油藏增产措施

油藏增产措施 讲授内容 压裂原理、设计与实施： 第 6章：水力压裂力学 第 7章：压裂液化学和支撑剂 第 8章：压裂材料的性能 压裂设计（第 10章） 压裂施工（第 11章） 碳酸盐岩酸化设计（第 17章） 碳酸盐岩酸化技术（补充） 第 6章 水力压裂力学 引言 早期水力压裂模拟 三维和拟三维模型 滤失 支撑剂铺置 热传递模型 第 6章 水力压裂力学 缝端效应 裂缝弯曲以及其它近井筒效应 泵注程序设计 多层压裂 酸压裂 压裂历史拟合 水力压裂力学是对压裂工艺和压裂机理的简单描述。 言 水力压裂力学 流体力学 固体力学 断裂力学 热力学 描述单相、两相 或三相流体在裂 缝中的流动 描述由于流体压 力变化引起的 岩石变形或张开 描述与水力裂缝 端部附近发生的 破坏和裂开 描述压裂流体 与地层之间的 热交换 所有的响应是耦合的，相互影响 1、物理模型（实际工艺的比例模型） 优点：结合了合理材料的假设条件 缺点：造价高 2、分析模型（物理实际的数学化） 优点：可以将初始范围外推 缺点：开发模型的假设条件 3、经验模型（由实际数据建立的设计框图或经验方程） 优点：无任何假设、不存在比例系数 缺点：数据外推没有十足的把握 工艺模型 开发和利用水力压裂施工模型的原因 进行经济优化 （确定多大施工规模得到最高回报率） 施工评估（模型预测结果与实际比较） 模拟特定的泵注程序得到相应的裂缝几何形状和支撑剂铺置 泵注程序设计 水力压裂裂缝延伸模型 裂缝延伸二维模型 卡特模型 1957年 型 型 出 , 裂缝延伸三维模型 拟三维模型 三维扩展，一维流体流动 真三维模型 三维扩展，至少二维流体流动 模型分类： 早期水力压裂模拟 基本的压裂模拟 22)(1)1(8)( 椭圆裂缝的体积为： n e 2）（ 半径为 半径为 n e t 212 1946） （ （ （ 对于缝高 平面应变）裂缝其最大宽度为： fn e 裂缝的形状为椭圆，平均缝宽 。 定义平面应变模量 E更为方便 ： 21 （ 1961） 径向裂缝扩展的压力： 5122233132n e t 泵注排量 缝中的流体摩擦阻力不计，没有滤失时： 5122233321323116整理得到 R： 51222211289 （ （ 水力压裂二维模拟 假设每一垂向截面独立作用，即假设截面的压力是由 高度控制的而非由缝长控制的。 在缝长远大于缝高的条件下成立 没有考虑断裂力学和缝端的影响，而主要考虑了缝内流体的流动以及相应的压力梯度的影响 图 假设每一水平截面独立作用，即假设裂缝面任一点处裂缝宽度沿垂向变化远比水平方向的变化慢。 在缝高远大于缝长或者储积层边界产生完全滑移的条件下成立 缝端区域起着很重要的作用，而缝内压力可以估算 图 缝 垂向裂缝的 流动的基本方程： 364将缝宽方程 并用注入速度的一半代替 q， 并假设流速沿缝不变得到 ： 代入上式 e tn e t 433 4 414316 e t 沿裂缝半长 利用边界条件 得到 ： （ （ （ （ 4/13)(i 实际的裂缝宽度： 重要发现： 垂向平面应变特性的假设 断裂韧性可忽略（裂缝延伸所需的能量远比流体沿 缝长方向流动所需的能量最小） 缝中流体滤失和存储或者体积变化可以忽略的假设 固定缝高的假设 没有直接给出作为解的一部分 （ 模型中考虑流体滤失 裂缝任一点处的滤失速度： e x L 滤失系数 t 当前时间 持续的时间 该点滤失速率 质量平衡方程： 整个裂缝的滤失速度 缝内流体存储体积流速 1957） （ （ 假设裂缝在空间和时间上都保持恒定，上式变为： 02利用拉普拉斯变换得到 ： 12422 Se r f 到得到相容解 （ （ （ 1972） 连续性方程（即质量守恒）： 0 q 流体通过某一横截面的体积流速 A 裂缝的横截面积（对于 ） 单位长度上滤失体积流速 其中： 得到，横截面面积不是裂缝面的面积 压力用缝宽表示代替，方程（ 为： f e x 1 2 8 以无量纲形式对该方程数值求解，得到与时间有关的缝宽和缝长 。