二进制浮点数规范化

二进制浮点数规范化篇一：浮点数的二进制表示浮点数的二进制表示 1. 前几天，我在读一本 C 语言教材，有一道例题： #include void main(void) int num=9; /* num 是整型变量，设为 9 */ float* pFloat= /* pFloat 表示 num 的内存地址，但是设为浮点数 */ printf(“num 的值为：%dn“,num);/* 显示 num 的整型值 */ printf(“*pFloat 的值为：%fn“,*pFloat); /* 显示num 的浮点值 */ *pFloat=; /* 将 num 的值改为浮点数 */ printf(“num 的值为：%dn“,num); /* 显示 num 的整型值 */ printf(“*pFloat 的值为：%fn“,*pFloat); /* 显示num 的浮点值 */ 运行结果如下： num 的值为：9 *pFloat 的值为： num 的值为：1091567616 *pFloat 的值为： 我很惊讶，num 和*pFloat 在内存中明明是同一个数，为什么浮点数和整数的解读结果会差别这么大？ 要理解这个结果，一定要搞懂浮点数在计算机内部的表示方法。我读了一些资料，下面就是我的笔记。 2. 在讨论浮点数之前，先看一下整数在计算机内部是怎样表示的。 int num=9; 上面这条命令，声明了一个整数变量，类型为 int，值为 9（二进制写法为 1001） 。普通的 32 位计算机，用 4个字节表示 int 变量，所以 9 就被保存为 00000000 00000000 00000000 00001001，写成 16 进制就是0x00000009。 那么，我们的问题就简化成：为什么 0x00000009 还原成浮点数，就成了？ 3. 根据国际标准 IEEE 754，任意一个二进制浮点数 V 可以表示成下面的形式： V = (-1)sM2E （1）(-1)s 表示符号位，当 s=0，V 为正数；当s=1，V 为负数。 （2）M 表示有效数字，大于等于 1，小于 2。 （3）2E 表示指数位。 举例来说，十进制的，写成二进制是，相当于22。那么，按照上面 V 的格式，可以得出s=0，M=，E=2。 十进制的-，写成二进制是-，相当于-22。那么，s=1，M=，E=2。 IEEE 754 规定，对于 32 位的浮点数，最高的 1 位是符号位 s，接着的 8 位是指数 E，剩下的 23 位为有效数字M。 对于 64 位的浮点数，最高的 1 位是符号位 S，接着的11 位是指数 E，剩下的 52 位为有效数字 M。 5. IEEE 754 对有效数字 M 和指数 E，还有一些特别规定。前面说过，1M 至于指数 E，情况就比较复杂。首先，E 为一个无符号整数（unsigned int） 。这意味着，如果 E 为 8 位，它的取值范围为 0255；如果 E 为 11位，它的取值范围为 02047。但是，我们知道，科学计数法中的 E 是可以出现负数的，所以 IEEE 754 规定，E 的真实值必须再减去一个中间数，对于 8 位的 E，这个中间数是127；对于 11 位的 E，这个中间数是 1023。 比如，210 的 E 是 10，所以保存成 32 位浮点数时，必须保存成 10+127=137，即 10001001。 然后，指数 E 还可以再分成三种情况： （1）E 不全为 0 或不全为 1。这时，浮点数就采用上面的规则表示，即指数 E 的计算值减去 127（或 1023） ，得到真实值，再将有效数字 M 前加上第一位的 1。 （2）E 全为 0。这时，浮点数的指数 E 等于 1-127（或者 1-1023） ，有效数字 M 不再加上第一位的 1，而是还原为的小数。这样做是为了表示0，以及接近于 0 的很小的数字。 （3）E 全为 1。这时，如果有效数字 M 全为 0，表示无穷大（正负取决于符号位 s） ；如果有效数字 M 不全为0，表示这个数不是一个数（NaN） 。 6. 好了，关于浮点数的表示规则，就说到这里。 下面，让我们回到一开始的问题：为什么 0x00000009还原成浮点数，就成了？ 首先，将 0x00000009 拆分，得到第一位符号位 s=0，后面 8 位的指数 E=00000000，最后 23 位的有效数字 M=000 0000 0000 0000 0000 1001。 由于指数 E 全为 0，所以符合上一节的第二种情况。因此，浮点数 V 就写成： V=(-1)02(-126)=2(-146) 显然，V 是一个很小的接近于 0 的正数，所以用十进制小数表示就是。 7. 再看例题的第二部分。 请问浮点数，如何用二进制表示？还原成十进制又是多少？ 首先，浮点数等于二进制的，即23。 