【数学】23个求极值和值域专题20

23 个求极值和值域专题 tobeenough 2.0 版第 1 页23 个求极值和值域专题 1、求函数 的值域.2fx3x()2、求函数 的值域.71x3、求函数 的值域. 544、求函数 的 值域.2xf()5、已知函数 （其中 ）的值域是 ，求 实数 .2bc1013,bc,6、已知： 为正实数，且 ，求函数 的最小值.xyz,xyz22xyzfyz(,)7、已知： ，求： 的最小值.223fx(,)8、设函数 在区间 的最小值为 ，最大 值为 ，求区间 .1f()ab2a2ba,9、已知： ，求函数 的最大值.2xy5fy86508y6x50(,)10、求函数： 的最小 值.22fx01x()11、求函数： 的值域.2412、已知实数 满足 和 ，求 的最小值. 13x, 321x1223x3x13、求函数： 的最小值. fyyy6()()()14、已知： ，求函数： 的最小值. 5f,15、已知点 在椭圆 上，求 的最大值. Px(,)2149x2()16、求函数： 的值域. f8317、求函数： 的值域. 21x()18、求函数： 的最大fx12x3xsinsisinsisinsi值. 19、设： 为正实数，且 满足 ，i230(,.,)1220.试求： 的最小值. 1232031yx.20、已知 为正实数，且满足 ，xz, yz1求： 的最大值. 22zfyx(,)21、设 为锐角，求： 的最小 值. f()()sincos22、设 为锐角，求证： . ta23 个求极值和值域专题 tobeenough 2.0 版第 2 页23、已知 为正实数，求证： . xyz, 2xyz5223 个求极值和值域专题解析1、求函数 的值域.2fx3x()解析：函数 的定义域为： .x12()12(,)函数的导函数为： 23fx1()()(当 时， ，则x1(,3x0223x1()(故 23xfx101()()(即：函数 在 区间为单调递减函数，故： ；f),fx1()xxf(lim(li()2222x33x()(li lim22xx2x 312331xli li 故：函数在该区间的值域是 . 12,)当 时， ，则x2,)3x023xfx101()()(23 个求极值和值域专题 tobeenough 2.0 版第 3 页即：函数 在 区间为单调递增函数，故： ；fx()2,)fx2()2x3xlimli()故：函数在该区间的值域是 .,)综上，函数的值域是 .312,)本题采用导数的正负来确定函数的增减，此法称 为“单调性法 ”. 2、求函数 的值域.fx7x()解析：函数 的定义域是： . 待定系数法用于柯西不等式来解本题.013,设： ，则柯西不等式 为：ABC,22221x713xCfxABC()()()()即： fAB7()()令： ，即： C0由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得： x27B13xC由得： ，即： ，即： 2A27CAx27A将代入得： 22213()()即： 2C137C()即： ，即： 22A40A()221340A7()()试解 ，由于 ，则式刚好也是 3 项相乘，不妨试解采用各项都是 3.73则： ，且 . 则： ， ，C211CB3代入 得： ，即 时函数取得极大 值.227Ax9x函数极大值为 f9716231()23 个求极值和值域专题 tobeenough 2.0 版第 4 页当 时，函数 在本区间为单调递增函数. 故：x09,fx()f2713013()即：函数 在 区间的值域是9,当 时，函数 在本区间为单调递减函数. 故：x913,fx()f271340132013()即：函数 在 区间的值域是9,2,综上，函数 的值域是 .fx(),本题采用“待定系数法”、 “柯西不等式 ”和“单调性法”.3、求函数 的值域. f5243x()解析：函数 的定义域是： . 待定系数法用于柯西不等式来解本题.x8,设： ，则柯西不等式 为：AB0,2221Ax5B43xfxAB()()()即： 2 1fx3x4()()令： ，即： AB0由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得： Ax5B243x即： ，即： ，即：22x543x()()253B88A即： ，即： ，即： 23BA82A23x将式代入 式得： 7B79x881439当 时，函数 达到极大 值. 