则开始有 di1d11o，i(t)先增加, 令i1=0，可得当 dssdsss=1/ 时,i(t)达到最大值：1ims0i01lns0)然后 s 如图 3 中由 P1(s0，i0)出发的轨线4.若 s0 1/,则恒有 di110，i(t)单调减小至零,s(t)单调减小至 s,如图 3dss中由 P2(s0,i0)出发的轨线可以看出,如果仅当病人比例 i(t)有一段增长的时期才认为传染病在蔓延,那么 1/ 是一个阈值,当 s01/(即1/s0)时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数 ,即提高阈值 1/ 使得 s01/(即 1/s0),传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值 s0 是一定的,通常可认为 s0 接近 1)。并且,即使 s01/,从(19),(20)式可以看出, 减小时, s 增加(通过作图分析), im 降低,也控制了蔓延的程度.我们注意到在 = 中,人们的卫生水平越高,日接触率 越小;医疗水平越高,日治愈率 越大,于是 越小,所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延.从另一方面看, ss1/是传染期内一个病人传染的健康者的平均数,称为交换数,其含义是一病人被 s 个健康者交换.所以当 s01/即 s01 时必有 .既然交换数不超过 1,病人比例 i(t)绝不会增加,传染病不会蔓延。五群体免疫和预防根据对 SIR 模型的分析,当 s01/时传染病不会蔓延.所以为制止蔓延,除了提高卫生和医疗水平,使阈值 1/ 变大以外,另一个途径是降低 s0 ,这可以通过比如预防接种使群体免疫的办法做到.忽略病人比例的初始值 i0 有 s01r0,于是传染病不会蔓延的条件 s01/可以表为 r011这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例满足式，就可以制止传染病的蔓延。这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这是很难做到的。据估计当时印度等国天花传染病的接触数 =5，由式至少要有 80%的人接受免疫才行。据世界卫生组织报告，即使花费大量资金提高 r0，也因很难做到免疫者的均匀分布，使得天花直到 1977 年才在全世界根除。而有些传染病的 更高，根除就更加困难。六模型验证上世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者的人数，即有了模型作了验证。首先，由方程，可以得到 dr 的实际数据，Kermack 等人用这组数据对 SIRdtdsdsisisr dtdt1 上式两边同时乘以 dt 可 dsdr，两边积分得 sr1srsde lns|rsrss0sr000s0s所以： s(t)s0er(t) (12)关于数学建模总结二 系 别班 级姓 名学 号教 师时 间认识学习总结数学建模随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛，人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度，通过数学建模解数学应用题，提高学生的综合素质。一、数学应用题的特点我们常把来源于客观世界的实际，具有实际意义或实际背景，要通过数学建模的方法将问题转化为数学形式表示，从而获得解决的一类数学问题叫做数学应用题。数学应用题具有如下特点：第一、数学应用题的本身具有实际意义或实际背景。这里的实际是指生产实际、社会实际、生活实际等现实世界的各个方面的实际。如与课本知识密切联系的源于实际生活的应用题；与模向学科知识网络交汇点有联系的应用题；与现代科技发展、社会市场经济、环境保护、实事政治等有关的应用题等。第二、数学应用题的求解需要采用数学建模的方法，使所求问题数学化，即将问题转化成数学形式来表示后再求解。第三、数学应用题涉及的知识点多。是对综合运用数学知识和方法解决实际问题能力的检验，考查的是学生的综合能力，涉及的知识点一般在三个以上，如果某一知识点掌握的不过关，很难将问题正确解答。第四、数学应用题的命题没有固定的模式或类别。往往是一种新颖的实际背景，难于进行题型模式训练，用“题海战术”无法解决变化多端的实际问题。必须依靠真实的能力来解题，对综合能力的考查更具真实、有效性。因此它具有广阔的发展空间和潜力。二、数学应用题如何建模建立数学模型是解数学应用题的关键，如何建立数学模型可分为以下几个层次：第一层次：直接建模。根据题设条件，套用现成的数学公式、定理等数学模型。第二层次：直接建模。可利用现成的数学模型，但必须概括这个数学模型，对应用题进行分析，然后确定解题所需要的具体数学模型或数学模型中所需数学量需进一步求出，然后才能使用现有数学模型。第三层次：多重建模。对复杂的关系进行提炼加工，忽略次要因素，建立若干个数学模型方能解决问题。第四层次：假设建模。要进行分析、加工和作出假设，然后才能建立数学模型。如研究十字路口车流量问题，假设车流平稳，没有突发事件等才能建模。