方程解中的无量纲时间定义如下： （ （ 型的导出 1995） 导出了 缝高远大于缝长，即离开井筒任意距离时缝宽与垂向位置无关这种水力裂缝延伸的解。 通过假设缝内流速恒定；除缝端没有流体穿透（即没有压力）外，缝中的压力大部分处的压力以定压近似。可用解析法解该问题。 流体滞后的概念一直是缝端力学的中的重要组成部分，已经在现场得到证明 （ 1985）。如果缝端无流体穿透区很小（约为总缝长的百分之几），他们发现裂缝主体中沿整个缝的压力几乎等于井中的压力，只是在靠近缝端剧减。 1969） 对于缝端区域很小这个问题给出了解。 对于矩形横截面，流动的基本方程为： 312可以积分形式写为： e t （ （ 应用 味着应力集中系数为零。 裂缝宽度方程： n e 4 010 2Ln e 缝端状况 （ （ 通过解方程 （ 至方程 （ 三个方程，得到 1961） 给出的表达形式。 4132, 6421 e t （ 41284井壁裂缝宽度 ： （ 在没有滤失的情况下，解得缝长和缝宽 : 32613338.0 （ 31613348.1 （ 假设流体滤失对裂缝形态或压力分布没有影响，将模型推广到包括流体滤失的情况下： 一个两翼 运用体积平衡和与 到： 12642Se r f 8（ （ 为了包括瞬时滤失 该以8/) 型的假设 平面裂缝（裂缝沿最小主应力垂直方向扩展） 流动沿缝长一维流动 流体为牛顿流体 滤失特性由滤失理论（ 到的简单表达式所控制 地层岩石为连续、均匀、各向同性的线弹性体 裂缝被认为缝高不变，完全在某一给定的地层中扩展 略了有关断裂力学的影响 括了缝端动态过程控制裂缝延伸的假设 型比较 1. 模型差异 裂缝几何形态 : 直剖面为椭园形状 ;直剖面为矩形 平剖面为 (2n+2)次抛物线形 ;平剖面为椭园形 缝长而窄 ;缝短而宽 应变 : 面应变发生于垂直剖面，层间无滑动 ;面应变主要发生于水平剖面，层间有滑动 . 缝张开在垂直剖面求解 ;缝张开在水平剖面求解 . 压力行为 : 井底压力随时间增加而升高，随缝长增加 井底压力随施工时间逐渐降低，随缝长增加而递减 根据井底压力的变化趋势。 压裂层的埋藏深度：浅层选用 层选用 压裂层与上下岩层的地应力差：上下岩层的地应力大于压裂层且差值大于 下岩层的地应力小于压裂层且差值小于 层选 状厚层或射孔段长的井选 施工参数： 参数 地 层 参 数 工 程 参 数油层中部深度 2590 0 * 10 46 40M p 107 805 161 3. 0* 10 m i 总用液量 13 36 36 加砂量 28 4 4. 0m i 33 %计 算 结 果 P K N G D m m 1 计算结果 支撑半长项 目 模型229 457 686P K N 568 1800 3785用液量 ,62 2080 4353支撑剂量 , 104元导流能力 , c 3 年） , 104 104元P K 需要给定缝高或假设产生的是径向缝 原因： 不能断定裂缝是否被限制在某一特定的地层中 由井筒（压力最高处）至缝端的过程中缝高是变化的 解决办法： 利用平面三维 3型来弥补 三维和拟三维模型 包括缝高增长的三种主要水力压裂模型 普通三维模型 没有对裂缝方位作假设 计算量大，需要专人对结果作解释 模型适合于研究水力裂缝起裂的细节以及 近 井筒的复杂情况，而非裂缝整个延伸过程 在此不对该模型作进一步的讨论。 平面三维模型 假设裂缝是平面的，并且其方向与最小主应力方向垂直，没有考虑由于偏离平面引起的复杂状况 这种模型的模拟软件也需大量的计算，一般不用于常规压力设计 模型用于研究裂缝的主体在裂缝起裂地层以外或者压裂液垂向流动比水平流动更强烈的情况 这种模型在 拟三维模型 主要类型有块体和单元体两种 块体（椭圆）模型中，假设垂向剖面由中心相连的两个半椭圆组成，每一时间步长计算出水平裂缝和井筒中裂缝缝端的垂向延伸，假设的裂缝形态也要拟合到这些位置；采用固有的假设条件，分析得到：流体沿射孔到椭圆边缘的流线流动，而且流线有专门的形状。 