高中数学知识点总结及公式大全

高中数学知识点总结及公式大全篇一：高中数学知识点总结(最全版)数 学 知 识 点 总 结 引言 1.课程内容： 必修课程由 5 个模块组成： 必修 1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修 2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修 3：算法初步、统计、概率。 必修 4：基本初等函数（三角函数） 、平面向量、三角恒等变换。 必修 5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有 4 个系列： 系列 1：由 2 个模块组成。 选修 11：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修 12：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列 2：由 3 个模块组成。 选修 21：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修 22：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修 23：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列 3：由 6 个专题组成。 选修 31：数学史选讲。 选修 32：信息安全与密码。 选修 33：球面上的几何。 选修 34：对称与群。 选修 35：欧拉公式与闭曲面分类。 选修 36：三等分角与数域扩充。 系列 4：由 10 个专题组成。 选修41：几何证明选讲。 选修 42：矩阵与变换。 选修43：数列与差分。 选修 44：坐标系与参数方程。 选修 45：不等式选讲。 选修 46：初等数论初步。 选修 47：优选法与试验设计初步。 选修 48：统筹法与图论初步。 选修 49：风险与决策。 选修 410：开关电路与布尔代数。 2重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点：集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与 指数函数、对数与对数函数、函数的应用 数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函 数的图象与性质、三角函数的应用 平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应 用 直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系 圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应 用 直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量 排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用 概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布 导数：导数的概念、求导、导数的应用 复数：复数的概念与运算 高中数学 必修 1 知识点第一章 集合与函数概念 集合 集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N?或 N?表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象 a 与集合 M 的关系是 a?M，或者 a?M，两者必居其一. （4）集合的表示法 自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. 描述法：x|x 具有的性质，其中 x 为集合的代表元素. 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集(?). 集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 nnnn （7）已知集合 A 有 n(n?1)个元素，则它有 2 个子集，它有 2?1 个真子集，它有 2?1 个非空子集，它有 2?2 非空真子集. 集合的基本运算 （1）含绝对值的不等式的解法 （2）一元二次不等式的解法 函数的概念（1）函数的概念 设 A、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A 中任何一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合 A，B 以及 A 到 B 的对应法则 f）叫做集合 A 到 B 的一个函数，记作 f:A?B 函数的三要素:定义域、值域和对应法则 只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 （2）区间的概念及表示法 设 a,b 是两个实数，且 a?b，满足 a?x?b 的实数 x的集合叫做闭区间，记做a,b；满足 a?x?b 的实数 x 的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足 a?x?b，或 a?x?b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间， ,分别记做ab),x?,a?x,b?的 x 实 b 数 x 的集合分别记做，(a,b；满足 x?a a?,?)a,(?,)?b,?(,?b ? 注意：对于集合x|a?x?b与区间(a,b)，前者 a 可以大于或等于 b，而后者必须 篇二：高中数学知识点总结及公式大全高中数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性” 。 如：集合 A?x|y?lgx?，B?y|y?lgx?，C?(x,y)|y?lgx?，A、B、C 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合 A?x|x?2x?3?0，B?x|ax?1? 2? 若 B?A，则实数 a 的值构成的集合为 （答：?1，0，?） 3. 注意下列性质： （1）集合 a1，a2，?，an 的所有子集的个数是 2； （2）若 A?B?A?B?A，A?B?B； （3）德摩根定律： ?1?3?nCU?A?B?CUA?CUB?，CU?A?B?CUA?CUB? ax?5?0 的解集为 M，若 3?M 且 5?M，求实数 a 2x?a 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于 x 的不等式 的取值范围。 （3?M， a3?5?023?a a5?5?052?a5?a?1，?9，25?） 