那么，第一位的符号位 s=0，有效数字 M 等于 001 后面再加 20 个 0，凑满 23 位，指数 E 等于 3+127=130，即10000010。 所以，写成二进制形式，应该是 s+E+M，即 0 10000010 001 0000 0000 0000 0000 0000。这个 32 位的二进制数，还原成十进制，正是 1091567616。 （3）浮点数的表示方法 浮点数，是指小数点在数据中的位置可以左右移动的数据。它通常被表示成： N = M* RE 这里的 M(Mantissa)被称为浮点数的尾数，R(Radix)被称为阶码的基数， E(Exponent)被称为阶的阶码。计算机中一般规定 R为 2、8 或 16、是一个确定的常数，不需要在浮点数中明确表示出来。因此，要表示浮点数，一是要给出尾数 M 的值，通常用定点小数形式表示，它决定了浮点数的表示精度，即可以给出的有效数字的位数。二是要给出阶码，通常用整数形式表示，它指出的是小数点在数据中的位置，决定了浮点数的表示范围。浮点数也要有符号位。在计算机中,浮点数通常被表示成如下格式: Ms 是尾数的符号位,即浮点数的符号位，安排在最高一位；E 是阶码，紧跟在符号位之后，占用 m 位，含阶码的一位符号； M 是尾数，在低位部分，占用 n 位。 合理地选择 m 和 n 的值是十分重要的，以便在总长度为 1+m+n 个二进制表示的浮点数中，既保证有足够大的数值范围，又保证有所要求的数值精度。例如,在 PDP-11/70 计算机中，用 32 位表示的一个浮点数，符号位占一位，阶码用 8 位，尾数用 23 位，数的表示范围约为*1038 ，精度约为 10 进制的 7 位有效数字。 若不对浮点数的表示格式作出明确规定，同一个浮点数的表示就不是唯一的。例如也可以表示为101 , 5010-2 等。为了提高数据的表示精度，也为了便于浮点数之间的运算与比较，规定计算机内浮点数的尾数部分用纯小数形式给出，而且当尾数的值不为 0 时，其绝对值应大于或等于，这被称为浮点数的规格化表示。对不符合这一规定的浮点数，要通过修改阶码并同时左右移尾数的办法使其变成满足这一要求的表示形式，这种操作被称为的规格化处理，对浮点数的运算结果就经常需要进行规格化处理。 当一个浮点数的尾数为 0，不论其阶码为何值，该浮点数的值都为 0。当阶码的值为它能表示的最小一个值或更小的值时,不管其尾数为何值，计算机都把该浮点数看成零值,通常称其为机器零，此时该浮点数的所有各位（包括阶码位和尾数位）都清为 0 值。 按国际电子电气工程师协会的 IEEE 标准,规定常用的浮点数的格式为： 符号位 阶码 尾数 总位数 短浮点数 1 82332 长浮点数 1 115264 临时浮点数 1 156480 对短浮点数和长浮点数，当其尾数不为 0 值时，其最高一位必定为 1，在将这样的浮点数写入内存或磁盘时，不必给出该位，可左移一位去掉它，这种处理技术称为隐藏位技术，目的是用同样多位的尾数能多保存一位二进制位。在将浮点数取回运算器执行运算时，再恢复该隐藏位的值。对临时浮点数，不使用隐藏位技术。 从上述讨论可以看到，浮点数比定点小数和整数使用起来更方便。例如,可以用浮点数直接表示电子的质量910-28 克，太阳的质量 21033 克，圆周率等。上述值都无法直接用定点小数或整数表示，要受数值范围和表示格式各方面的限制。 为了表示浮点数，数被分为两部分：整数部分和小数部分。例如，浮点数就有整数部分 14 和小数部分首先把浮点数转换成二进制数,步骤如下:1 把整数部分转换成二进制.2 把小数部分转换成二进制.3 在两部分之间加上小数点.浮点数还可以规范化,浮点数可以用单精度表示法和双精度表示法.规范化只存储这个数的三个部分的信息:符号,指教和尾数.如+规范化后为 + 26* 符号 指数 尾数规范化数的单精度表示法如+26*解: 由于符号为正,就用 0 表示.指数是 6,在 Excess_127表示法中,给指数加上 127 得到 133.用二进制表示,就是10000101.尾数是 01000111001.当把位数增加到 32 位,得到 01000111001000000000000.注意不可以漏掉左边的 0,因为它是小数.漏掉了那个 0 就相当于把这个数乘于 2.这个数在内存中以 32 位数存储.如下所示 符号指数 尾数 0 1000010101000111001000000000000 众所周知，科学计数法既可以表示整数，也可以表示小数，并且表示的数据范围很大。 在计算机中也引入了类似于十进制科学计数法的方法来表示实数，称为浮点数表示法，因其小数点位置不固定而得名。 1.浮点数的表示方法。 用浮点数表示法不仅可以表示整数和纯小数，而且可以表示一般的实数，其表示范围比定点数要大得多。