单元体模型将裂缝视为一系列相连的单元对待，不需要对裂缝形态进行假设，但一般假设为平面应变，流体垂向流动计算与裂缝几何形状之间没有做完全耦合。 这种模型在 介绍 平面三维模型 定义 ： 缝内流体的二维流动与岩石三维弹性响应耦 合的模型。 任意水力压裂模型求解的复杂性在于 不同过程裂缝的几何形状和流体流动的密切耦合 。在求解过程中应考虑的问题： 已知形态和压力的裂缝的宽度剖面 裂缝形态 已知形态和宽度（已知几何形状）的裂缝内的流体流动 1968） 以及 1977） 裂缝中压力和缝宽的关系式： , （ 式中： 应力 f 弹性影响函数，一般情况下只有对于均质线弹性材料，才可以导出该方程的可用的形式（见旁注 6E）。在实际应用中，一般假设岩石为各向同性 。 压力和缝宽的关系 简单的裂缝形态和缝内压力分布如定压下的椭圆形裂缝，破裂准则： 方程 （ 复杂的裂缝形态和压力分布，破裂准则用缝端附近的缝宽和临界应力集中系数或断裂韧性 C24 （ 式中： x 距离缝端的距离 裂缝的形态随时间不断演化，假设该过程用线弹性断裂力学描述。 质量守恒方程（描述流体流动）： 02 （ 可以写为矢量形式： 02 （ 上式中的前两项与质量流量的矢量的变化有关， 后两项分别表示由宽度增加和滤失引起的流体存储 。 方程（ 左边为动量改变速率；右边分别为压力、粘滞力和重力，它可解释为小的流体单元在力的作用下而加速。该方程可以扩展并根据压裂地层的不同形状而简化（见旁注 6F）。 动量守恒方程： （ 式中： 剪应力 g 重力加速度 应力与流速之间的本构方程： 对于 方程 （ 变为 ： zu zu 方程（ 22（ （ （ 假设流动为稳定流动，得到： xx 22 （ 6F 水力压裂中的动量守恒 方程 （ 实矢量方程，其分量形式可以写为 ： （ 上式的左边为物质导数，它可与偏导数建立关系： （ 因此方程 （ 可扩展为 ： （ 对于非渗透介质， 假设为稳态流， （ 简化为： （ 式中： i = 1或 2 对于渗透介质，也可采用方程 （ ，在这种情况下，滤失作为插入项包括在质量平衡中，但假设不影响与压力、应力和流体流速有关的方程 。 牛顿流体 对于牛顿流体，仅含有粘度 参数，应力分量为： 32 32 32 （ 对于不可压缩流体，正应力方程中的第三项为零 在平行板间一维流动，如不考虑滤失，两个速度分量全部为零 质量守恒意味着第三个方程不能随位置而改变。所以全部的正应力方程为零。 上面的方程可以简化为剪切流动方程 原因 应力分量： zu zu （ 将方程 （ 代入 （ 得到： 22（ 如为沿缝长一维流动，方程 （ 可简化为 ： x122（ 如不存在滑移（裂缝面处流体流速为零），方程（ 的解为： 22 221 （ 对上式积分，得整个通道上的平均流速： 122 （ 单位高度的流速可以通过平均流速乘以缝宽 在二维流动的情况下，如果惯性可以忽略，方程 （ 左边为零。在这种情况下可按方程（ 写出 6G 非牛顿流体的动量平衡和本构方程 牛顿流体的应力和速度之间的关系，用张量表示： （ 式中： 形变张量的速率，其分量为： （ 对于非牛顿流体写出与 （ 相似的方程： （ 式中： a 的函数 的函数，而且两者之间存在某种函数关系： 2 （ 式中： 二级张量变量： 2（ 如：幂律流体的函数 122（ 宾汉塑性的函数 2200 （ 稠度指数 K取决于流形，并与流体基本性质 综合稠度系数 于平板流动，关系为： 312 （ 对于管流关系式为： 413 （ 平板间一维流动的幂律流体，平均流速： 1112211 （ 对当 n=1时，上式转化牛顿流体方程，其中 K被粘度代替，表 6G 非牛顿流体的动量平衡和本构方程 方程 （ 到 （ 总结了牛顿流体的平面模型，非牛顿流体也可得到相似的结果（见旁注6G）。 