3?5?M， 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(?)， “且”(?)和 “非”(?). 若 p?q 为真，当且仅当 p、q 均为真 若 p?q 为真，当且仅当 p、q 至少有一个为真 若?p 为真，当且仅当 p 为假 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。 ） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射 f：AB，是否注意到A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许 B 中有元素无原象。 ） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函数 y?x4?xlg?x?3?2 的定义域是 （答：0，2?2，3?3，4） 10. 如何求复合函数的定义域？ 如：函数 f(x)的定义域是 a，b，b?a?0，则函数 F(x)?f(x)?f(?x)的定 义域是_。 （答：a，?a） 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 如：f 令 t? 2x?1?ex?x，求 f(x). ?x?1，则 t?0 x?t?1 f(t)?et2?1?t2?1 ?x2?1?x?0? (来自: 小龙 文档 网:高中数学知识点总结及公式大全)f(x)?ex2?1 12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （反解 x；互换 x、y；注明定义域） ?1?x 如：求函数 f(x)?2?x ?1?x?0?的反函数 ?x?0?x?1?x?1? （答：f(x)?） ?x?x?0? 13. 反函数的性质有哪些？ 互为反函数的图象关于直线 yx 对称； 保存了原来函数的单调性、奇函数性； 设 y?f(x)的定义域为 A，值域为 C，a?A，b?C，则f(a)=b?f(b)?a ?1 ?f?1?f(a)?f?1(b)?a，f?f?1(b)?f(a)?b14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？ （y?f(u)，u?(x)，则 y?f?(x)? （外层） （内层） 当内、外层函数单调性相同时 f?(x)?为增函数，否则 f?(x)?为减函数。 ） 如：求 y?log1?x?2x 的单调区间 2?2? （设 u?x?2x，由 u?0 则 0?x?2 且 log1u?，u?x?1?1，如图： 222 当 x?(0，1时，u?，又 log1u?，y? 2 当 x?1，2)时，u?，又 log1u?，y? 2 ?） 15. 如何利用导数判断函数的单调性？ 在区间 a，b 内，若总有 f(x)?0 则 f(x)为增函数。（在个别点上导数等于 ? 零，不影响函数的单调性） ，反之也对，若 f(x)?0呢？ 如：已知 a?0，函数 f(x)?x?ax 在 1，?上是单调增函数，则 a 的最大 值是（ ） A. 0B. 1 23? C. 2D. 3 f(x)?3x?a?3?x? （令?a?a?x?0 3?3? 则 x?a 或 x?3a 3 由已知 f(x)在1，?)上为增函数，则 a?1，即 a?3 3a 的最大值为 3） 16. 函数 f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称） 若 f(?x)?f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称 若 f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于 y轴对称 注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 （2）若 f(x)是奇函数且定义域中有原点，则 f(0)?0。 a2x?a?2 为奇函数，则实数 a? 如：若 f(x)?x2?1 （f(x)为奇函数，x?R，又 0?R，f(0)?0 a20?a?2?0，a?1） 即 02?1 2x ， 又如：f(x)为定义在(?1，1)上的奇函数，当x?(0，1)时，f(x)?x4?1 求 f(x)在?1，1?上的解析式。 2?x （令 x?1，0?，则?x?0，1?，f(?x)?x 4?1 2?x2x ? 又 f(x)为奇函数，f(x)?x 4?11?4x ?2x ?x?4?1 又 f(0)?0，f(x)?x?2 ?4x?1 17. 你熟悉周期函数的定义吗？ （若存在实数 T（T?0） ，在定义域内总有 f?x?T?f(x)，则 f(x)为周期 函数，T 是一个周期。 ） 如：若 f?x?a?f(x)，则 x?(?1，0)x?0x?0，1?） （答：f(x)是周期函数，T?2a 为 f(x)的一个周期） 又如：若 f(x)图象有两条对称轴 x?a，x?b? 即 f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)则 f(x)是周期函数，2a?b 为一个周期 如： 18. 你掌握常用的图象变换了吗？ f(x)与 f(?x)的图象关于 y 轴对称 f(x)与?f(x)的图象关于 x 轴对称 f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称 f(x)与 f?1(x)的图象关于直线 y?x 对称 f(x)与 f(2a?x)的图象关于直线 x?a 对称 f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，0)对称 左移 a(a?0)个单位 y?f(x?a)? 将 y?f(x)图象? y?f(x?a)右移 a(a?0)个单位 ? ? 注意如下“翻折”变换： 上移 b(b?0)个单位下移 b(b?0)个单位 y?f(x?a)?by?f(x?a)?b f(x)?f(x) f(x)?f(|x|) 如：f(x)?log2?x?1? 作出 y?log2?x?1?及 y?log2x?的图象 篇三：高中数学知识点总结和大学所有数学公式高中数学第一章-集合 考试内容： 集合、子集、补集、交集、并集 逻辑联结词四种命题充分条件和必要条件 考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合 （2）理解逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义 01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简） 、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： 任何一个集合是它本身的子集，记为 A?A； 空集是任何集合的子集，记为?A； 空集是任何非空集合的真子集； 如果 A?B，同时 B?A，那么 A = B. 