因为无论采用定点还是浮点表示，n 位编码总是最多只能表示2n 个数，所以采用浮点表示法虽然扩大了表示范围，但并没有增加可表示的数值的个数，只是数据间的间隔变稀疏了。 一种浮点数的格式： | Ms | Es | El-2 |.| E0 | M-1 | M-2 |.| M-(m-1) | 数符 阶符阶 码尾 数 可见，浮点数的编码由两部分组成：阶码 E 和尾数M。浮点数表示的数值位：(-1)Ms BE. M 其中，B 是阶码的底，也就是尾数 M 的基数，一般为 2。 E 为阶码，即指数，为带符号的定点整数，常用移码表示，其中，Es 为阶符，表示阶的正负。如果用移码表示阶码 E，当阶码被作为一个无符号整数对待时，其数的大小相对关系不变，为浮点数加减法时的对阶运算提供了方便。M 是尾数，是定点纯小数，常用补码表示，也有用原码表示的。Ms 是尾数的符号位，安排在最高位，表示该浮点数的正负。 浮点数的表示范围主要由阶码决定，精度则由尾数决定。 2.规格化浮点数。 为了简化浮点数的操作，充分利用尾数的二进制位数来表示更多的有效数字，通常采用浮点数规格化形式，即将位数的绝对值限定在某个范围之内。一个规格化的数是一个有效数的最高有效位非 0 的数。 如果阶码的底为 2，则规格化浮点数的尾数应满足条件：1/2 当尾数用补码表示时，若尾数 M=0，由于1/2补=.0 ，尾数应具有如下格式： M=x(其中 x 表示既可以为0 也可以为 1) 若尾数 M 这样：当 M 规格化操作有两种， “左规”和“右规” 。若采用变形补码表示尾数，则当结果的尾数出现.x 或.x 的形式时，需将尾数左移 1 位，阶码减 1，即.x 或.x，直到尾数规格化为止，这个过程叫做“左规” 。当浮点运算结果的位数出现.x 或.x 的形式时，并不一定溢出，应先将尾数右移一位，阶码+1，再判断是否溢出，这个过程叫做“右规” 。 若采用上述规格化浮点数格式，以 2 位底，阶码 L位（含一位阶符） ，用移码表示；尾数 m 位（含一位数符） ，则浮点数能表示的 最小正数： +(1-2-(m-1)2(2(l-1)-1)。 最大正数： +(2-2(l-1)/2 最大负数： -(1/2+2-(m-1)2-2(l-1). 最小负数： -122(l-1)-1。 当一个数的大小超出了浮点数的表示范围时，称为溢出。溢出判断只是对规格化的浮点数的阶码进行判断。当阶码小于机器能表示的最小阶码时，称为下溢，此时一般当做机器零处理，机器继续运行；当阶码大于机器所能表示的最大阶码时，称为上溢，这是机器必须转入溢出故障的中断处理程序进行相应的处理 零 负上溢 | 可表示的负数 | 负下溢 | 正下溢 | 可表示的正数 | 正上溢 IEEE754 标准规定浮点数的尾数用原码（符号加绝对值）表示，对于用原码表示的规格化的二进制浮点数，尾数有效位的第一位一定是 1，而不是 0，因此这个默认的 1也省去了，从而使得有效位又增加一位，这样，23 位尾数的有效位长度实际是 24 位。 IEEE 单精度浮点格式具有 24 位有效字符，字宽 32 位（1 位符号，8 位阶码，23 位尾数） ；双精度浮点格式具有53 位幼小数字精度，字宽 64 位（1 位符号，11 位阶码，52位尾数） 。 IEEE754 标准另外一个特点是用特殊记号标记某些异常事件，记录非规格化数，正无穷，负无穷，以及非数。 在 IEEE754 标准中，基数隐含为 2；阶码用移码表示，移码的偏移值并不是通常 n 位移码所用的 2n-1,而是 2n-1-1，这是因为尾数规格化后必须为.0，而我们现在尾数用.00 表示，即尾数左移 1 位，所以阶码偏移值为 2n-1-1。 IEEE754 单精度格式位模式表示的值 篇二：浮点数转二进制浮点型变量在计算机内存中占用 4 字节（Byte）,即32-bit。遵循 IEEE-754 格式标准。 一个浮点数由 2 部分组成：底数 m 和 指数 e。 mantissa 2exponent （注意，公式中的 mantissa 和 exponent 使用二进制表示） 底数部分 使用进制数来表示此浮点数的实际值。 指数部分 占用-bit 的二进制数，可表示数值范围为 0255。 但是指数应可正可负，所以 IEEE 规定，此处算出的次方须减去 127 才是真正的指数。所以 float 的指数可从 -126 到 128. 底数部分实际是占用 24-bit 的一个值，由于其最高位始终为 1 ，所以最高位省去不存储，在存储中只有 23-bit。 到目前为止， 底数部分 23 位 加上指数部分 8 位 使用了 31 位。那么前面说过，float 是占用 4 个字节即32-bit,那么还有一位是干嘛用的呢？ 还有一位，其实就是 4 字节中的最高位，用来指示浮点数的正负，当最高位是 1 时，为负数，最高位是 0 时，为正数。 