这些方程一般不适合分析解，需要数值模拟 这些方程也很难得到高效稳定的数值解 原因 解的不同部分相互耦合得很紧密 （如流体流动与固体变形） 缝宽与压力之间存在非线性关系以及移动边界问题的复杂性 平面模型的数值模拟 由 将由射孔孔眼起裂的一条裂缝分成数个相同的单元（一般为 16方格）然后开始对方程求解。随着边界延伸，单元要变形以符合新的几何形状。这种解法的一种困难就是单元可能变得高宽比大、角度变小，如图 种数值方法一般用来解对于这种几何形状有问题的那些方程。 图 平面 3 分成矩形单元 这种方法通过将分层油藏划分为具有相同大小的矩形单元网格的方法避免了网格扭曲的问题，这些单元网格的边界在裂缝可能产生的区域内。 在这种情况下，网格不移动，而是超过破裂准则时，裂缝破裂缝端前面的单元被打开，允许流体流动而成为裂缝的一部分，如图 图 表示随裂缝延伸单元打开的固定网格解 这种方法的局限性： 随着数值模拟的进行，单元数在逐渐增加，所以最初的单元数少，导致误差大。 在模拟前要估计裂缝的大致规模以确保采用合理的单元数。 专门的计算过程的假设条件： 用一个简化的方法代表模量差异。 用抗张强度准则代替裂缝扩展而不是断裂力学影响。 靠近缝端裂缝诱导的应力随与距缝端距离的平方根而变化，因此，破裂准则取决于网格划分的精度。 该准则用所有边界单元中心的应力与材料抗张强度相比，如果超过了该强度，那么假定单元张开。 以单元为基础的拟三维模型 在以单元划分的模型中，缝长被分为数个离散的单元。这与平面模型相似，不过是 沿一个方向离散而不是两个方向 。 假设： 流体流动是沿缝长的方向 固体力学简化为任意截面内的平面应变 这个假设对于缝高得到控制的裂缝是合理的，与缝高相比这种裂缝是长裂缝。 这个假设使得可将固体力学和断裂力学解与流体流动分开： 平面应变暗指每一横截面独立作用与其他横截面无关。 一维流动的假设暗指横截面内的压力始终为： （ 式中： 沿射孔中心水平线上的压力 y 到射孔中心的垂直距离 上面的方程仅对裂缝延伸相当缓慢，由垂向流动引起的压力梯度可以忽略不计时才是有效的。这种裂缝垂向缝端基本处于静态的假设称为 平衡高度假设 。 固体力学解 1978）导出了对称的具有三个地层的解 1978）导出了更具有普遍性非对称多重底层的解。 在高度平衡的假设条件下，固体力学解简化为确定裂缝横截面形状与静压力或 根据 顶部和底部缝端的应力集中系数 o o （ （ 式中： 流体密度 射孔中心高度 由底部缝端至第 i 层底层顶部的高度，如图 图 控制缝高增长问题中的变量定义 通过迭代求解该非线性方程，如果 个垂向缝端的位置以及压力）已知，假设缝高增量，则两个垂向的缝高就可以计算出来而且满足方程（ （ 裂缝端达到这些位置所需的 后与该解相关的缝宽剖面也可得到。 2c os h 4411111（ 式中： y 距底部缝端的高度 现如考虑如图 忽略重力分量的影响，问题就简化为对称的情况，裂缝向两个遮挡层的延伸是相同的。此时方程（ 可简化，得到： 22（ 式中： 产层与隔层的应力差 i 产层的厚度和应力 图 单的三层地层中缝高增长问题 图 计算得到的缝高和净压力的关系曲线 尽管 （ 是一个特例，但它表明了两个有实用意义的结论。 在某一临界压力条件下，裂缝会突破边界进入隔层 r i tn e t ,2 （ 净压力不会达到产层与隔层的净压力差值，因为那种情况会产生无限缝高 图 上、下遮挡层对称情况的缝高与净压力关系曲线（ 入遮挡层） 流体力学解 平面 33 流体流动计算 ； 大多数 1972）的相同（即一维形式用于描述平面三维模型中）。 