如果A?B，B?C，那么 A?C. 注：Z= 整数（）Z =全体整数 （3） 已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集，则集合 A 也是有限集.（3） （例：S=N； A=N，则 CsA= 0） 空集的补集是全集. 若集合 A=集合 B，则 CBA = ?， CAB = ? CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ?）. 3. （x，y）|xy =0，xR，yR坐标轴上的点集. （x，y）|xy0，xR，yR ? ?二、四象限的点集. （x，y）|xy0，xR，yR 一、三象限的点集. 注：对方程组解的集合应是点集. 例： ?x?y?3?2x?3y?1 解的集合(2，1). 点集与数集的交集是?. （例：A =(x，y)| y =x+1 B=y|y =x2+1 则 AB =?） 4. n 个元素的子集有 2n 个. n 个元素的真子集有 2n 1 个.n 个元素的非空真子集有 2n2 个. 5. ?一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. 一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：若 a?b?5，则 a?2 或 b?3 应是真命题. 解：逆否：a = 2 且 b = 3，则 a+b = 5，成立，所以此命题为真. x?1 且 y?2?y?3. 解：逆否：x + y =3 ?x?1 且 y?2 x = 1 或 y = 2. x?y?3,故 x?y?3 是 x?1 且 y?2 的既不是充分，又不是必要条件. ?小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若 x?5，?x?5 或 x?2. 4. 集合运算：交、并、补. 交：A?B?x|x?A,且 x?B并：A?B?x|x?A 或 x?B 补：CUA?x?U,且 x?A 5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系： A?A,?A,A?U,CUA?U, A?B,B?C?A?C;A?B?A,A?B?B;A?B?A,A?B?B. （2） （3） 等价关系：A?B?A?B?A?A?B?B?CUA?B?U 集合的运算律：交换律：A?B?B?A;A?B?B?A. 结合律:(A?B)?C?A?(B?C);(A?B)?C?A?(B?C) 分配律:.A?(B?C)?(A?B)?(A?C);A?(B?C)?(A?B)?(A?C) 0-1 律：?A?,?A?A,U?A?A,U?A?U 等幂律：A?A?A,A?A?A. 求补律：ACUA= ACUA=U ?CUU= ?CU=U 反演律：CU(AB)= (CUA)(CUB)CU(AB)= (CUA)(CUB) 6. 有限集的元素个数 定义：有限集 A 的元素的个数叫做集合 A 的基数，记为 card( A)规定 card() =0.基本公式： (1)card(A?B)?card(A)?card(B)?card(A?B)(2)card(A?B?C)?card(A)?card(B)?card(C) ?card(A?B)?card(B?C)?card(C?A)?card(A?B?C) (3) card(?UA)= card(U)- card(A) (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法） 将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)?(x-xm)0( 由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？） ； 若不等式（x 的系数化“+”后）是“0”,则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等式是“ 找“线”在x 轴下方的区间. x （自右向左正负相间） 则不等式 a0x n ?a1x n?1 ?a2x n?2 ?an?0(?0)(a0?0)的解可以根据各区间的符号确定. 特例 一元一次不等式 axb 解的讨论； 一元二次不等式 ax2+box0(a0)解的讨论. 2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为f(x)g(x) 0(或 f(x)g(x) f(x)g(x) 0(或 f(x)g(x) 0)的形式， （2）转化为整式不等式（组） f(x)g(x) ?0?f(x)g(x)?0; f(x)g(x)?0 ?0?g(x)?0 ?g(x) f(x) 3.含绝对值不等式的解法 （1）公式法：ax?b?c,与 ax?b?c(c?0)型的不等式的解法. （2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论. （3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0) （1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之. （2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑 1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题： “或” 、 “且” 、 “非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式：p 或 q(记作“pq” )；p 且q(记作“pq” )；非 p(记作“q” ) 。 3、 “或” 、 “且” 、 “非”的真值判断 （1） “非 p”形式复合命题的真假与 F 的真假相反； （2） “p 且 q”形式复合命题当 P与 q 同为真时为真，其他情况时为假； （3） “p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假，其他情况时为真 4、四种命题的形式： 原命题：若 P 则 q； 逆命题：若 q 则 p； 否命题：若P 则q；逆否命题：若q 则p。 (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题 5、四种命题之间的相互关系： 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题?逆否命题) 、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 、原命题为真，它的否命题不一定为真。 、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知 p?q 那么我们说，p 是 q 的充分条件，q是 p 的必要条件。 若 p?