极大值为：23x4f()2323f544() 23 个求极值和值域专题 tobeenough 2.0 版第 5 页3243273函数的导函数为： 1243x5fx25() 当 区间时， ，函数 单调递增 . 故：23x54,f0()fx()f035()即：函数 在本区间的值域是 .x2,当 区间时， ，函数 单调递减 . 故：2384,fx0()fx()fx53()即：函数 在本区间的值域是 .2,综上，函数 的值域是 .f(),本题采用“待定系数法”、 “柯西不等式 ”和“单调性法”.4、求函数 的值域.2x1f()解析：函数 的定义域是： . 则函数 为：1(,)(,)fx()（当 时取负号，当 时取正号）22x1xf gx()()11于是函数的极值在： g0即：22243x1x1g x10()() ()()()()即： ，即：20(在 区间，函数 的极值为：x1,)fx() 21fx()(在区间的边界有：23 个求极值和值域专题 tobeenough 2.0 版第 6 页22xxx11xflim()li()lim()2x1x1fli()li()故：函数 在该区间的值域是 .f() 2(,在 区间，函数 ，为单调递减函数. x1(,)22x1xf 1()()故有： ；x1x1ff()lim()li()2 2xxff 11()li()li(lim()故：函数 在该区间的值域是 . x1,综上，函数 的值域是 . 本题 方法属“单调性法”f()2(,(,)5、已知函数 （其中 ）的值域是 ，求 实数 .2xbcf1()013,bc,解析：函数的定义域为 .R将函数变形为： ，即：22yxbc()2yxy0()()其判别式不等式为： 24y8c4()即： 22bc0()()而函数 的值域是 ，即： ，即： fx13,y130()234y0对比 两式得： ， ，即 ，因 ，故：c2bc)2b1()b故：实数 ， . 此法称 为“判别式法”.b6、已知： 为正实数，且 ，求函数 的最小值.xyz,xyz22xyzfyz(,)23 个求极值和值域专题 tobeenough 2.0 版第 7 页解析：首先设 ，代入 得： ，即： ，则： xyzaxyz3a当 时，由均值不等式 ，即： 得：3nQA22xyzxyz322xyzxyxyz3()()则：22zf 3yzy()(,)当 时，由均值不等式 ，即： 得：xyz3nAG223xyzxy()22xyz()则：2333xyzfyz z()(,) ()()当 时，由均值不等式 ，即：x3nQA22xyzy)代入已知条件 ， 得：yzxz3()()则：22yzxfxz3()(,)故：由、得， 的最小值是 .22fyz(,)3本题先确定 均值，然后在 均值和 均值 下求极值.此法称为“分别讨论法”.xyzx7、已知： ，求： 的最小值.2231fxy(,)解析：由已知条件 得： y21()代入 得：fxx(,) 2fyzyyx1(,) ()即： 2y10()令： ，则方程变为：t2tz()采用判别式法得： ，即： ，即：1401z8()9z23 个求极值和值域专题 tobeenough 2.0 版第 8 页故： 的最小值是 . 此题采用的是“判别式法”fxyxy(,)988、设函数 在区间 的最小值为 ，最大 值为 ，求区间 .213f()ab,2a2ba,解析：首先， 是一个偶函数，在 区间单调递增，在 区间单调递减.x0(,)0(,)当 时， 为单调递 减函数，即： .0abf()fab)故： 是最大值为 ， 是最小值为 . 即：f()2fb(2即： （*）213afba()24b130a（*）两式相减得： ，即： b40()()b4则: ，即： 2a16()2a162a（*）两式相加得： ()()将式代入后化 简得： b3由得： ， . 则区间 为 .a1a,13,当 、 时， 的最大值是 ，即： .0bfx()f02()13bi.若 ，则 的最小值为： ，af()faa()即： ，解之及 可得： ，241300217故此时区间 为 .ab,13274,ii.若 则 的最小值为： ，fx()213fba()即： ，22131339ab444646()()则： . 