一般的 垂向缝宽变化对流体速度的影响 局部失水，是用整个缝高同时失水估算的 端部脱砂（ 的流体滤失，流体流过支撑剂充填层时，忽略了流体的滤失 由于对流或重力引起的支撑剂沉降 采用平均流速和宽度（宽度以横截面积除以高度代替） 质量守恒方程简化为： 2 （ 式中： u 平均横截面 每层的滤失速度 每层的滤失高度 动量守恒方程简化为： （ 对于具有性质 的幂律流体： （ 结合无滑移边界条件，解方程 （ 得到通道中的平均流速： 11221s g n （ 式中： 量值标志 对于牛顿流体， n=1、 =K； 上式变为 ： 122 （ 求沿缝高方向的所有横截面的总流速 将方程（ 换成平均流速 将方程（ 横截面的缝底到缝顶积分 x （ 平均流速： 12s g n（ 式中： 通道函数： （ 层流和紊流 流体在平板间以低速无滤失流动，除入口较小区域外，任意流体元与流道的壁之间保持固定的距离，即层流流动，雷诺数 100即为紊流 压裂液的流变性 压裂液常为幂律流体；幂律模型中的有效参数K和 n是剪切速率在以一定范围内通过室内实验导出的；实际中要考虑到剪切速率只会在有限范围内。 压裂液的性质随时间和温度而改变。高温下流体粘度降低；交联剂可能引起流体粘度下降前初始粘度增加；模拟软件中通过 K和 n在不同温度下随时间变化表而考虑进了温度和时间的影响。 模型的数值解 描述 缝高增长的力学 （ 压力 缝宽 缝高关系 ） ，质量守恒 和 动量守恒 （ 速度 压力相互关系 ） 的三个基本解是相互耦合的，需要同时解。 解这些耦合方程的方法： 网格点随流体移动的显式有限差分法 网格点随流体移动的隐式有限差分法 在开始做裂缝演化模拟前，要先按照在第 体力学解”，计算得到压力 缝高 缝宽的关系（右平衡高度解）表。 显式有限差分方法 任意时刻的裂缝中流体被分为 个单元的横截面积为 在 处的两个边界面分别以 。如图 格以数字编号 i=1代表端部，如果有必要它可以用于井筒中的新的单元）。 3 1 x5 x4 x3 x2 x1 u5 u4 u3 u2 裂缝分成位置和速度由网格点定义的单元 质量守恒方程： 2 （ 将导数以中心有限差分近似代替得到： 1（ 式中： 时间步长为 内，整个单元流体的滤失体积 速度为网格点处的计算得到的，并假设每个单元的面积是恒定的，这样横截面面积可以由速度和上一时间步长的面积更新。这样 压力梯度 ： 2111 由方程（ 得到新的速度后， 网格位置 的更新方程 ： （ 这就是拉格朗日动坐标方法，它的局限性在于： 网格点坐标随流体移动，滤失引起每个单元收缩甚至随着深入裂缝中而消失。 井筒必须有新的单元不断加入，这就使得控制任意时刻运用多少单元或单元的大小很困难。 另外的方法： 引入平面三维模型中讨论的固定网格；它的优点在于模拟初始阶段不需要精度很高时，所需要的单元数相对较小，而随着模拟的进行单元数要增加。 引入移动网格，网格点以一定的速度移动，如裂缝始终被分成一定数量大小的单元 （ 即采用拉伸坐标，见旁注 6H）。 坐标系拉伸 如果： （ L(t)之间变化时， 1之间。网格划分简化了，但差分方程却更复杂了。导数： 6H 坐标系拉伸和稳定分析 1 （ （ 方程 （ 为 ： 1（ 假设压力梯度为： （ 对于 高是固定的， 其中定义为： （ 将方程 (入 (并运用链规则： （ 稳定分析 2221111 1 为了进行误差分析，所有变量必须为绝对值， 导数扩展为中心差分近似， 112 方程 (的最高项为： 22111131122 （ （ （ 为将 （ 1+） 代替， A（ 1+） 可近似 为（ 对于 小量 ） ： 312 13112（ 如取一时间步长，那么 增加为： 312 13112（ 为了减小误差，它必须小于 仅当下式成立： （ 式中： 粘度滤失控制系数 213v （ 显式有限差分的一个主要局限： 在计算中所用的时间步长不能超过某一临界值，以确保稳定性。 