浮点数据就是按下表的格式存储在 4 个字节中： Address+0 Address+1 Address+2 Address+3 Contents SEEE EEEE EMMM MMMM MMMM MMMM MMMM MMMM S: 表示浮点数正负，1 为负数，0 为正数 E: 指数加上 127 后的值的二进制数 M: 24-bit 的底数（只存储 23-bit） 主意：这里有个特例，浮点数 为 0 时，指数和底数都为 0，但此前的公式不成立。因为 2 的 0 次方为 1，所以，0 是个特例。当然，这个特例也不用人为去干扰，编译器会自动去识别。 通过上面的格式，我们下面举例看下-在计算机中存储的具体数据： Address+0 Address+1 Address+2 Address+3 Contents 0xC10x48 0x000x00 接下来我们验证下上面的数据表示的到底是不是-，从而也看下它的转换过程。 由于浮点数不是以直接格式存储，他有几部分组成，所以要转换浮点数，首先要把各部分的值分离出来。 Address+0 Address+1 Address+2 Address+3 格式 SEEEEEEE EMMMMMMM MMMMMMMM MMMMMMMM 二进制 11000001 01001000 00000000 00000000 16 进制 C1 480000 可见： S: 为 1，是个负数。 E:为 10000010 转为 10 进制为 130，130-127=3，即实际指数部分为 3. M:为 10010000000000000000000。 这里，在底数左边省略存储了一个 1，使用 实际底数表示为 到此，我们吧三个部分的值都拎出来了，现在，我们通过指数部分 E 的值来调整底数部分 M 的值。调整方法为：如果指数 E 为负数，底数的小数点向左移，如果指数 E 为正数，底数的小数点向右移。小数点移动的位数由指数 E的绝对值决定。 这里，E 为正 3，使用向右移 3 为即得： 至次，这个结果就是的二进制浮点数，将他换算成10 进制数就看到了，如何转换，看下面： 小数点左边的 1100 表示为 (1 23) + (1 22) + (0 21) + (0 20), 其结果为 12 。 小数点右边的 .100 表示为 (1 2-1) + (0 2-2) + (0 2-3) + . ，其结果为.5 。 以上二值的和为， 由于 S 为 1，使用为负数，即- 。所以，16 进制 0XC1480000 是浮点数 - 。 上面是如何将计算机存储中的二进制数如何转换成实际浮点数，下面看下如何将一浮点数装换成计算机存储格式中的二进制数。 举例将换算成 float 型。 首先，将换算成二进制位： ( = +, 即 1/2, 即 1/8 如果不会将小数部分转换成二进制，请参考其他书籍。) 再将 向右移，直到小数点前只剩一位 成了 x 2 的 4次方（因为右移了 4 位） 。此时 我们的底数 M 和指数 E 就出来了： 底数部分 M，因为小数点前必为 1，所以 IEEE 规定只记录小数点后的就好，所以此处底数为 0001101 。 指数部分 E，实际为 4，但须加上 127，固为 131，即二进制数 10000011 符号部分 S，由于是正数，所以 S 为 0. 综上所述，的 float 存储格式就是： 0 10000011 00011010000000000000000 转换成 16 进制：0x41 8D 00 00 所以，一看，还是占用了 4 个字节。 下面，我做了个有趣的实验，就是由用户输入一个浮点数，程序将这个浮点数在计算机中存储的二进制直接输出，来看看我们上面所将的那些是否正确。 有兴趣同学可以 copy 到中去试试！ #include #define uchar unsigned char void binary_print(uchar c) for(int i = 0; i if(c cout else cout cout void main() float a; uchar c_save4;uchar i; void *f; f = cout cina; cout for(i=0;i c_savei = *(uchar*)f+i); cout binary_print(c_savei-1); cout 篇三：浮点数和二进制数转换浮点数转换成二进制数 XX-04-17 12:41:51| 分类： C language | 标签：浮点数 二进制 尾数 十六进制 ieee|字号大中小 订阅 因为要参加软考了（当然也只有考试有这种魅力） ，我得了概浮点数转化为二进制表示这个最难的知识点（个人认为最难） 。俺结合大量的从网上收集而来的资料现整理如下，希望对此知识点感兴趣的 pfan 有所帮助。 基础知识： 十进制转十六进制； 十六进制转二进制； IEE