不符合题设，即此 时无解.0当 时，由 是一个偶函数可得： ，故：fx()fab()23 个求极值和值域专题 tobeenough 2.0 版第 9 页是最小值为 ， 是最大值为 ，即：fa()2afb()2b即：213fbb()24a130则： 为一元二次方程 的两个根，a,2x4130由韦达定理得： ，则由 得：bab异号，不符合题设，即此时无解.ab,综上，区间 为 或 . 本题采用“分 别讨论法”和“极值法”.,13,13274,9、已知： ，求函数 的最大值.2xy5fxy86x508y6x50(,)解析：由 可知，函数 的定义域是： ，,有均值不等式 ，即：nAQ228y6x508y6x508y6x508y6x502()()即：2f()()(,) 即： xy285061,当 时， ， ，即可以取到不等式的等号。5f(,)故：函数 的最大值是 . 本题采用 ，称为“均值不等式”.fy(,) nAQ10、求函数： 的最小 值.22x10x68解析：函数 22f x13x8() ()()其定义域为： R令： ，mx13(),nx82(,)则： ， ，22mn75(,)于是： fx754()23 个求极值和值域专题 tobeenough 2.0 版第 10 页当 时， ，即： ，mn/x1382()x8210()()即： ，则：52606522f138()()()22225145375 79所以， 是可以取到的. 故 的最小值是 .4fx()74正是由于 时，函数 取到极值，所以有人 总结出此mn/2213x8()类题的解法用 来解，即 设 ，代入 ， 后得：nm1,nx82(,)x13x8x8(),(,)(,) 即： ，即： ，2321()即： ，即： ，814x32126x5这两个结果分别对应于 的极小值22fx068()和 的极大值.2fx1068()本题采用的是“向量法”.11、求函数： 的值域.2xf4()解析：先求函数的定义域. 定义域为： 2本题采用判别式法解题.由 等价变形为：2xy422yx4yx即： 21y10()()23 个求极值和值域专题 tobeenough 2.0 版第 11 页式上面方程有解得判别式是： 24y14y0()()即： ，即：216y816818故：函数 的值域为 . 此法称为“判别式法”2xf4() 1,)本题亦可以采用换元法和配方法来做.令： ，则 ，txt0xt2于是：2 223t131f 4tt t()() ( )22131t4t8()()()当 时，即：当 时， 达到极小值 . 此法就是“换元配方法”.txf()112、已知实数 满足 和 ，求 的最小值. 123, 3212231x3解析：由已知得： xx则由柯西不等式得： 2211x()()将、代入得： 33x2()()即： ，即：39x()23819x18即： 2160其判别式为： 22214634769()()故：方程等号下的两根为： 339x11则： 321x,23 个求极值和值域专题 tobeenough 2.0 版第 12 页根据柯西不等式等号成立的条件得： 12x代入 式得： ，即： 321x3()13x2()代入 式得： ，即： 223211x()()139()由两式得： ，即：99()()21x2()()即： ，即：22113x4()144即： ，即： ，即：0x0()1x2则： ，此时： ；此为最大值.12x3 ，此时：12 x1332182()()()2所以， 的最小值为 . 此题解法为“柯西不等式”.x3113、求函数： 的最小值. 222fyxy3xy6(,)()()解析：待定系数法用于柯西不等式来解本题.设： ，则柯西不等式 为：ABCR,22221yx3xy6ABC()()()Cgxyz(,) 即： 22fxyzABgxyz(,)(,)则： 2g36ABCy,()()令： ， ，则： ，2C0C02C故：设 ，则： ， ， 1AB2146则： 2gxyz3616(,)()()23 个求极值和值域专题 tobeenough 2.0 版第 13 页将、代入得： 22gxyz1fxyz6ABC(,)(,)柯西不等式中，等号成立的条件是： 3xy6即： ，则：1yxy32xy6k2()y1则： ，即：()34x2即： ，即：5x3y1k15k()3k15将 和 代入 得：k2xy66k即： ，即：624于是：当 ， 时，柯西不等式 中，等号成立.123k5x5015y6即： 的最小值是 .2fyxy3x(,)()()16本题系“待定系数法”用于“柯西不等式”.14、已知： ，求函数： 的最小值. x125fy(,)解析：函数 的定义域为： ，fy(,)x12,)由均值不等式 ，即：nAQ22yx1yxy1()得：2x1xy524即： ，则：57fyx2(,)当 时，即： 、 时， .x1y214327fxy(,)故：函数 的最小值是 . 