隐式有限差分方法没有时间步长的限制 显式差分和隐式差分的区别： 显式差分法仅在上一时间步的基础上，求当前步长的解 隐式差分法只用当前值。要得到当前时间步长的所有变量值，就需要建立一组方程并解方程。 隐式差分法 对于线性问题，可用高斯消去法得到解；对于一维流动问题，从隐式有限差分法得到三角方程组。但对非线性问题，这些方法可能比较复杂。 积分或分析元法： 既没有时间步长的限制，又能避免形成一组方程。 商业时间共享方法 x =的基本方法 ： fn e t2364将方程（ 的 ： （ （ 3642 （ 用 代替 （ 或： u d xE f 322（ 在距离 3/13 96 积分项假设为常数，它进一步简化为 ： 3/13 96 f（ 对于高度不固定，非牛顿流体，用幂律流变参数写出与此相似的方程 ： 式中： （ （ 每一时间步长求解的方法： 1、估算缝端速度 2、 对于从缝端至井筒的每一单元 在单元内边确定速度，这样时间步长中的流体滤失和体积变化达到质量平衡。 根据方程（ 算流体流速确定单元内部的横截面积。 根据单元外边界速度和估算的单元内部的速度计算平均流速（第一次迭代中，假设内、外流体流速相同） 3、将流入裂缝的实际流速遇上一步迭代计算的井筒流体流速作比较。 4、用 过程要 24步 非平衡高度解 如果 裂缝延伸至高渗层 或 隔层应力不足以遮挡裂缝，裂缝垂向延伸很快 的情况下，由于流体垂向流动形成的压力梯度会变得较大，平衡高度假设 不再成立 。 对于非平衡高度增长，压力梯度要根据缝高增加速度估算。 根据缝端分析解 （ 994） ，得到净压力： e 2112112s i o （ 式中： 端部速度 = 2 /（ 2+n） 常压下的裂缝，应力集中系数与净压力的关系： 2e t （ 将上两式合并， 可求解由于端部速度非零时的表观断裂韧性，这种影响可以纳入实际的岩石断裂韧性中，将两者的和代替实际岩石断裂韧性用于方程（ （ 确定缝高增长。 在一时间步长中，由一对垂向缝端位置移到另一相应位置的方法： 估算单元顶和底部的缝端速度 用估算的速度计算该时间步长结束时的新的缝端位置 由方程 （ 和 （ 计算应力集中系数 确定应力集中系数 （ 即计算值减去岩石断裂韧性 ） 用方程 （ 和 （ 计算产生该附加应力集中系数所需的速度 将该速度与估算的速度对比，继续迭代直到得到正确的速度 横向耦合 在固体力学解中的一个假设条件是： 每一横截面独立作用，它隐含在任意一点的压力和宽度是对应的假设条件中。 实际上， 任一点的压力不仅与局部缝宽有关，而且它与缝宽在整个裂缝的分布有关。 除非半缝长小于缝高，否则这种横向的耦合一般不是很重要；如果忽略横向耦合，裂缝几何形状不会有很大区别，然而估算的压力偏低。 在泵注过程中横向耦合的影响就是 增加井筒与近井筒压力而减小缝端压力 。图 图 有、无水平方向耦合情况下的压力 由图看出 ： 横向耦合模型预测的压力总比其他两个模型预测的压力高 横向耦合模型预测的宽度比其他两个模型小 横向耦合模型的最低压力点（ 应于正方形，即缝长等与缝高的一半；此时由横向耦合模型计算得到的压力比其他两个模型计算得到的压力高约 40%。 块体拟三维模型 块体模型的本质： 它是非常简单的模型 该模型能否成功的运用取决于分析问题中系数的恰当选择 描述水力压裂过程的方程： 质量守恒方程 方程（ 张开裂缝的分布情况以及净压力分布 e t , （ 动量守恒方程 1241 （ 式中： 流道系数 m 幂律流体系数， 用于紊流 n 既考虑牛顿流体，又涵盖紊流 假设： 裂缝形态自相似 由两个水平延伸相同而垂相延伸不同的半圆裂缝组成。 利用： 空间平均法 将上述方程化为： 与时间有关的普通微分方程 块体方程用于 质量平衡方程： 3（ 式中： n e 2225 而： 1425 （ （ （ 这些方程非常简单，但 系数值不一定确定，