三、建立数学模型应具备的能力从实际问题中建立数学模型，解决数学问题从而解决实际问题，这一数学全过程的教学关键是建立数学模型，数学建模能力的强弱，直接关系到数学应用题的解题质量，同时也体现一个学生的综合能力。31 提高分析、理解、阅读能力。阅读理解能力是数学建模的前提，数学应用题一般都创设一个新的背景，也针对问题本身使用一些专门术语，并给出即时定义。如 1999 年高考题第 22 题给出冷轧钢带的过程叙述，给出了“减薄率”这一专门术语，并给出了即时定义，能否深刻理解，反映了自身综合素质，这种理解能力直接影响数学建模质量。32 强化将文字语言叙述转译成数学符号语言的能力。将数学应用题中所有表示数量关系的文字、图象语言翻译成数学符号语言即数、式子、方程、不等式、函数等，这种译释能力是数学建成模的基础性工作。 例如：一种产品原来的成本为 a 元，在今后几年内，计划使成本平均每一年比上一年降低 p%，经过五年后的成本为多少将题中给出的文字翻译成符号语言，成本 y=a(1-p%)533 增强选择数学模型的能力。选择数学模型是数学能力的反映。数学模型的建立有多种方法，怎样选择一个最佳的模型，体现数学能力的强弱。建立数学模型主要涉及到方程、函数、不等式、数列通项公式、求和公式、曲线方程等类型。结合教学内容，以函数建模为例，以下实际问题所选择的数学模型列表：函数建模类型 实际问题一次函数 成本、利润、销售收入等二次函数 优化问题、用料最省问题、造价最低、利润最大等幂函数、指数函数、对数函数 细胞分裂、生物繁殖等三角函数 测量、交流量、力学问题等 。34 加强数学运算能力。数学应用题一般运算量较大、较复杂，且有近似计算。有的尽管思路正确、建模合理，但计算能力欠缺，就会前功尽弃。所以加强数学运算推理能力是使数学建模正确求解的关键所在，忽视运算能力，特别是计算能力的培养，只重视推理过程，不重视计算过程的做法是不可取的。数学模型是数学知识与数学应用的桥梁，研究和学习数学模型，能帮助学生探索数学的应用，产生对数学学习的兴趣，培养学生的创新意识和实践能力，加强数学建模教学与学习对学生的智力开发具有深远的意义，现就如何加强高中数学建模教学谈几点体会。一要重视各章前问题的教学，使学生明白建立数学模型的实际意义。教材的每一章都由一个有关的实际问题引入，可直接告诉学生，学了本章的教学内容及方法后，这个实际问题就能用数学模型得到解决，这样，学生就会产生创新意识，对新数学模型的渴求，实践意识，学完要在实践中试一试。如新教材“三角函数”章前提出：有一块以 O 点为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形 ABCD辟为绿册，使其册边 AD 落在半圆的直径上，另两点 BC 落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为 a，如何选择关于点O 对称的点 A、D 的位置，可以使矩形面积最大？这是培养创新意识及实践能力的好时机要注意引导，对所考察的实际问题进行抽象分析，建立相应的数学模型，并通过新旧两种思路方法，提出新知识，激发学生的知欲，如不可挫伤学生的积极性，失去“亮点” 。这样通过章前问题教学，学生明白了数学就是学习，研究和应用数学模型，同时培养学生追求新方法的意识及参与实践的意识。因此，要重视章前问题的教学，还可据市场经济的建设与发展的需要及学生实践活动中发现的问题，补充一些实例，强化这方面的教学，使学生在日常生活及学习中重视数学，培养学生数学建模意识。二通过几何、三角形测量问题和列方程解应用题的教学渗透数学建模的思想与思维过程。学习几何、三角的测量问题，使学生多方面全方位地感受数学建模思想，让学生认识更多现在数学模型，巩固数学建模思维过程、教学中对学生展示建模的如下过程：现实原型问题数学模型数学抽象简化原则演算推理现实原型问题的解数学模型的解反映性原则返回解释列方程解应用题体现了在数学建模思维过程，要据所掌握的信息和背景材料，对问题加以变形，使其简单化，以利于解答的思想。且解题过程中重要的步骤是据题意更出方程，从而使学生明白，数学建模过程的重点及难点就是据实际问题特点，通过观察、类比、归纳、分析、概括等基本思想，联想现成的数学模型或变换问题构造新的数学模型来解决问题。如利息的数列模型、利润计算的方程模型决策问题的函数模型以及不等式模型等。三结合各章研究性课题的学习，培养学生建立数学模型的能力，拓展数学建模形式的多样性式与活泼性。高中新大纲要求每学期至少安排一个研究性课题，就是为了培养学生的数学建模能力，如“数列”章中的“分期付款问题” 、 “平面向是章中向量在物理中的应用”等，同时，还可设计类似利润调查、洽谈、采购、销售等问题。设计了如下研究性问题。例 1 根据下表给出的数据资料，确定该国人口增长规律，预测该国 XX 年的人口数。时间(年份) 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990人中数(百万) 39 50 63 76 92 106 123 132 145分析：这是一个确定人口增长模型的问题，为使问题简化，应作如下假设：该国的政治、经济、社会环境稳定；该国的人口增长数由人口的生育，死亡引起；人口数量化是连续的。基于上述假设，我们认为人口数量是时间函数。建模思路是根据给出的数据资料绘出散点图，然后寻找一条直线或曲线，使它们尽可能与这些散