此法采用“均值不等式法”.f(,)715、已知点 在椭圆 上，求 的最大值. Pxy(,)2y149fxy2(,)23 个求极值和值域专题 tobeenough 2.0 版第 14 页解析：函数 的定义域为： ，fxy(,)x2,y3,由柯西不等式得： 222y415()()()即： ，即：2xy5fxy5,由柯西不等式的等号成立的条件得： ，即：89x4y29代入 得： ，即： ，即：2xy14926y161251则： ，于是，58x95 当 ， 时，8xy989fy25(,)() 当 ， 时，598fx5(,)()所以，函数 的最大值是 . 此法是用“柯西不等式 ”.fxy2(,)本题也可以采用“权方和不等式” 2222yxyy1491691695()()()即： ，即：xy5f(,),此法为“权方和不等式”.16、求函数： 的值域. f283x()解析：函数 的定义域是： .x,待定系数法用于柯西不等式来解本题.设： ，则柯西不等式 为：AB0,22 21x83x2x83fxAB()()()()即： 1fAAB()()()()令： ，则： 3B0323 个求极值和值域专题 tobeenough 2.0 版第 15 页由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：，即： ，A2xB8322AxB83x()()即： ，则： () 2A将代入 得：28105x69B3函数的极值为： 57324f866()() 在 区间，函数 单调递增，故：x2,fx()f283214() )于是，函数 在该区间的 值域是 .fx(, 在 区间，函数 单调递减，故：5863,fx()8142fx2303()()()于是，函数 在该区间的 值域是 .f()2,综上，函数 的值域是 .fx()43,此法为“待定系数法”用于“柯西不等式”，最后用 “单调性法 ”得到值域.17、求函数： 的值域. 2f1x()解析：函数 的定义域是： . 本题采用判别式法.xf() xR令： 2yfx1x()则： 2023 个求极值和值域专题 tobeenough 2.0 版第 16 页即： ，即：2xy2()2xy24即： 304()()由的判 别式得： 223y4y4y20()()即： ，即： ，即：21y113()()故： 或 ，即： 或33y23y2y2由于 式即 的条件必须那满足，故 .x01此时， ，函数 的值域为 . 此法为“判别式法”.13fy2()fx()32,)18、求： 的最大值. xxx3xsinsisinsisinsi解析：由均值不等式 得：AQ11x122sisi(si)(si)x 2ini(in)(i)33x322sisi(si)(si)所以,两边相加得： fx21()在 时， ，即不等式的等号可以取到.x03故: 的最大值为 . 此法为“均值不等式”.f()()19、设： 为正实数，且 满足 ，i1230,.,)12203xx.试求： 的最小值. 232031yxx.解析：由均值不等式 得：nAQ23 个求极值和值域专题 tobeenough 2.0 版第 17 页121212xxx333 2032003203xx x1131不等式两边分别相加得： 1220312203201xxxxx(.)(. )即： y当 时， ，即不等式的等号可以取到.1203.y故： 的最小值是 . 此法为“均值不等式”.y220、已知 为正实数，且满足 ，xz, 22xyz11求： 的最大值. 22zfyy(,)解析：由222211xyz331xyz1()由柯西不等式得： 222 22yz1y1zx1xy1z()()()即： 2x1()故： 2yzfyz 21x(,)因此， 的最大值是 . 此法为“柯西不等式”.,21、设 为锐角，求： 的最小 值. 1f1()()sincos23 个求极值和值域专题 tobeenough 2.0